Физическая оптика

Анализ, преобразование и синтез световых полей

Спектральное описание пространственной структуры поля. Линза как эле­мент, выполняющий пространственное преобразование Фурье. Формирование оптического изображения. Теория Аббе. Опыты Аббе-Портера. Метод тем­ного поля. Метод фазового контраста. Разрешающая способность микроскопа и телескопа. Голография. Запись и восстановление светового поля. Дифрак­ционная решетка и интерферометр Фабри-Перо как спектральные приборы. Разрешающая способность и область дисперсии. Фурье-спектроскопия. Спек­троскопия оптического смешения.

Рассматриваются вопросы формирования оптического изображения и спек­трального анализа света. Излагаются физические основы голографии как ме­тода записи и восстановления световых полей.

Методы теории линейных систем, широко применяемые в радиофизике для исследования временных сигналов, оказываются весьма полезными и в оптике, где объектом исследования являются световые поля. Спектральное разложе­ние, основанное на преобразовании Фурье, позволяет представить произволь­ное световое поле со сложной пространственно-временной структурой в виде суперпозиции плоских монохроматических волн. В силу линейности волнового уравнения, каждая их этих волн распространяется в вакууме или в линейной оптической среде независимо от других волн, что дает возможность свести ана­лиз преобразования сложного поля к задаче о преобразовании элементарной волны. Результирующее поле находят затем путем суммирования прошедших через систему плоских монохроматических волн.

Указанные процедуры — анализ, преобразование и синтез световых по­лей — являются не просто математическими операциями, но во многих случаях отчетливо проявляются как реальные физические процессы. Так, при свобод­ной дифракции светового пучка в дальней зоне формируется устойчивое про­странственное распределение интенсивности излучения, повторяющее по фор­ме угловой спектр пучка. Такую же форму, только в значительно меньшем масштабе, имеет распределение поля в фокальной плоскости линзы. В обо­их случаях осуществляется пространственное спектральное разложение поля. Различные операции над световыми полями, выполняемые в фокальной плос­кости линзы с помощью разного рода экранов, масок, фазовых пластин, явля­ются пространственными аналогами частотной фильтрации электрических ко­лебаний, применяемой в радиотехнике.

Идеи и методы, связанные с направленным воздействием на световые поля с целью формирования заданной структуры поля, объединяют понятием “фурье - оптика”. Этот термин подчеркивает основополагающую роль спектральных представлений для решения задач, связанных с анализом, преобразованием и синтезом световых полей.

Спектральное описание пространственной структуры поля. Поле световой волны, распространяющейся в свободном пространстве, подчиняется волновому уравнению

д2 д2 д2

дх2 ду2 dz2 ’

А — оператор Лапласа. Ограничимся рассмотрением дифракции монохрома­тической волны. Полагая

E(r, t) = ^£(г)еші + к. с.,

получим для комплексной амплитуды £{г) уравнение Гельмгольца

А£ + к2£ = О,

где k = uj/c. Задача дифракции состоит в отыскании решения уравнения (17.4), удовлетворяющего граничному условию

£{x, y,z = 0) = £о(х, у).

Такое условие возникает, например, при прохождении света через экран ти­па “черная маска”, плоский транспарант, вносящий фазовую неоднородность и т. п.

Выше мы познакомились с решением задачи дифракции, основанным на применении теоремы Грина и интегральной теоремы Кирхгофа-Гельмгольца. Это позволило математически обосновать принцип Гюйгенса-Френеля, запи­сать дифракционный интеграл в приближениях Френеля и Фраунгофера, ре­шить ряд дифракционных задач (см. лекции 13-15). Покажем теперь, что за­дача дифракции может быть решена и другим способом — с помощью спек­трального подхода. Этот путь решения оказывается даже более простым.

Разложим двумерное световое поле £о(х, у), заданное в начальном сечении z = 0, в интеграл Фурье

Здесь пространственная спектральная амплитуда £о(кх, ку) определяется об­ратным преобразованием Фурье:

ОО

£о ( ^х ) ) — £0(х, у) ехр [i(kxx + куу)] dx dy. (17-7)

—ОО

Световое поле £(x, y,z) в произвольной точке пространства ищем в виде, ана­логичном (17.6), но со спектральной амплитудой, зависящей от z:

Подставляя (17.8) в (17.4), находим уравнение для спектральной амплитуды £{кхіky, z).

