Физическая оптика

Физика взаимодействия света с веществом

Модель сплошной среды. Уравнения Максвелла. Материальные уравнения. Классификация сред. Плоская монохроматическая световая волна в линейной однородной изотропной среде. Комплексная диэлектрическая проницаемость, линейная оптическая восприимчивость и комплексный показатель преломле­ния среды. Классическая осцилляторная модель среды.

Рассматривается взаимодействие света и вещества. Теория строится на основе модели сплошной среды, уравнений Максвелла и материальных урав­нений. Дается классификация оптических сред. Излагается классическая ос­цилляторная модель среды — модель Лоренца.

Модель сплошной среды. Уравнения Максвелла. Физическая карти­на взаимодействия света и вещества представляется следующим образом. Па­дающий на среду свет раскачивает колебания электронов в атомах. Отдавая им свою энергию, свет поглощается, однако колеблющиеся заряды сами становят­ся источниками вторичных световых волн. Световое поле в среде формируется в результате интерференции падающего излучения и вторичных световых волн.

В обычных условиях число атомов столь велико и они расположены на­столько близко друг к другу, что дискретная структура среды не проявляется. Вещество ведет себя как сплошная среда. Это дает возможность ввести такие характеристики вещества как поляризация (дипольный момент единицы объ­ема среды), электрическая и магнитная индукция.

Теория взаимодействия света и вещества строится на основе уравнений электромагнитного поля (уравнения Максвелла) и уравнений, описывающих свойства сред (материальные уравнения). Система уравнений Максвелла име­ет вид

TOC o "1-5" h z 1 дБ -*

rot Я =----------------------------------------------- —, div D = 4тг р,

*т (18.1)

r-> 18D 47г - ->

rot Н = - - g - Н j, div В = 0.

с at с

тф фЛ

Здесь Е и D — напряженность и индукция электрического поля, Я и В —

напряженность и индукция магнитного поля, р — плотность заряда, j — плот­

ность тока, с — электродинамическая постоянная, равная скорости света в вакууме. Уравнения (18.1) записаны в гауссовой системе единиц.

Материальные уравнения. Систему (18.1) дополняют материальные уравнения

В = Е + 4жР, Р = Р(Е),

В = Н + 4жМ, М = М(Я), (18.2)

I = 1(E).

Эти уравнения описывают отклик среды на электромагнитное поле: возник­новение электрического дипольного момента единицы объема — поляризации

среды Р, магнитного момента единицы объема — намагниченности среды М, тока проводимости j.

Как ведут себя поляризация, намагниченность, ток проводимости в среде, возбуждаемой световой волной? Это центральный вопрос физики взаимодей­ствия света с веществом. Надо сказать что много принципиальных результатов было получено здесь в последние тридцать лет, т. е. в “лазерную эпоху”. Физи­ка взаимодействия света с веществом и по сей день остается одним из наиболее динамичных разделов физической оптики.

Для радиочастотных полей не слишком большой напряженности матери­альные уравнения обычно записывают в виде

D = еЕ, Ё = pH, J = аЁ, (18.3)

т. е. фактически в той же форме, что и для постоянных полей. Уравнения (18.3) оказываются следствием того обстоятельства, что векторы РиМ можно представить в виде

Р = хеЕ, М - хтН, (18-4)

а диэлектрическая проницаемость є и магнитная проницаемость р связаны с диэлектрической восприимчивостью хе и магнитной восприимчивостью хт со­отношениями

є = 1 + 47гхе, р = 1 + 47гхт. (18.5)

В силу (18.4) связь между электрическим и магнитным откликом среды и зна­чениями напряженностей электрического и магнитного полей, воздействующих на среду, сводится к простой пропорциональности. С физической точки зре­ния в основе соотношений (18.4) лежат предположения о безынерционности (поляризация и намагниченность точно повторяют, “отслеживают” временное поведение полей Е и Н), локальности (значения Р и М в некоторой точке

пространства определяются значениями полей в то же самой точке), линейно­

сти (уравнения (18.4) линейны) и изотропии (восприимчивости описываются скалярными величинами) отклика среды.

