Физическая оптика

Дифракция света

Дифракция как проявление волновой природы света. Основные опытные фак­ты. Опыт Гримальди. Принцип Гюйгенса. Принцип Гюйгенса-Френеля. Дифракционный интеграл Френеля. Зоны Френеля. Построение дифракционных картин графическим способом. Дифракция на краю экрана. Дифракционная длина светового пучка. Ближняя и дальняя зоны дифракции. Дифракционная расходимость пучка в дальней зоне. Фокусировка света как дифракционное явление. Теория дифракции Кирхгофа.

Лекция посвящена дифракции света. Излагаются основные опытные факты. Дается элементарное объяснение дифракционных явлений на основе представления о свете как о волне.

Вводятся понятия дифракционной длины светового пучка, ближней и даль­ней зон дифракции. Дана оценка дифракционной расходимости светового пуч­ка в дальней зоне. Оценивается размер фокального пятна при фокусировке света линзой. Дается математическое обоснование дифракционного интеграла Гюйгенса-Френеля на основе приближенного решения волнового уравнения.

Дифракция как проявление волновой природы света. Основные опытные факты. Многие наблюдаемые нами явления говорят о том, что свет распространяется прямолинейно. Солнечный луч, луч прожектора, луч лазе­ра ассоциируются в нашем сознании с прямыми или почти прямыми линиями. Прямолинейность распространения — одно из главных и наиболее очевидных свойств света. Несомненно, именно оно породило в свое время представление о том, что свет представляет собой поток частиц. С другой стороны, казалось бы, нет ничего менее похожего на волну, чем прямолинейный луч света.

Между тем, некоторые весьма тонкие оптические явления и эксперименты казывают на нарушение закона прямолинейного распространения света. Так, : элнечный луч или луч лазера всегда обладает пусть малой, но конечной рас­ходимостью. Граница светового пучка, граница между светом и тенью никогда не бывает резкой, а всегда имеет пусть малую, но конечную ширину.

В некоторых случаях свет распространяется вовсе не прямолинейно. Напри­мер, в опыте Юнга (см. лекцию 11) свет глубоко проникает в область геометри­ческой тени и именно в этой области наблюдается интерференционная картина. Проходя через маленькое отверстие, пучок света приобретает большую угло - ;ую расходимость — тем большую, чем меньше размер отверстия. В центре геометрической тени, создаваемой круглым непрозрачным диском, существу­ет маленькое светлое пятно (“пятно Пуассона”). Лазерный луч, падающий на дифракционную решетку, образует широкий расходящийся “веер” лучей.

Все перечисленные факты можно объяснить, если допустить, что свет это водна. Прямолинейность распространения света не противоречит его волновой природе, так как длина световой волны очень мала — менее 10~4 см. Сильных волновых эффектов можно ожидать в случае, если поперечный размер светово­го пучка становится соизмеримым с длиной волны. Это хорошо подтверждается июгими экспериментами, в частности опытом по дифракции лазерного пучка зва дифракционной решетке.

Понятие “дифракция” в оптике связывается с нарушением прямолинейно - тгя распространения света. Арнольд Зоммерфельд определил дифракцию как

“любое отклонение распространения света от прямолинейного, не связанное с отражением или преломлением”. В более узком смысле дифракцией назы­вают явление огибания волной препятствия. Такие явления хорошо известны для длинных волн, например звуковых волн или волн на поверхности воды. В оптике этому соответствует проникновение света в область геометрической тени. В теории волн под дифракцией понимают всю совокупность явлений в волновом поле, возникающих при наличии препятствий распространению вол­ны. Наконец, используя понятие интерференции света, можно сказать, что ди­фракция — это интерференция в ограниченных световых пучках.

Принципиальное значение дифракции состоит в том, что она, как и ин­терференция, доказывает волновую природу света. Дифракция имеет большое практическое значение, поскольку она ограничивает возможности концентра­ции света в пространстве, кладет предел разрешающей способности оптических приборов, влияет на формирование оптического изображения и т. п.

Опыт Гримальди - Первое сообщение о наблюдении дифракции света бы­ло сделано Гримальди; оно было опубликовано в 1665 г. вскоре после его смер­ти. Гримальди проводил свои опыты на установке, схема которой показана на рис. 13.1. Источник света освещает отверстие в непрозрачном экране, а в плоскости, расположенной на некотором расстоянии позади экрана, измеряет­ся освещенность. Гримальди установил, что переход от света к тени происходит постепенно, а не резко (рис. 13.2). Этот результат не мог найти удовлетвори­тельного объяснения в рамках корпускулярной теории света, согласно которой свет должен распространяться прямолинейно, а изображение отверстия в плос­кости наблюдения должно иметь резкую границу.

Еще более удивительный результат получается, если повторить опыт Гри­мальди, используя в качестве источника света лазер. На лекции демонстри­руется дифракция света аргонового лазера на краю экрана, в качестве кото­рого используется лезвие бритвы. Принципиальная схема опыта показана на рис. 13.3. Распределение освещенности в плоскости наблюдения показано на рис. 13.4. В данном случае, как и в опыте Гримальди, нет резкой границы между светом и тенью. Более того, вблизи границы геометрической тени на­блюдается чередование темных и светлых линий, параллельных краю экрана. Такой характер наблюдаемой картины указывает на интерференционную при­роду явления дифракции.

