Физическая оптика

Элементы теории вероятностей

Случайные события и вероятность. Случайная величина. Дискретные слу­чайные величины. Статистическое среднее и среднее арифметическое. Рас­пределение Пуассона. Непрерывные случайные величины. Плотность вероят­ности. Распределение Гаусса. Центральная предельная теорема. Двумерная плотность вероятности. Преобразование распределений вероятности.

При описании излучения реальных источников света мы сталкиваемся с необходимостью оценить совокупное действие огромного числа элементарных излучателей — атомов. Адекватный подход к решению этой задачи — использо­вание теории вероятностей. Ниже коротко излагаются основные понятия этой теории, применяемые в оптике Для более глубокого знакомства с этой пробле­матикой рекомендуем книгу [1].

Случайные события и вероятность. Случайным называется событие, исход которого заранее неизвестен и которое может быть повторено много раз при неизменных условиях. Закономерности, присущие случайным событиям, могут быть установлены именно благодаря возможности их многократного по­вторения, т. е. при наличии серии испытаний или ансамбля реализаций собы­тия. Например, подбрасывая монету, мы не можем заранее предсказать какая из ее сторон (“орел” или “решка”) окажется при падении верхней в данном конкретном испытании, однако повторяя испытание многократно, можно заме­тить статистическую закономерность состоящую в том, что число выпадания обеих сторон примерно одинаково.

Вероятностью случайного события называется предел отношения числа по­явлений события А в серии испытаний к полному числу испытаний:

Р{А) = Ига —. (Д7.1)

П—ЮО ТІ

Пусть есть два случайных события. Тогда если эти события несовместимы, то вероятность наступления одного из них Р(А + В) равна сумме вероятностей этих событий (“аксиома сложения вероятностей”):

Р(А + В) = Р( А) + Р(В). (Д7.2)

Так, при бросании монеты вероятность выпадения “орла” или “решки” равна единице: Р(А + В) = 1/2 + 1/2 = 1. Если случайные события совместимы (например, выпадение “орлов” при бросании двух монет или выпадение четных чисел при бросании двух игральных костей), то вероятность наступления обоих событий Р(АВ) такова:

Р(АВ) = Р(А)Ра(В) = Р(В)Рв(А), (Д7.3)

где Ра(В) — условная вероятность события В, т. е. вероятность наступле­

ния события В при условии, что событие А уже произошло. Если случайные события независимы (например, бросание двух монет или двух игральных ко­стей), то

РВ{А) = Р(А), РА(В) = Р(В).

9 Зак. 350

Рис. Д7.1. Сосуд с газом, молекулы которого совершают беспорядочное тепловое дви­жение

В этом случае вероятность совместного наступления событий равна произведе­нию их вероятностей:

Р(АВ) = Р(А)Р(В) (Д7.5)

(“аксиома умножения вероятностей”). Формулы (Д7.2) и (Д7.5) не доказывают­ся, а проверяются экспериментально (путем проведения серии статистических испытаний). Поэтому устанавливаемые ими соотношения называют иногда ак­сиомами теории вероятностей. Что же касается формулы (Д7.3), то ее можно рассматривать как определение условной вероятности.

Как применить вероятностные представления к задаче об излучении ан­самбля осцилляторов? Понятие случайного события здесь не совсем удобно, хотя можно говорить о событии, состоящем, например, в том, что в некоторый момент времени напряженность электрического поля световой волны в точ­ке наблюдения превысит некоторую наперед заданную величину: E(to) > Ао - Однако для физики удобнее ввести понятие случайной величины.

Случайная величина. Пусть мы проводим серию испытаний (опытов) и измеряем некоторую физическую величину. Назовем эту величину случайной, если ее значение в каждом конкретном опыте непредсказуемо, а сами опы­ты допускают многократное повторение при неизменных условиях. Случайной величиной является, например, смещение броуновской частицы за некоторый фиксированный промежуток времени. Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретной называется случайная величина, которая может принимать конечное или бесконечное, но счетное множество значений. Все эти значения можно перенумеровать: Х,Х2, ■ • ., хп. Непрерывной называ­ется случайная величина, которая может принимать бесконечное и несчетное множество значений из некоторого интервала (например, 0 < х < 1).