Как обстоит дело в оптике, можно ли здесь пользоваться материальными уравнениями в форме (18.3), (18.4)? Подробный ответ на этот вопрос дан в лекциях 19-23. Здесь же заметим, что и в оптике довольно часто пользуют­ся материальными уравнениями типа (18.3), (18.4). Имеется много ситуаций, когда лежащие в основе (18.4) предположения хорошо выполняются и в бы­стропеременных световых полях.

Следует подчеркнуть вместе с тем, что наибольший интерес для физиче­ской оптики представляют случаи, когда описание оптического отклика среды с помощью (18.4) оказывается неадекватным физике явления. С таким поло­жением мы сталкиваемся вблизи оптических резонансов в атомах, молекулах и конденсированных средах. Здесь весьма существенной становится инерцион­ность отклика, когда, например, для поляризации вместо соотношения (18.4) надо писать

Согласно (18.6), значение поляризации в некоторый момент времени определя­ется значениями поля не только в тот же, но и в предшествующие моменты — проявляется “память” среды.

В сильных лазерных полях отклик среды перестает быть линейным по полю. В поле мощного лазерного излучения линейное соотношение (18.4) для поля­ризации Р следует заменить, вообще говоря, бесконечным рядом по степеням напряженности электрического ПОЛЯ

Р = хеЁ + х(2) ЕЁ + х(г) ЁЁЁ + ■ ■ ■. (18.7)

Строго говоря, если речь идет о нелинейном отклике среды на сильное световое поле, то в разложение поляризации типа (18.7) войдет не только электрическое, но и магнитное поле, так что в общем случае Р = Р(Ё, Н).

Коэффициенты х^2 и т- Д - в выражении (18.7) носят название нели - нейных восприимчивостей. Оказывается, что во многих практически важных случаях именно нелинейные восприимчивости определяют главные черты по­ведения мощного светового пучка в среде. Еще более сложным оказывается отклик среды, если наряду с нелинейностью необходимо учитывать и ее инер­ционность. Такая ситуация возникает, когда мощное лазерное излучение попа­дает в резонанс с собственными колебаниями атомов или молекул среды.

Заметим, наконец, что лежащее в основе соотношений (18.3), (18.4) условие локальности отклика также является лишь приближением. Отклик реальной физической системы на световое возмущение, вообще говоря, нелокален, так что, например, для поляризации, обобщая (18.4), надо писать

ОО

P(t, r) = JJ х(т, г,г')Ё(Ь - т, г') dr d3r'. (18.8)

о

Формула (18.8) показывает, что отклик среды в момент времени t ив некоторой точке пространства г* определяется значениями поля не только в (t, r), но и в предшествующие моменты времени и в других (во всяком случае близлежа­щих) точках пространства. Имеется ряд важных оптических явлений, обусло­вленных нелокальностью отклика. Среди них надо назвать в первую очередь естественную оптическую активность — вращение плоскости поляризации ли­нейно поляризованной волны.

Волновое уравнение для света в среде. Из всего многообразия сред выделим наиболее важные для оптики. Это — диэлектрические, нейтраль­ные и немагнитные среды, в которых

3 = 0, р = 0, В = Н. (18.9)

Для таких сред материальное уравнение имеет вид

D = б(Ё),

а уравнения Максвелла приобретают форму

1 вн

rot Ё=-------------------------------------------------- —, div 6 = 0,

с at

л ldD - л

rot Я = --тт-, div Н = 0. с dt

Класс сред, определяемых условиями (18.9), довольно широк. К нему отно­сятся, например, воздух, вода, кристаллы, стекла, пластмассы и т. п. В силу соотношения

б = Е + 4тгР (18.12)

материальное уравнение, эквивалентное (18.10), может быть представлено в виде зависимости поляризации от поля:

Р = Р{Ё). (18.13)

В дальнейшем под материальным уравнением мы будем понимать, как правило, именно уравнение вида (18.13).