Рис. 13.2. Освещенность в плоскости наблюдения вблизи границы области геометри­ческой тени (некогерентное освещение)

Принцип Гюйгенса. Понимание природы дифракционных явлений связа­но с развитием представлений о свете как о волне. Первый шаг на этом пути сделал в конце XVII в. (1678) голландский ученый Христиан Гюйгенс. Основы­ваясь на догадке о том, что свет это волна, он выдвинул идею, раскрывающую механизм распространения света. Гюйгенс полагал, что свет распространяется от источника подобно волне на поверхности воды. На фронте светового возму­щения каждая точка есть источник вторичной сферической волны. Положение волнового фронта в следующий момент времени определяется огибающей вто­ричных волн. Принцип Гюйгенса иллюстрирует рис. 13.5, на котором показаны волновой фронт светового возмущения, элементарные вторичные волны, оги­бающая вторичных волн. Пользуясь этим принципом, можно объяснить такие явления, как распространение света от точечного источника, распространение светового пучка, отражение и преломление света. Примеры соответствующих построений показаны на рис. 13.6.

Принхщп Гюйгенса-Френеля. В начале XIX в. (1818) идеи Гюйгенса по­лучили развитие в работах французского ученого Огюстена Жана Френеля. Френель дополнил принцип Гюйгенса представлением о том, что вторичные световые волны могут как усиливать, так и ослаблять друг друга. Иначе гово­ря, они могут интерферировать. Световое поле есть результат интерференции элементарных вторичных волн, испускаемых каждым элементом некоторой волновой поверхности — это утверждение составляет содержание принципа Гюйгенса-Френеля. Основываясь на этом принципе, Френель смог с большой

Рис. 13.4. Освещенность в плоскости наблюдения вблизи границы области геометри­ческой тени (когерентное освещение)

точностью рассчитать распределение света в дифракционных картинах. В кон­це XIX в. (1882) немецкий ученый Густав Кирхгоф показал, что особенности амплитуд и фаз, приписываемые Френелем вторичным источникам, логически вытекают из волновой природы света.

Дифракционный интеграл Френеля. Принцип Гюйгенса-Френеля по­зволяет построить элементарную теорию дифракции света. Одну из простых задач можно сформулировать следующим образом. Пусть есть точечный ис­точник света S. Требуется найти световое поле в некоторой точке Р, если ме­жду точками 5 и Р имеются препятствия распространению света, например экран с отверстием или непрозрачный диск (рис. 13.7).

Решение задачи начнем с математической формулировки принципа Гюй­генса-Френеля. Введем некоторую замкнутую поверхность Е, охватывающую источник света, и будем считать каждый элемент do этой поверхности источни­ком вторичной сферической световой волны (рис. 13.8). Рассмотрим некоторую точку М на поверхности Е. Считая источник света S точечным, обозначим рас­стояние от S до М через pi, а расстояние от М до точки наблюдения Р через р. Введем также угол ip между нормалью п к поверхности Е в точке М и на­правлением на точку наблюдения МР.

Зис. 13.5. Построение огибающей световой волны по Гюйгенсу

Предположим для простоты, что источник света испускает монохроматиче­скую световую волну. Тогда световое поле в любой точке пространства также будет монохроматическим и его можно представить в виде

Е=±£еіші + к. с., (13.1)

. де uj — частота, £ — комплексная амплитуда колебаний. Согласно принципу Гюйгенса-Френеля, световое поле в точке Р образуется в результате наложе­ния световых волн, испускаемых элементами поверхности £. Следовательно, можно записать

£(Р) = [ £(М) da. (13.2)

J Р

Е

Здесь £{Р) и £{М) — комплексные амплитуды поля в точке Р ив точке М,

k = uj/c = 27г/А,

-О-

Экран

IP

Экран

Рис. 13.7. Примеры дифракционных задач: дифракция на отверстии (о), дифракция на диске (б)

к — волновое число световой волны, К(<р) — “коэффициент наклона”, учи­тывающий то обстоятельство, что вклад элемента da в результирующее поле зависит от ориентации данного элемента поверхности по отношению к напра­влению на точку наблюдения.

Интеграл (13.2) носит название интеграла Гюйгенса-Френеля. Формула

(13.2) построена на основе качественных физических соображений. Множи­тель (1/р) exp(-ikp) в подынтегральном выражении описывает распростра­нение элементарной вторичной сферической световой волны. Наиболее суще­ственно то, что интеграл Гюйгенса-Френеля учитывает фазы элементарных вторичных волн, приходящих в точку Р от различных элементов поверхно­сти Е. Иными словами, принимается во внимание интерференция вторичных волн.

Функция К (ip) в (13.2) остается пока неопределенной. Френель полагал, что К(tp) монотонно убывает от некоторого начального значения К(0) до нуля при изменении угла р от нуля до я/2 (рис. 13.9).

-О-

Зоны Френеля. Френель предложил приближенный способ расчета ди­фракционных картин, основанный на представлении о так называемых полу­волновых зонах или зонах Френеля.

Зоны Френеля вводятся следующим образом. Выберем поверхность £ в ви­де сферы с центром в точке S. Согласно принципу Гюйгенса-Френеля, данную поверхность можно рассматривать как источник вторичных световых волн. Вы­делим на сфере кольцевые зоны так, чтобы расстояния от границ зоны до точки наблюдения отличались на половину длины световой волны. Обозначив грани­цы зон буквами Mo, Mi, М2,..., получим

М0Р = ОР + А/2, МхР = М0Р + А/2,

МпР = Мп-хР + А/2,

где А — длина световой волны, Р — точка наблюдения поля, О — центр ну­левой зоны Френеля (рис. 13.10).