Дискретные случайные величины. Рассмотрим сосуд с газом. Части­цы газа (атомы или молекулы) совершают беспорядочное тепловое движение (рис. Д7.1). Пусть объем сосуда равен V, а полное число частиц N. Выделим мысленно часть сосуда объемом v (рис. Д7.2). Поставим вопрос: сколько ча­стиц п находится в объеме г? Ясно, что число частиц в выделенной части сосуда случайно. Оно может принимать значения 0 < п < N и меняется с тече­нием времени. Вычислим вероятность попадания в объем v заданного числа частиц п.

У N / •

[v, n)

ч_______________________________________

Рис. Д7.2. К выводу распределений Бернулли и Пуассона

Рассмотрим сначала одну молекулу. Вероятность ее попадания в часть со­суда объемом v равна

(Д7.6)

Формула (Д7.6) — аксиома для случая невзаимодействующих частиц и отсут­ствия внешних силовых полей. Данная формула является исходной для расчета интересующего нас распределения вероятностей. Вообще в статистической фи­зике нужно задавать исходные вероятности, которые очевидны или следуют из опыта. Именно так мы поступаем в данном случае.

Какова вероятность попадания в выделенную часть сосуда п молекул га­за? Чтобы вычислить ее, представим себе, что мы каким-то образом пометили п молекул газа. Тогда вероятность того, что все эти молекулы одновременно окажутся в части сосуда объемом v равна

рп = (v/V)n. ^ « *-■ (Д7.7)

Формула (Д7.7) получена в предположении, что отдельные молекулы незави­симы. Тогда вероятность осуществления сразу нескольких случайных событий равна произведению их вероятностей (аксиома умножения вероятностей). Кро­ме того, нужно, чтобы остальные (непомеченные) N — п молекул не попали в объем v, т. е. остались бы в части сосуда объемом V — и. Вероятность этого события подсчитывается аналогично. Она равна

(^)N П = (1-Р)"-". (Д7.8)

Вероятность того, что произойдут оба указанных события одновременно (все помеченные молекулы газа соберутся в объеме и, а остальные останутся за его пределами) равна произведению вероятностей (Д7.7) и (Д7.8):

pn(l-p)N~n.

Теперь учтем, что такая ситуация может осуществиться многими способами, а именно, числом способов С]у, где 0% — число сочетаний из N по п. Имен­но таким числом способов можно выбрать п молекул из N. Однако все такие

возможности взаимно исключают друг друга. Поэтому вероятность того, что произойдет какое-то одно из этих событий, равна сумме их вероятностей:

JV-n

QP"(1 - Р)

(аксиома сложения вероятностей). Это и есть искомая вероятность попадания п любых молекул в выделенную часть сосуда объемом ь:

Рм{п) = СЪрп{-р)

Здесь величина р определяется формулой (Д7.6).

Из рассмотренного примера видно, что сила и смысл теории вероятностей заключаются в том, что она позволяет по известной простой вероятности р (известной из опыта или очевидной) находить вероятности более сложных со­бытий.

Распределение вероятности (Д7.9) называется биномиальным распределе­нием или распределением Бернулли. Коэффициенты этого распределения С% определяются формулой

Вид биномиального распределения показан на рис. Д7.3.

Распределение вероятности удовлетворяет условию нормировки

N

Y^PN{n) = 1.

п=0

Математически формула (Д7.11) вытекает из формулы (Д7.9) и формулы би­нома Ньютона. С точки зрения физики сумма (Д7.11) есть вероятность того, что в объем v попадает любое число молекул п от 0 до N. Поскольку такое событие является достоверным, его вероятность равна единице. В этом состоит физический смысл условия нормировки.

Среднее значение случайной величины п вычисляется по формуле

N

п = £пР*(п). (Д7.12)

п=0

Формула (Д7.12) имеет простой физический смысл: среднее статистическое зна­чение случайной величины равно ее среднему арифметическому значению в

серии испытаний. Заметим, что именно средние значения случайных величин

представляют первоочередной интерес дня физики. Аналогичным образом вы­числяются и другие средние. Например, среднее значение квадрата случайной величины п равно

N

п2 = (п2) = ^ n2PN(n) (Д7.13)

п=0

и т. д. Покажем теперь, что статистическое среднее имеет смысл среднего ариф­метического.

Статистическое среднее и среднее арифметическое. Пусть есть слу­чайная величина х, которую мы измерили т раз. Получили значения

г/i раз : значение Xi, г/2 раз : значение х2,

vn раз : значение хп.