Из (18.11), (18.12) нетрудно вывести уравнение

х - 1 д2Ё 4тг д2Р

Г0 r0t + с2 dt2 - с2 dt2' ( )

называемое волновым уравнением для света в среде. Это уравнение показыва­ет, что оптическая поляризация среды является источником светового поля. Поляризация, в свою очередь, наводится полем световой волны, падающей на среду. Поскольку поляризация имеет смысл дипольного момента единицы объ­ема среды, отыскание материального уравнения сводится к решению уравне­ния, описывающего движение зарядов. Таким уравнением является уравнение Ньютона в классической модели и уравнение Шредингера в квантовой тео­рии. Уравнения (18.13) и (18.14) образуют в совокупности замкнутую систе­му уравнений, которая, будучи дополненной соответствующими начальными и граничными условиями, полностью определяет процесс распространения света в диэлектрической нейтральной немагнитной среде.

Классификация сред. Формальную классификацию сред проведем на основе материального уравнения (18.13).

Среды, в которых зависимость Р(Е) является локальной и безынерционной, т. е. значение поляризации среды в некоторой точке пространства и в некото­рый момент времени определяется значением поля в той же самой точке и в тот же момент, называются недиспергирующими. Нелокальность отклика приводит к пространственной дисперсии среды, а его инерционность, т. е. запаздывание Р относительно Е, — к временной или частотной дисперсии.

Линейными называются среды, в которых зависимость поляризации от поля выражается линейным оператором:

Р = Ь(Ё). (18.15)

Оператор L может быть, в частности, линейным запаздывающим функцио­налом или тензорным оператором. Соответственно, нелинейными называются среды, для которых зависимость Р от Е нелинейна:

Р = NL{E). (18.16)

Изотропными называют среды, в которых поляризация ориентирована парал­лельно полю:

Наконец, в анизотропных средах вектор Р, вообще говоря, не параллелен век­тору Е :

Р\Ё. (18.18)

Заметим, что свойства дисперсии, линейности и изотропии не связаны между собой. Например, линейная среда может быть как диспергирующей, так и не­диспергирующей, изотропной или анизотропной. То же самое относится и к нелинейным средам.

Некоторые важные свойства сред можно установить, не конкретизируя мо­дель среды, а опираясь только на данные определения. Рассмотрим эти свой­ства.

Плоская монохроматическая световая волна в линейной однород­ной изотропной среде. В силу линейности уравнений Максвелла и матери­ального уравнения, в линейных средах действует оптический принцип суперпо­зиции, согласно которому разные световые волны взаимодействуют со средой ^ независимо друг от друга.

Принцип суперпозиции чрезвычайно упрощает описание взаимодействия света с линейной средой. В самом деле, на основе спектрального подхода любое световое поле можно представить в виде совокупности плоских монохромати­ческих волн. Если среда линейна, то каждая из таких волн распространяется в ней независимо от всех остальных. Следовательно, достаточно рассмотреть распространение световой волны элементарного вида, а именно, плоской мо­нохроматической волны, после чего распространение произвольных полей (на­пример, пучков или импульсов) может быть рассчитано на основе принципа суперпозиции и техники спектральных разложений.

Пусть в некоторой линейной среде распространяется плоская монохромати­ческая световая волна

Ё = ^£ехр £i(u>t - )j + к. с. (18.19)

Здесь oj — частота, к — волновой вектор, £ — комплексная амплитуда вол­ны. В силу линейности уравнений (18.11), (18.12), (18.15), магнитное поле Я, электрическая индукция D и оптическая поляризация Р также будут иметь структуру плоских монохроматических волн с частотой и> и волновым векто­ром к:

Н = ^Я ехр ^г(о>* - fcr )j + к. с.,

D = ^Рехр ^i(ut — £r*)j + к. с., (18.20)

Р = ^Яехр i(ut - ^f')j + к. с.,

где Я, Т>, V — комплексные амплитуды волн. Подставим выражения (18.19),

(18.20) в уравнения Максвелла (18.11). Тогда получим систему алгебраических уравнений для комплексных амплитуд:

Г-г£, £І = -{ш/с)'Н, =0,

11 V ' (18.21) [~гк, п] = {iu/c)V, (~ik, H) = 0,

ИЛИ

k, s] = (и/с)П, (k, v)= 0,

L J 4 ' (18.22) [fc,#] = ~(u/c)V, (к, п) =0.