Итак, формулы (13.4) определяют положение границ зон Френеля. Смысл разбиения поверхности £ на зоны состоит в том, что разность фаз элемен-

тарных вторичных волн, приходящих в точку наблюдения от данной зоны, не превышает величины тт. Сложение таких волн приводит к их взаимному уси­лению. Поэтому каждую зону Френеля можно рассматривать как источник вторичных волн, имеющих определенную фазу. Напротив, две соседние зоны Френеля действуют как источники, колеблющиеся в противофазе. Подчеркнем, что положение границ френелевских зон зависит от выбора точки наблюдения.

Размеры зон Фр е н е л я. Для того, чтобы оценить относительный вклад френелевских зон в интеграл Гюйгенса-Френеля, оценим радиусы зон и их площади.

На рис. 13.11 показаны точечный источник света 5, точка наблюдения поля Р, часть сферической поверхности £ (источника вторичных волн) и граница нулевой зоны Френеля Mq. Пусть а — радиус сферы £, b — кратчайшее рас­стояние от точки Р до сферы, го — радиус нулевой зоны Френеля. Из рис. 13.11 видно, что

Гц = а2 - (о - х)2, (13.5)

где х — длина отрезка, выделенного жирной линией. С другой стороны,

г1 = (Ь + /2)2-(Ь + х)2. (13.6)

Из (13.5), (13.6) следует, что

2ах = Ъ- 2Ъх + (Л/2)2. (13.7)

Как правило в оптике нас интересует случай

a, b^> х. (13.8)

Поэтому, пренебрегая слагаемыми, пропорциональными А2 их2, получим

- ЬЛ 2 (а - I - Ъ)

и Гд » 2ах, откуда

Р

г

Рис. 13.12. Схема дифракции плоской волны на круглом отверстии

Итак, формула (13.9) дает радиус нулевой зоны Френеля. В этой формуле Л — длина световой волны, а и Ъ — длины отрезков показанных на рис. 13.11. Аналогичным образом находим внешний радиус n-й зоны Френеля

(13.10)

Дифракция плоской волны. Физическое содержание задачи почти не изменится, а формулы станут проще, если вместо дифракции сферической волны точечного источника рассмотреть дифракцию плоской световой волны.

Пусть, например, плоская монохроматическая световая волна дифрагирует на круглом отверстии (рис. 13.12). Выберем некоторую точку Р на оси пучка и попытаемся выяснить, как будет меняться интенсивность света в данной точке при изменении радиуса отверстия.

Обозначим через z расстояние от точки наблюдения до экрана с отверсти­ем, а через г — радиус отверстия. В качестве поверхности Е — источника вторичных волн — введем круг радиуса г, лежащий в плоскости экрана и со­впадающий с отверстием. Пользуясь определением, данным выше, произведем разбиение поверхности Е на зоны Френеля. В данном случае зоны Френеля представляют собой кольца на плоскости. Их радиусы можно подсчитать по формуле (13.10), полагая а -4 оо, Ъ = z. Получим

Гп = Дп+"Щх.

Из (13.11) следует, что зоны Френеля имеют одинаковые площади, определяе­мые формулой

Sn = к{г2п - r£_j) = 7tAz.

Число Френеля. Если известны параметры Л — длина световой вол­ны, г — радиус отверстия, z — расстояние от экрана с отверстием до точки наблюдения поля, то, используя (13.11), можно вычислить число jVp зон Фре­неля, попадающих в пределы отверстия, или число открытых френелевских зон. Это число называется числом Френеля, оно играет важную роль в теории дифракции. Полагая

rn — г, п + 1 = TVF,

Рис. 13.13. Изображение гармонического колебания на комплексной плоскости

Построение дифракционных картин графическим способом. Гра­фический способ анализа дифракционных явлений основан на применении так называемой “спирали Френеля”. Это понятие возникает следующим образом.

Вычисление результирующего светового поля, описываемого интегралом Гюйгенса-Френеля, сводится к суммированию световых колебаний, возбужда­емых элементарными вторичными источниками. С математической точки зре­ния задача сводится к суммированию гармонических колебаний, имеющих одну и ту же частоту, но разные амплитуды и фазы. Наглядный способ решения этой задачи — построение векторной диаграммы.

Векторная диаграмма. Как известно, гармоническое колебание с амплитудой а и фазой tp можно охарактеризовать комплексной амплитудой А = а ехр(г<р) либо вектором на плоскости переменных ReA, ImA, причем дли­на вектора равна а, а угол наклона к оси Re А равен tp (рис. 13.13).

Сумма нескольких гармонических колебаний частоты tv с произвольными амплитудами и фазами есть также гармоническое колебание на частоте tv. Дей­ствительные амплитуду А и фазу Ф результирующего колебания можно найти, складывая по правилу сложения векторов векторы, изображающие колебания - слагаемые. Каждый такой вектор имеет длину, равную амплитуде колебания и угол наклона к оси абсцисс, равный фазе данного колебания. После постро­ения векторной суммы, амплитуда результирующего колебания находится как длина полученного вектора-суммы, а фаза результирующего колебания — как угол наклона этого вектора к оси абсцисс. Данную процедуру (на примере сло­жения трех колебаний) иллюстрирует рис. 13.14.

Спираль Френеля. Применим метод векторной диаграммы для расчета дифракционного интеграла Гюйгенса-Френеля. Сначала вычислим вклад в ди­фракционный интеграл какой-нибудь одной, например нулевой зоны Френеля.