Вычислим среднее арифметическое значение величины х:

(х) = + ' - + ^„

ш

Это выражение можно переписать следующим образом:

(х) = xi—+ х2—+ --- + х„—, (Д7.15)

mm т

где величина щ/т равна отношению числа появлений величины х* к полному числу испытаний. Следовательно, Vi/m есть вероятность того, что случайная величина х принимает значение х = Xj. Итак,

i/j/m = Р(х«), если m -> оо. (Д7.16)

Поэтому

(х) = 5>іР(хі)=ї, (Д7.17)

І

т. е. среднее статистическое совпадает со средним арифметическим. Точнее, среднее статистическое значение случайной величины есть предел средне­го арифметического значения при числе испытаний, стремящемся к беско­нечности.

Распределение Пуассона. Одним из важнейших распределений вероятно­сти, которому подчиняются многие дискретные случайные величины, является распределение Пуассона

Р{п)=е~а^-г, а = п, п = 0,1,2,.... (Д7.18)

п!

Это распределение может быть получено из распределения Бернулли (Д7.9) в предельном случае

N —^ оо, pCl, Np - конечно. (Д7.19)

Помимо среднего значения, важнейшей статистической характеристикой любой случайной величины является дисперсия (“разброс”). Дисперсия опре­деляется как средний квадрат отклонения случайной величины от ее среднего значения. Например, для дискретной случайной величины п

Dn = ((п - п)2) (Д7.20)

или, подробнее,

ЛГ

Dn~ £(n-n)2PN(n). (Д7.21)

n=0

В силу того, что операция усреднения линеЯна, она коммутирует (т. е. допус­кает перестановку местами) с любой другой линейной операцией (сложением, умножением на константу и т. п.). Поэтому в общем случае

Dn — ({п2 - 2пп + п2)^ —п2- п2. (Д7.22)

Нетрудно показать, что для пуассоновской случайной величины дисперсия рав­на среднему значению

Dn = п. (Д7.23)

Это свойство распределения Пуассона доказывается путем простых операций с числовыми рядами.

Непрерывные случайные величины. Пусть в некотором опыте измеря­ется непрерывная физическая величина х — например, амплитуда или фаза колебаний. Если при многократном повторении опыта в неизменных условиях измеренные значения х не совпадают одно с другим, то величина х является случайной.

Пусть есть непрерывная случайная величина х, которая может принимать любые вещественные значения (например, напряженность электрического поля световой волны), т. е. —оо < х < оо. Количественной характеристикой непре­рывной случайной величины может служить вероятность попадания этой ве­личины в небольшую область значений в окрестности заданной точки, скажем, вероятность попадания х в интервал х < х < Х + dx (рис. Д7.4). Обозначим эту вероятность

P{xi < х < xi + dx).

Xj+ dx ®

Рис. Д7.4. К определению плотности вероятности

Как определить эту вероятность? Это можно сделать экспериментально, про­ведя серию испытаний (измерений) и вычислив вероятность по формуле

Р(®i < х < Т! 4- dx) = lim —, (Д7.24)

т—юо т

где п — число испытаний, в которых измеренное значение попало в заданную область, т — полное число испытаний. Если предел в (Д7.24) существует и не зависит от процедуры испытаний, то он дает искомую вероятность. Введем теперь понятие плотности вероятности.

Плотность вероятности. Если в формуле (Д7.24) выбирать интервал dx достаточно малым, то естественно ожидать, что вероятность попадания слу­чайной величины в этот интервал будет пропорциональна его величине, т. е.

Р(хі < х < xi + dx) = w(xi)dx. (Д7.25)

Коэффициент пропорциональности в этой формуле может зависеть от выбора точки *i, в окрестности которой взят интервал наблюдения, поскольку раз­ные значения х, вообще говоря не равновероятны. Функция w(x), отражающая статистические свойства случайной величины х, называется плотностью ве­роятности. Она равна пределу отношения вероятности попадания случайной величины в заданный интервал к величине этого интервала

, . Р(хі < х < xi + Ах)

w(xi) = lim —— ~ -- (Д7.26)

Ди-щ Да: v-л /

Формула (Д7.26) является определением плотности вероятности. Из определе­ния следует, что плотность вероятности неотрицательна

w(x) > 0. (Д7.27)

Если функция w(x) известна, то можно вычислить вероятность попадания слу­чайной величины х в любую наперед заданную область по формуле

6

Р( a <x<b) = J w(x) dx. (Д7.28)

а

Формула (Д7.28) доказывается путем деления отрезка [а, 6] на бесконечно ма­лые интервалы и применения аксиомы о сложении вероятностей. В частности, интеграл от плотности вероятности по всей области возможных значений х имеет смысл вероятности того, что величина х примет какое-либо одно из всех своих возможных значений. Поскольку такое событие является достоверным, его вероятность равна единице:

оо

J w{x)dx = 1. (Д7.29)

—ОО

Формула (Д7.29) называется условием нормировки. Любое распределение ве­роятности должно удовлетворять этому условию.