Исключим из этих уравнений Ті. Для этого умножим первое уравнение вектор­но на к. Получим:

[Е. [£,Г]] = ^ [£,*] =

или

[к, [£,£]] +^Р = 0. (18.23)

Раскрывая здесь двойное векторное произведение, приходим к уравнению

2

(k,£^jk-k2£ + ^V = 0. (18.24)

Данное уравнение справедливо для любых линейных сред: как изотропных,

так и анизотропных. Если же световая волна распространяется в вакууме, то

V = £ и из (18.24) следует, что к = и/с.

В изотропной среде вектор Р параллелен вектору Е. В силу (18.12) отсюда

следует, что и вектор D параллелен вектору Е. Но тогда из уравнения Макс - —* —#

велла div D = 0 вытекает уравнение div Е = 0, откуда в свою очередь следует,

что

rot rot Ё = grad div Ё - АЁ = - АЁ. (18.25)

С учетом (18.25) общее волновое уравнение (18.14) преобразуется к виду

1 д2Ё 47г д2Р

<18-26)

Данное уравнение справедливо как для линейных, так и для нелинейных изо­тропных сред, причем для светового поля любого вида, а не только для плоской монохроматической волны.

Комплексная диэлектрическая проницаемость, линейная опти­ческая восприимчивость и комплексный показатель преломления среды. Вернемся к уравнению (18.24) и применим его для анализа распро­странения плоской монохроматической световой волны в линейной изотропной среде. В силу изотропии среды векторы Ё, Р и D должны быть параллельны. Но тогда должны быть параллельны и векторы комплексных амплитуд £, V, и V, которые не зависят от времени. Это дает основание написать

V = є(и)£ (18.27)

и

Р = х(и>)£ (18.28)

где є(ш) и к{ш) — скалярные величины, которые могут зависеть от частоты све­та. Величина є(и), являющаяся коэффициентом пропорциональности между комплексными амплитудами электрической индукции и напряженности элек­трического поля, называется комплексной диэлектрической проницаемостью

среды. Величина я(и>), определенная как коэффициент пропорциональности

между комплексными амплитудами поляризации и поля, называется линей­ной оптической восприимчивостью среды.

Подставив (18.27) в уравнение (k, Vj — 0, получим (к,£^ = 0. При этом

уравнение (18.24) принимает вид

— к2£ + (ш2/с2)є( = 0,

откуда

к2 = (ш2/(?)є{и),

или

к = (w/c)n(u>),

где введена величина

пМ = /еМ>

называемая комплексным показателем преломления среды.

Уравнение (18.31), связывающее между собой частоту и) и волновое число к световой волны, называется дисперсионным уравнением. Данное уравнение справедливо для линейных изотропных сред. Если же световая волна распро­страняется в вакууме, то є = п = 1 и из (18.31) получаем к = и/с.

Формула (18.31) позволяет записать волновой вектор к для световой волны в среде в виде

к = —nth, (18.32а)

с

где т = к/к — единичный вектор, направленный вдоль к.

Интенсивность световой волны в среде. Интенсивность световой волны как в вакууме, так и в среде определяется средним значением вектора Пойнтинга I = (S), где

а угловые скобки обозначают усреднение по периоду световых колебаний. Пользуясь формулами (18.19), (18.20), можно выразить через комплекс­ные амплитуды электрического и магнитного полей:

(5) = ій;[^'я]+к'с - <18-326)

Здесь звездочка обозначает комплексное сопряжение. Из (18.22), (18.32а) сле­дует, что

Н = п ^т, £ j. (18.32в)

Подставив (18.32в) в (18.326), получим

І3) = £№*

и выражение для интенсивности

(18.32г)

Формула (18.32г) определяет интенсивность света в прозрачной линейной изо­тропной среде. В этой формуле £ — комплексная амплитуда электрического поля световой волны, л — показатель преломления среды (в области прозрач­ности среды ее показатель преломления действителен — см. лекцию 19), с —

скорость света в вакууме. При п = 1 выражение (18.32г) переходит в формулу (3.28) для интенсивности света в вакууме.