Соответствующее построение показано на рис. 13.15, а. Оно выполняется следующим образом. Разбиваем зону Френеля на множество концентрических колец (подзон). Очевидно, разбиение можно произвести таким образом, чтобы площади подзон были примерно одинаковы, а число подзон было достаточ­но большим. В этом случае вклады подзон изображаются векторами, которые имеют одинаковую длину, но разные углы наклона к оси абсцисс. Первый и последний векторы повернуты друг относительно друга на угол ж — в соответ­ствии с определением зоны Френеля. По мере увеличения радиуса вклад подзо­ны (и, следовательно, длина соответствующего вектора) немного уменьшается

Рис. 13.16. Предельный вид векторной диаграммы в случае, когда открыты все зоны Френеля, и число подзон каждой зоны стремится к бесконечности; А — комплексная амплитуда светового поля в точке Р

вследствие увеличения угла между нормалью к поверхности Е и направлением на точку наблюдения (рис. 13.813.12).

Аналогичным образом строится вектор, изображающий вклад в дифракци­онный интеграл первой зоны Френеля (рис. 13.15, б), а также нулевой и первой зон вместе (рис. 13.15, в). С увеличением номера зоны, элементарные векто­ры, изображающие ее подзоны, становятся короче. Это отражает уменьшение общего вклада данной зоны в суммарное дифракционное поле, связанное с уве­личением угла наклона зоны, т. е. с фактором K(ip).

Продолжая процедуру построения векторной диаграммы для все большего числа зон (см., например, рис. 13.15, г), получим скручивающуюся спираль. Нетрудно видеть, что при увеличении числа подзон каждой зоны, ломанная линия векторной диаграммы будет все больше приближаться к гладкой кривой. В предельном случае, когда открыты все зоны Френеля и число подзон каждой зоны стремится к бесконечности, получим векторную диаграмму, показанную на рис. 13.16. Эта предельная диаграмма имеет вид гладкой скручивающейся спирали — спирали Френеля.

Рассмотрим несколько примеров.

Дифракция на круглом отверстии. Пусть плоская монохроматическая све­товая волна нормально падает на экран с круглым отверстием, как показано на рис. 13.12. Выберем некоторую точку Р на оси отверстия и проанализируем ха­рактер изменения амплитуды А светового поля в данной точке при изменении радиуса отверстия г.

На рис. 13.17. показаны построения на спирали Френеля, выполненные для случаев, когда в пределах отверстия укладывается разное число зон Френеля: одна (а), две (б), три (в), бесконечное множество (г); последний случай соответ­ствует отсутствию экрана, т. е. свободному распространению световой волны.

Используя данные рис. 13.17, а также формулу (13.11) для радиуса френе - левских зон, можно построить искомую зависимость |А(г)|. Результат предста­влен на рис. 13.18. Как видно из этого рисунка, френелевская теория предска­зывает немонотонное изменение амплитуды поля при увеличении радиуса от­верстия. Рис. 13.18. показывает, что максимальная интенсивность света в точке наблюдения достигается, когда отверстие совпадает с нулевой зоной Френеля. В этом случае амплитуда поля в два раза (а интенсивность света в 4 раза) больше, чем в отсутствие экрана. Этот результат можно проверить экспери­ментально, используя когерентный лазерный пучок и ирисовую диафрагму.

Например, если Л = 0,5 мкм, a z = 100 см, то по формуле (13.11) получаем го = 0.7 мм, Т = ro/2 = 1 мм и т. д. Таким образом, заметных дифракцион­ных эффектов можно ожидать при радиусе отверстия порядка радиуса нулевой зоны Френеля, в данном случае, при г ~ 1 мм.

Дифракция на диске и пятно Пуассона. Схема дифракции света на диске показана на рис. 13.19. Предположим, что плоская монохроматическая све­товая волна падает по нормали на круглый непрозрачный диск радиуса г, а наблюдение поля ведется в некоторой точке Р, расположенной в области гео­метрической тени на оси диска.

Построение векторов комплексной амплитуды поля с помощью спирали Френеля показано на рис. 13.20. На рис. 13.21 изображена зависимость ам­плитуды световых колебаний А в точке наблюдения от радиуса диска г. В данном случае зависимость |.4(г)| является монотонно убывающей. Это зна­чит, что чем больше радиус диска, тем меньше интенсивность света в точке наблюдения. Вместе с тем, из рис. 13.21 видно, что даже в случае достаточно большого экрана, закрывающего сразу несколько зон Френеля, интенсивность света в центре геометрической тени отлична от нуля.

Итак, теория Френеля предсказывает проникновение света в центр геоме­трической тени диска, установленного на пути плоской монохроматической све­товой волны. В свое время этот результат рассматривался как аргумент против теории Френеля. Однако эксперименты, выполненные Араго (Доменик Франсуа Араго, 1786-1853), показали, что при освещении непрозрачного диска светом то­чечного источника в центре области геометрической тени действительно суще­ствует маленькое светлое пятно! Это пятно получило название “пятно Пуассо­на” — по имени автора идеи эксперимента. Схема опыта Араго и его результат показаны на рис. 13.22.

Опыт “диск Пуассона” демонстрируется на лекции с использованием света лазера. Непрерывное излучение аргонового лазера направляется на малень­кий стальной шарик (радиусом около 1 мм), прижатый стеклянной пластиной к центру линзы с фокусным расстоянием 6 см. Линза проецирует дифракцион­ную картину (в сильно увеличенном виде) на стену аудитории. Наблюдаемая дифракционная картина имеет вид большого круглого темного пятна со све­тлым ореолом по краю и маленьким, но хорошо заметным светлым пятном в центре (рис. 13.23).