Зная распределение плотности вероятности, можно находить различные средние. Например, среднее значение самой случайной величины

(Д7.30)

или ее дисперсию

00

Dx = ((х — х)2) = J (х — x)2iv(x) dx. (Д7.31)

— 00

Среднее значение произвольной функции /(х) случайной переменной х вычи­сляется по формуле

00

{/(я)) = J f(x)w(x) dx. (Д7.32)

— ОО

Распределение Гаусса. Закон распределения многих случайных физиче­

ских величин имеет вид

где случайная величина х может принимать любые вещественные значения —оо < х < оо, хо и а — постоянные параметры. Распределение вероятности (Д7.33) называется гауссовы^ или нормальным. Вид этого распределения по­казан на рис. Д7.5. Нетрудно показать, что

w(x) dx = 1,

— ОО ОО

х = j xw(x) dx = xq,

—ОО

ОО

Dx = J (х — x)2w(x) dx = о3.

Таким образом, плотность вероятности (Д7.33) является нормированной. Пара­метры жо и с2 в формуле (Д7.33) имеют смысл среднего значения и дисперсии гауссовой случайной величины (рис. Д7.5).

Центральная предельная теорема. В теории вероятностей доказывает­ся следующая теорема, носящая название центральной предельной теоремы теории вероятностей: сумма большого числа независимых случайных вели­чин имеет гауссово распределение вероятности. Заметим, что именно в силу этой теоремы большинство случайных величин в физике являются гауссовыми (нормальными) случайными величинами.

Двумерная плотность вероятности. Если есть две случайные величины хі и Х2, то можно ввести двумерную (совместную) плотность вероятности

Р(6 < хі 5= £і + Ажіі&і — 12 — & + Ахг) ДжіДжг

Эта функция характеризует вероятность того, что случайная величина хі по­падает в малую окрестность точки, а величина х? — в малую окрестность точки £2 • Из определения вытекают следующие свойства двумерной плотности вероятности:

™(жі, ж2) > 0.

6} Ьз

Р(оі < х < Ьі;а2 < ж2 < Ь2) = J dx i J dx2w(xi, X2),

аг аг

00 оо

/ / w{X,X2)dX dx2 = 1,

—ОО —оо

оо оо

W(Xі) = J w(Xi, X2)dl2, Щ(Ж2) = J U)(Xi, X2)dXi.

-оо -00

Наконец, если случайные величины хі и ж2 независимы, то

w(xi, x2) = w{x і)щ(ж2).

Преобразование распределений вероятности. Пусть есть случайная величина х, имеющая распределение плотности вероятности w(x), и другая случайная величина у, связанная с величиной х известным функциональным соотношением

У = У(х), х = х{у). (Д7.43)

Каким будет распределение плотности вероятности для случайной величи­

ны у? Ответ на этот вопрос можно дать в общем виде. Нарисуем зависимость у{х) (рис. Д7.6). Из рисунка видно, что если величина х попадает в область [я, х + dx], то величина у попадает в область [у, у + dy. Следовательно, вероят­ности этих случайных событий совпадают:

Р(х < х < х + dx) — Р(у <у<у + dy).

Теперь выразим эти вероятности через функции распределения плотности ве­роятности величин х и у. Получим

w(x)dx = w{y)dy,

откуда

w(y) = w(x{y))^^-. (Д7.44)

Аналогичным образом можно получить формулу преобразования двумерной

плотности вероятности:

w{.yi, y2) = w(x1(y1,y2);x2(уі, у2)) ^ • (Д7.45)

Итак, для того чтобы перейти к новой переменной (переменным) в распре­делении вероятности, нужно, во-первых, сделать замену переменной в самой функции распределения вероятности и, во-вторых, умножить ее на производ­ную (якобиан преобразования) от старых переменных к новым. Для того чтобы полученная таким образом плотность вероятности была неотрицательной, про­изводную (якобиан) следует взять по абсолютной величине:

в двумерном случае. Напомним, что якобианом преобразования называется определитель, составленный из производных:

Примеры использования статистических понятий в оптике даны в лекции 6.