Частотный коэффициент передачи. Функция Грина. Инте­грал Дюамеля. Выше мы установили связь между поляризацией и полем для случая, когда в линейной изотропной среде распространяется плоская мо­нохроматическая световая волна. Теперь обобщим расчет на случай светового сигнала произвольного вида.

Рассмотрим некоторую фиксированную точку среды. В предположении ло­кальности отклика среды на световое поле запишем напряженность поля и оптическую поляризацию среды в виде интегралов Фурье: '

ОО

E{t) = - l - J Е{и)еш<1ы, (18.33)

—оо оо

P(f) = i - J Р(и)еш<Ь>. (18.34)

—ОО

В силу линейности среды спектральные амплитуды поляризации и поля свя­заны между собой соотношением

Р(и>) = хМ Е(ш), (18.35)

где х(и) — частотный коэффициент передачи данной линейной системы или, в терминах оптики, линейная оптическая восприимчивость среды. Подставив (18.35) в (18.34) и используя формулу обратного преобразования Фурье

вытекающую из (18.33), получим

ОО

P(t)= J x(r)E(t-r)dr, (18.37)

— ОО

где

оо

х(т) = ^ J xMe^eiw. (18.38)

—ОО

Итак, поставленная задача решена: задавая конкретный вид функций E(t) и х(ш)> по формулам (18.37), (18.38) можно вычислить функцию P(t). В част­ности, если E(t) имеет вид очень короткого импульса, т. е.

E(t) = const • 6(t), (18.39)

то по формуле (18.37) находим

■ P{t) = const - x(t)- (18.40)

Этот результат показывает, что функция у(т) в (18.37) описывает отклик си­стемы на воздействие типа бесконечно короткого импульса. Функцию х(Т) на­зывают функцией импульсного отклика или функцией Грина данной линейной системы. Как видно из (18.38), функция Грина связана с частотным коэффи­циентом передачи преобразованием Фурье. Это общее свойство всех линейных систем.

Обращая формулу (18.38), можно записать

ОО

ХИ= J Х(т)е-Іш4т. (18.41)

—ОО

Так как отклик системы не может опережать воздействие на нее (принцип причинности), из (18.39), (18.40) следует, что

X(t < 0) = 0, (18.42)

т. е. функция Грина отлична от нуля лишь при положительных значениях своего аргумента. Это дает основание переписать формулы (18.37) и (18.41) в виде

ОО

E(t) = J x(T)E(t - т) dr, (18.43)

О

оо

*(w) = J х(т)е~шт dr. (18.44)

о

Формула (18.43) носит название интеграла Дюамеля. Согласно этой формуле, отклик линейной системы есть линейный запаздывающий функционал относи­тельно входного воздействия. Иными словами, интеграл Дюамеля описывает

отклик линейной системы на произвольный входной сигнал с учетом инерци­онности системы.

Таким образом, в общем случае материальное уравнение линейной изотроп­ной среды имеет вид (18.43). В этой формуле х(т) — функция Грина, зависящая только от свойств среды и связанная с линейной оптической восприимчивостью х(<д) формулой (18.38).

Классическая осцилляторная модель среды. Допустим, что рассма­триваемая линейная изотропная среда однородна. В этом случае оптическую поляризацию среды Р, имеющую смысл дипольного момента единицы объема, можно представить в виде

(18.45)

где N — число атомов в единице объема, р — дипольный момент отдельного атома. По определению дипольного момента

р = ех, (18.46)

где е — заряд электрона, х — смещение электрона относительно атомного ядра (рис. 18.1).

Смещение электрона относительно ядра происходит под действием свето­вого поля, следовательно х = х(Е). Для установления вида этой зависимости необходимо конкретизировать модель атома.