Дифракция на краю экрана. К числу основных проблем теории дифрак­ции, несомненно, относится задача о дифракции на краю экрана или, иными словами, вопрос о том, как происходит переход от света к тени на границе области геометрической тени. Напомним, что само понятие дифракции зароди­лось после опытов Гримальди, в которых было установлено отсутствие резкой границы между светом и тенью (рис. 13.1, 13.2).

Предположим, что плоская монохроматическая световая волна встречает на своем пути полубесконечную непрозрачную плоскость с прямолинейной грани­цей (“край экрана”). Считая, что световая волна распространяется по нормали к экрану, найдем распределение света в плоскости наблюдения, параллельной экрану и находящейся на некотором расстоянии I от него (рис. 13.24).

Для построения дифракционной картины воспользуемся методом зон Фре­неля. В качестве поверхности Е, излучающей вторичные волны, выберем по­луплоскость, являющуюся продолжением экрана; эта поверхность совпадает с волновым фронтом световой волны.

Введем френелевские зоны для точки М, лежащей в плоскости наблюдения точно под краем экрана (рис. 13.25). В данном случае зоны Френеля имеют вид плоских полос, параллельных краю экрана. Обозначая границы зон буквами 0, О2, Оз,..., можно записать:

' ОМ = 1,

ОіМ = г + Л/2,

- (13.15)

О2М = 0М + А/2,

где Л — длина световой волны. Обозначим через dn расстояние от края экрана до начала френелевской зоны с номером п. Из рис. 13.25 видно, что

dl = ООІ = (* + гсА/2)2 - I2 = nl + (пА/2)2.

Учитывая, что / > А и пренебрегая последним слагаемым, получим прибли­женно

dn = у/ых. (13.16)

Пользуясь формулой (13.16), нетрудно подсчитать площадь n-й зоны Френеля:

Sn — {dn+1 — dn)L, где L — длина края экрана. Имеем

Sn = (чЛГ+Т - /n)Lfl = Tfn.

Vn + 1 + i/n 2

Итак, в данном случае площади френелевских зон уменьшаются с ростом но­мера зоны п:

Sn ~ 4=- (13-17)

у/71

Теперь разделим каждую зону Френеля на большое (в пределе — бесконеч­но большое) число подзон. Для определения дифракционного светового поля нужно просуммировать световые колебания, создаваемые в точке наблюдения элементарными вторичными волнами, приходящими от всех открытых зон и подзон. Суммирование будем проводить методом векторной диаграммы. При этом следует учесть, что поскольку при удалении от края экрана ширина фре­нелевских зон уменьшается, длина вектора, изображающего вклад отдельной подзоны, будет тем меньше, чем дальше расположена зона от края экрана. В итоге векторная диаграмма приобретает вид, показанный на рис. 13.26.

Предположим теперь, что при фиксированной точке наблюдения поля М (рис. 13.25) край экрана начинает отодвигаться влево. Ясно, что в этом случае будут “открываться” зоны Френеля, расположенные слева от первоначального положения края экрана. Картина расположения границ зон Френеля справа и слева от точки О симметрична, поэтому симметричной будет и соответствую­щая спираль Френеля (рис. 13.27).

Пользуясь спиралью Френеля, изображенной на рис. 13.27, можно постро­ить полную картину дифракции света на краю экрана. Процедуру построения иллюстрируют рис. 13.28, а-е. Результат удобно представить в виде зависимо­сти интенсивности света I от расстояния х, показанного на рис. 13.24. Вид

зависимости 1(х) показан на рис. 13.28, г. Полученный результат хорошо со­гласуется с данными эксперимента по дифракции лазерного пучка на краю экрана (рис. 13.3, 13.4).

Итак, метод зон Френеля позволяет на качественном уровне объяснить це­лый ряд дифракционных явлений: дифракцию на отверстии, дифракцию на диске, дифракцию на краю экрана. Это позволяет сделать вывод о том, что в основе дифракционных явлений действительно лежит интерференция элемен­тарных вторичных волн.

Свободное распространение плоской волны и нормировка интеграла Гюйгенса-Френеля. Интеграл (13.2) можно использовать для количественного расчета дифракционных картин. В качестве простой те­стовой задачи целесообразно рассмотреть свободное распространение плоской световой волны.

Введем обозначения, показанные на рис. 13.29. Направим ось 2 вдоль напра­вления распространения волны, а в качестве поверхности — источника вторич­ных волн выберем плоскость Е, совпадающую с волновым фронтом. Пусть Р — точка наблюдения поля, О — начало координат, М — точка, лежащая на по-

верхности Е на расстоянии г от точки О. Введем также расстояние z от точки О до точки Р и расстояние р от точки М до точки Р. Как видно из рис. 13.29, р2 = г2 + z2. Отсюда при г> г получаем приближенное выражение

р = z + г2/2z. Подставив (13.18) в (13.2), получим

,—ikz

(13.18)

£{Р) = £о~ J ехр (—ikr2/2z) K(<p)da, (13.19)

где £о — амплитуда световой волны в плоскости г = 0. В знаменателе подын­тегрального выражения в (13.2) мы пренебрегли отличием р от z. В плоскости £ введем полярные координаты с центром в точке О. Тогда da — 2irrdr, а коэффициент наклона К (р) можно считать функцией аргумента г. При этом формула (13.19) приобретает вид

Положим

(13.21)

где К(0) — постоянная, /(г) — некоторая убывающая функция аргумента г, изменяющаяся от 1 до 0 при изменении г от 0 до оо. Выберем эту функцию так, чтобы интеграл (13.20) имел как можно более простой вид. Например, полагая

/(г) = ехр(-ах2),

получим

7Г

£(Р) = £oe~ikzK(0)

z(a + ik/2z)'

Перейдем к пределу а 0. Тогда

£{Р) = £oe-ikzK(0)-^.

С другой стороны, при свободном распространении плоской волны должно вы­полняться соотношение (рис. 13.29)

£(P) = £0e~ikz.

Сравнивая формулы (13.24) и (13.25), находим К(0) = ik/2ж или

АГ(0) = і/А.

Итак мы показали, что дифракционный интеграл Гюйгенса-Френеля пра­вильно описывает свободное распространения плоской световой волны, если выполняется условие (13.26). Полагая К(<р) = А"(0) = г/Л, запишем интеграл

(13.2) в виде

(13.27)

Ниже мы используем интеграл Гюйгенса-Френеля, записанный в виде (13.27), для количественный расчетов дифракционных картин.

Дифракционная длина светового пучка. Ближняя и дальняя зо­ны дифракции. Обратимся еще раз к задаче о дифракции плоской световой волны на круглом отверстии, и попытаемся выяснить как меняется интенсив­ность света I на оси отверстия по мере увеличения расстояния от экрана z (рис. 13.30.)

Если расстояние г фиксировано, то радиусы френелевских зон выражаются формулой

rn = у/(п+ 1)А г, (13.28)

где п — номер зоны, А — длина световой волны. Теперь будем считать фиксиро­ванным радиус отверстия г. Тогда по мере удаления от экрана периферийные зоны Френеля одна за другой начнут выходить за пределы отверстия, пока, наконец, в пределах отверстия не останется одна нулевая зона Френеля. Ис­пользуя построение на спирали Френеля (рис. 13.31), нетрудно видеть, что в этот момент интенсивность света I в точке наблюдения достигает максимума (рис. 13.32), после чего монотонно убывает с ростом расстояния г.

Назовем расстояние z, при котором отверстие совпадает с нулевой зоной Френеля, дифракционной длиной светового пучка. Будем обозначать это рас­стояние 2Д. Из рис. 13.32 видно, что дифракционная длина определяет границу между двумя различными зонами. Зона, для которой

г < za, (13.29)

называется ближней зоной дифракции. В этой зоне световой пучок сохраняет структуру, заданную формой отверстия, а интенсивность света на оси пучка примерно равна интенсивности исходной световой волны. Для точек ближней зоны в пределах отверстия помещается множество зон Френеля, поперечный

профиль пучка поддерживается постоянным за счет интерференции элемен­тарных вторичных волн, идущих от разных зон Френеля. Зона, для которой

г » 2Д, (13.30)

называется дальней зоной дифракции. В этой зоне интенсивность света на оси пучка много меньше интенсивности исходной волны, следовательно, световой пучок расширяется. Для точек дальней зоны в пределах отверстия помещается только центральная часть нулевой зоны Френеля. Интерференция элементар­ных вторичных волн выражена слабее. Она уже не в состоянии поддерживать исходный поперечный профиль пучка, пучок становится расходящимся.

Используя данное выше определение дифракционной длины zA и формулу

(13.28) , нетрудно показать, что

2Д = г2/А, (13.31)

где г — радиус пучка, Л — длина световой волны. Дифракционная длина свя­зана с числом Френеля, определяемым формулой

Nf = r2/z, (13.32)

соотношением

Nf = zjz. (13.33)

Из (13.29), (13.30), (13.33) следует, что в ближней зоне

Nf » 1, (13.34)

а в дальней

Nf <С 1. (13.35)

Дифракционная расходимость пучка в дальней зоне. Характер из­менения поперечного размера светового пучка в процессе дифракции показан на рис. 13.33. Оценим дифракционную расходимость пучка вл (рис. 13.34).

Исходя из представления об интерференции элементарных вторичных волн, естественно допустить, что положение границы светового пучка определяется условием

Д = А/2,

где А — длина световой волны, Д — разность хода лучей, приходящих в данную точку от противоположных границ отверстия (рис. 13.35).

Из рис. 13.35 видно, что Д и ёзт(вд/2), где d — диаметр отверстия, вд — угол дифракционной расходимости. Как правило, дифракционная расходи­мость невелика (вд <С 1), поэтому можно записать приближенное соотношение Д = сШд/2, из которого следует, что

вд = A/d.

Итак, формула (13.37) определяет дифракционную расходимость светового пучка в дальней зоне. В этой формуле А — длина световой волны, d — на­чальный размер пучка. Диаметр пучка в дальней зоне выражается формулой

(13.38)

где z — координата, отсчитываемая вдоль пучка от экрана с отверстием.

Формула (13.37) показывает, что дифракционная расходимость пучка тем больше, чем меньше его начальный размер. Этот результат можно проверить экспериментально, используя лазерный пучок и ирисовую диафрагму или раз­движную щель; опыт подтверждает закономерность, выражаемую формулой

(13.37).

Оценим дифракционную длину za и угловую расходимость вД для пучка гелий-неонового лазера. Полагая d = 2 мм, А = 0,6 мкм, получим гД — 1,5 м; 0д = 3 х 10-4 рад. В справедливости этой оценки можно убедиться, наблюдая свободную дифракцию лазерного пучка.