Рассмотрим классическую осцилляторную модель атома, предложенную Лоренцем. Согласно этой модели, атом представляет собой гармонический ос­циллятор и подчиняется уравнению

(18.47)

Здесь т — масса электрона, шо — собственная частота колебаний электрона в атоме, параметр Г описывает затухание колебаний. Подставив (18.19) в (18.47), получим уравнение

х -)- Га? + ljqX = — if ехр Ji(u)t — fcr )J + к. с., (18.48)

где г имеет смысл радиус-вектора электрона. Поскольку размер атома а много меньше длины световой волны А, имеем оценку kr к ка = 2жа/Х <С 1. Это соотношение позволяет приближенно считать атом точечным.

Вычислим поляризацию среды в модели Лоренца. Ищем решение уравнения

(18.48) в виде

х = ^хехр ^г(а>і — kr )J + к. с., (18.49)

где х — комплексная амплитуда смещения электрона относительно атомного ядра. Подставляя (18.49) в (18.48) находим

*= --з-------------------------------------------------------------------------------------------------------- (18.50)

тп u>q — ш 4- гшГ

Согласно (18.45), (18.46), (18.49), поляризация среды есть

Р = Nex = Ne^x ехр ^г(ші — £r)j + к. с. (18.51)

Из (18.51), (18.20) следует, что

V = Ne$ (18.52)

или, с учетом (18.50),

Ne2 1

V =---------------------------------------------------- 2------- 2 ■ • pg - (18.53)

m Uq - и2 + гшГ

Сравнивая формулы (18.28) и (18.53), находим выражение для линейной оптической восприимчивости среды в модели Лоренца:

Ne2 1

x(ut) = j 2 і г' (18.54)

m u>q — lj + готГ

Из (18.12), (18.19), (18.20) следует, что

V = £ + 4тгЯ (18.55)

Принимая во внимание (18.27), (18.28), (18.55) можно записать

є(ш) — 1 + 47tx(u>) (18.56)

или, с учетом (18.54),

47г N е? 1

ф} = 1 + ^±. . (18.57)

тп Uq — иг + го>Г

Формула (18.57) дает выражение для комплексной диэлектрической проница­емости среды в модели Лоренца.

Выражение для линейной оптической восприимчивости можно получить и другим способом, не прибегая к модели гармонической световой волны (18.19). В самом деле, умножив на Ne уравнение (18.47), получим уравнение, связыва­ющее между собой поляризацию и поле:

• Me2

Р + ГР + ш%Р = Е. (18.58)

171

Используя условие изотропии среды, положим

Ё = 8Е, Р = еР (18.59)

и перейдем к скалярному уравнению

Me2

Р + ГР + шІР = Е. (18.60)

ТП

Нетрудно найти решение этого уравнения при произвольной функции E(t). Для этого воспользуемся спектральным методом и подставим (18.33), (18.34) в

(18.60) . Тогда получим следующую формулу, связывающую между собой спек­тральные амплитуды поляризации и поля:

P(w) = --5------------------------ L__S(a,). (18.61)

TTl - uf[38] + ішГ

Сравнивая (18.35) и (18.61), находим

Ne2 1

X(u;) = — -=---------------------------------------------------- і——. (18.62)

т - иі2 + гшГ

что совпадает с (18.54). Подставив (18.62) в (18.38) и выполнив интегрирование, получим

Ne2 f т<°,

Х(г) =---------------------------------------------------------- { і _ (18.63)

т | —е ^sinOr, г > 0,

где П = ^/oj'o — 72, 7 = Г/2. Формула (18.63) определяет функцию импульсного

отклика среды в модели Лоренца. Заметим, что выражение (18.63) подчиняется условию (18.42). Теперь искомое общее решение уравнения (18.60) определяется формулами (18.43), (18.63).

Итак, мы вывели материальное уравнение для линейной изотропной среды, состоящей из микроскопических гармонических осцилляторов. В следующей лекции будет показано, что данная модель позволяет объяснить целый ряд явлений, связалных с дисперсией и поглощением света.