Фокусировка света как дифракционное явление. Оценка дифракци­онной расходимости светового пучка (13.37) позволяет оценить минимальный поперечный размер пучка, который может быть получен при фокусировке све­та линзой. Этот параметр важен для физической оптики, так как он устана­вливает предел концентрации света в пространстве.

Схема фокусировки показана на рис. 13.36. Будем исходить из того, что картина фокусировки симметрична относительно фокальной плоскости линзы. Справедливость этого предположения подтверждает опыт, правила геометри­ческой оптики, а также теория, основанная на решении волнового уравнения (см. дополнение 13).

Очевидно, что расходимость пучка справа от фокальной плоскости опре­деляется дифракцией. Используя формулу (13.37), угол расходимости можно записать в виде

0Д = A/d*, (13.39)

где d<$, — диаметр пучка в фокальной плоскости. С другой стороны, тот же самый угол можно выразить через фокусное расстояние линзы F и диаметр пучка D, падающего на линзу:

0Д = D/F. (13.40)

Из (13.39), (13.40) находим

гіф = XF/D. (13.41)

Итак, диаметр фокального пятна определяется формулой (13.41). В этой фор­муле А — длина световой волны, F — фокусное расстояние линзы, D — диа­метр пучка, падающего на линзу.

Какова минимальная возможная величина гіф? Формула (13.41) показывает, что если диаметр исходного светового пучка равен диаметру линзы, то вели­чина сіф тем меньше, чем больше отношение диаметра линзы к ее фокусному

расстоянию. Параметр D/F называется относительным отверстием линзы. На практике удается изготавливать линзы с относительным отверстием не бо­лее единицы. В наиболее благоприятном случае, когда D/F = 1, по формуле

(13.41) получаем

<п = Л, (13.42)

т. е. диаметр фокального пятна оказывается порядка длины световой волны.

Отметим, что формула (13.41) справедлива для пространственно когерент­ных пучков. В случае некогерентного пучка величину D в (13.41) следует заме­нить на радиус когерентности света гк (см., например. [10]). При этом величина гіф, вообще говоря, увеличивается.

Оценим теперь длину фокальной перетяжки Д/ф. Из рис. 13.36 и 13.33 вид­но, что длину перетяжки можно принять равной удвоенной дифракционной длине пучка с начальным диаметром гіф:

Д/ф = 2зд, гд = гіф/4А.

Таким образом,

Д/ф = гіф/2А (13.43)

или, с учетом (13.41),

Д/ф = XF2/2D2. (13.44)

Итак, диаметр и длина фокальной перетяжки определяются формулами

(13.41) , (13.43). Данные формулы следует рассматривать как оценки, получен­ные на основе физических соображений. Более точные выражения могут быть получены на основе математической теории дифракции, т. е. путем решения волнового уравнения при соответствующих граничных условиях (см. дополне­ние 13).

Сделаем численные оценки. Предположим, что когерентный лазерный пу­чок с длиной волны А = 0,5 мкм и диаметром d = 2,5 мм фокусируется линзой с фокусным расстоянием F — 16 см. Используя формулы (13.41), (13.43), по­лучим гіф = XF/d = 3 х 10~3 см, Д/ф = </ф/2А = 0,1 см.

Теория дифракции Кирхгофа. Основная задача теории дифракции со­стоит в отыскании структуры светового поля при наличии препятствий рас­пространению волны.

После открытия уравнений электродинамики и электромагнитной природы света (Д. К. Максвелл, 1870) была сформулирована математическая задача дифракции как задача отыскания решений волнового уравнения, удовлетворя­ющих определенным граничным условиям:

1 &*Е

АЕ~ d*l)F = °’ (13.45)

+ граничные условия.

Общий метод решения данной задачи был предложен Густавом Кирхгофом в 1882 г. Кирхгофу удалось показать, что дифракционный интеграл Гюйгенса - Френеля можно рассматривать как приближенное решение задачи дифракции (13.45). Таким образом, френелевская теория дифракции получила математи­ческое обоснование. Рассмотрим коротко основные идеи теории Кирхгофа.

Уравнение Гельмгольца. Поскольку в задачах дифракции интересу­ются, в первую очередь, пространственной структурой поля, рассмотрим моно­хроматическое поле вида

E(r, t) = ^£(г)еші + к. с., (13.46)

где из — частота, £(г) — комплексная амплитуда. Подставив (13.46) в волновое уравнение (13.45), получим для £(г) уравнение Гельмгольца

Д£ + к?£ = 0, (13.47)

где к = из/с — волновое число, с — скорость света, Д — оператор Лапласа.

Простейшие решения уравнения Гельмгольца представляют собой плоскую волну

£ = £0е~iir (13.48)

и сферическую волну

p-ifcr

£ = А (13.49)

г

(см. ч. I).

В силу линейности уравнения Гельмгольца ему удовлетворяют также про­извольная совокупность плоских волн, распространяющихся во всевозможных направлениях, и произвольная совокупность сферических волн, возникающих в разных точках пространства. Отсюда следует, что в основу решения задачи дифракции (13.45) можно положить идею спектрального разложения, соглас­но которой любое световое поле можно представить в виде набора плоских или сферических волн. В теории Кирхгофа в качестве эталонной волны принята сферическая световая волна; реальное световое поле представляется в виде совокупности сферических волн.

Интегральная теорема Кирхгофа-Гельмгольца. Согласно этой теореме, амплитуду поля в некоторой точке Р можно вычислить, если известна амплитуда поля £ и ее производная по нормали д£/дп на какой-либо поверх­ности S, охватывающей точку Р (рис. 13.37). А именно,

(13.50)

S

где

G — функция точечного источника, или функция Грина для уравнения Гель­мгольца.

Граничные условия Кирхгофа. Применительно к задаче дифрак­ции, когда распространению световой волны препятствует экран или система экранов, Кирхгоф предложил использовать следующие приближенные гранич­ные условия для светового поля: в пределах отверстий поле таково, как если бы экранов не было, а на теневой стороне экранов поле равно нулю. Итак,

ма теневой стороне экранов 5=0, д£/дп = 0,

в пределах отверстий £ и д£ /дп таковы, как если бы экранов не было.

Несмотря на очевидно приближенный характер данных условий, оказыва­ется, что в оптике (ввиду малости длины световой волны) они обеспечивают достаточную точность вычислений.

Дифракционный ийтеграл Кирхгофа-Гельмгольца. Для за­дачи о дифракции сферической световой волны на отверстии (рис. 13.38) теория Кирхгофа дает следующий результат:

(13.53)

где

Интеграл (13.53) в точности совпадет с дифракционным интегралом Гюй­генса-Френеля (13.2). Однако вид функции K{ip), предполагаемый Френелем (рис. 13.9), оказывается не совсем точным. Теория Кирхгофа показывает, что на самом деле коэффициент наклона К{<р) определяется формулой (13.54); гра­фик этой функции показан на рис. 13.39.

Основной вклад в дифракционный интеграл вносят центральные (приосе - вые) зоны Френеля, для которых ip 1. Полагая К(<р) = К(0) = г/А, получим

(13.55)

В такой форме дифракционный интеграл совпадает с интегралом (13.27). Итак, теория Кирхгофа обосновывает и уточняет теорию Френеля.

Остановимся, коротко, на выводе формул (13.53), (13.54). Пусть есть точеч­ный монохроматический источник света, расположенный в точке Fo - Вычислим световое поле в некоторой точке F при условии, что между точками Fo и Р имеется препятствие распространению световой волны, например, экран с от­верстием (рис. 13.38).

Согласно теореме Кирхгофа-Гельмгольца, дифракционное световое поле в точке F определяется интегралом (13.50) по произвольной поверхности S, охва­тывающей эту точку. Выберем поверхность 5 состоящей из трех частей: поверх­ности £, стягивающей отверстие в экране, поверхности 5i теневой части экрана и сферической поверхности достаточно большого радиуса с центром в точке F. Вид поверхности S показан на рис. 13.40.

о

Физические соображения показывают, что основной вклад в световое поле в точке Р должен давать интеграл по поверхности Е, поскольку именно че­рез отверстие в экране, а не с какой-либо другой стороны свет от источника проникает в точку Р. Следовательно,

£(р^гЛ°э£-£д£)^ (13'56>

Е

где

Р-ikp

G =-------------------------------------------------------------- , (13.57)

Р

G — функция Грина, к — волновое число световой волны, р — расстояние между точками М и Р, п — единичный вектор нормали к поверхности S в точке М. В данном случае поверхность Е удобно выбрать в виде сферической поверхности с центром в точке Ро, где расположен точечный источник света. Математическое обоснование перехода от интеграла по замкнутой поверхности S к интегралу по поверхности Е дано, например в [12].

Итак, дифракционное световое поле в точке Р описывается формулами

(13.56) , (13.57). Преобразуем выражение для £{Р). Начнем с вычисления про­изводной dG/dn. Как видно из рис. 13.38, п ~ —по- Следовательно, можно записать dG/dn = —dG/dn0. Далее, поскольку функция Грина, определяемая формулой (13.57), зависит от По неявно, воспользуемся правилом дифферен­цирования сложной функции: dG/dno = (dG/dp)(dp/dn0). В силу (13.57)

^ = _ (ik+ G« - ikG. др V PJ

Это приближение, называемое оптическим, обычно обеспечивает достаточную точность, поскольку в оптике, как правило, р Л и, следовательно, к 1/р.

Вычисление производной по направлению др/дп0 иллюстрирует рис. 13.41. Как видно из этого рисунка,

др Д р.

-г—= lim -— = - cos <р.

ОПо Дпо—>о Дно

Таким образом,

dG

— = —ikG cos ю. (13.58)

on

Теперь вычислим производную дЕ/дп. Так как эта производная вычисля­ется в точке М на поверхности Е,

-Пер

£ = £(М) = А0

Pi

где Ао — постоянная, р — расстояние от точки Ро до точки М. Вычисления выполняем подобно тому, как это сделано выше для производной dG/дп. Полу­чаем d£/dn = (д£/др)(дрі/дп), дрі/дп = -1, d£/dpi = ~(ik + l/pi)£ « ~ik£. Итак,

л С

^ = ik£. (13.59)

Подставив (13.57)-(13.59) в (13.56), получим (13.53), (13.54), что и требовалось показать.

Итак, приближенное решение волнового уравнения для светового поля, дан­ное Кирхгофом, подтверждает френелевскую теорию дифракции. Френель пра­вильно угадал структуру дифракционного интеграла! В настоящее время те­ория Френеля сохраняет свое значение, прежде всего, как система нагляд­ных образов, хорошо раскрывающая физику дифракции света. Математическая формулировка задачи дифракции (13.45), основанная на теории Максвелла, по­зволяет использовать для решения дифракционных задач хорошо разработан­ный аппарат математической физики, в частности, метод спектрального разло­жения, метод параболического уравнения (см. лекцию 17 и дополнение 13), а также применять мощные и универсальные методы численного моделирования.