д2£ dz2

и его решение

£{kx, ky, z) = £0(kx, kv)exp (-iz^Jk2 - к2 — к2) . (17.10)

Подставив теперь (17.10) в (17.8), получим

2 00

£(®iУ>%) = ^27г^ JJ£о{кх, ку) х

х ехр г (кхх + куу + z^jk2 - к2 - kfj dkx dky, (17.11)

или, с учетом (17.7),

00

£{x, y,z) = JJ£0(x',y')h{x - х', у - y',z)dx' dy', (17.12)

— 00

где введена функция

2 00

h(x, y,z) = JJ ехр і (кхх + куу + z^Jk2 - К2 - dkxdky, (17.13)

— ОО

называемая функцией Грина данной линейной системы. Введем также функ­цию

Х(кх, ку, z) = ехр (-iz^k2 - к*- tf} , (17.14)

называемую частотным коэффициентом передачи системы. Из формул (17.10) и (17.14) следует, что

£(кх, ку, z) = £о(кх, ку) х(кх, ку, z). (17.15)

Кроме того, в силу (17.13), (17.14),

2 00

h(x, y,z) = JJx{kx, ky, z)exp[-i(kxx + kyy)]dkxdky (17.16)

— ОО

и, следовательно,

оо

Таким образом, частотный коэффициент передачи и функция Грина связаны между собой преобразованием Фурье. Это общее свойство всех линейных си­стем.

Прямой подстановкой (17.12), (17.13) в (17.4), (17.5) нетрудно проверить, что найдено точное решение задачи дифракции. Простота решения указывает на адекватность использованного математического метода физическому содер­жанию задачи дифракции.

Инварианты распространения светового пучка. Введем ин­тенсивность I, мощность Р и угловой спектр S(kx, ky) светового пучка, опреде­лив их формулами:

I(x, y,z) = ~£{x, y,z)2,

(17.19)

S(kx, ky) = £(kx, kv)2.

В силу теоремы Парсеваля

(17.21)

Из формул (17.14), (17.15), (17.18)-(17.21) следует, что угловой спектр пучка и его полная мощность не зависят от z, т. е. являются инвариантами распро­странения:

S(kx, ky, z) = So(kx, ky) = inv,

P(z) = P0 = inv.

Нетрудно проверить, что результаты конкретных расчетов, проделанных вы­ше (см. лекции 14, 15) удовлетворяют общим соотношениям (17.22), (17.23). Формула (17.22) раскрывает причину устойчивости картины фраунгоферовой дифракции. Согласно этой формуле, картина дифракции, возникающая в даль­ней зоне, устойчива потому, что она повторяет форму углового спектра пучка, а угловой спектр является инвариантом распространения.

Приближение Френеля. Для слабо расходящегося светового пучка имеют место неравенства

kl,k2yCk

т. е. угловой спектр является достаточно узким. В этом случае можно записать приближенное равенство

Jk2 — k2 — k2 = k-(kl+ k2y)/2k.

Частотный коэффициент передачи приобретает вид

Подставив (17.26) в (17.16) и выполнив интегрирование, получим следующее выражение для функции Грина:

Подстановка (17.27) в (17.12) приводит к формуле

£{x, y,z) = —е

оо

х JJ£о(х',у')ехр^-^[(х-х')2+ (y-y')2]^dx'dy'. (17.28)

— ОО

Полученное выражение совпадает с дифракционным интегралом в приближе­нии Френеля (см. формулу (14.6)). Таким образом, в рамках спектрального подхода удается воспроизвести все результаты френелевской теории дифрак­ции. Кроме того, спектральные представления позволяют глубже понять фи­зический смысл такого понятия как дифракционная расходимость светового пучка.

Дифракционная расходимость излучения. Рассмотрим, для определенности, дифракцию плоской волны на щели (рис. 15.2). Согласно спек­тральным представлениям, ограничение поперечного размера светового пучка приводит к уширению его углового спектра (рис. 15.3). При этом связь между поперечным размером пучка Ах и шириной углового спектра Акх выражается формулой

АхАкх - 2п,

которая вполне аналогична формуле AtAu) = 2тг, связывающей между собой длительность импульса At и ширину частотного спектра Дш (см. дополнение 4). Пространственная частота кх выражается через угол, показанный на рис. 15.2, следующим образом: кх = к sin в, где к = 2ж/ — волновое число, А — длина световой волны. Для малых углов в можно, следовательно, записать кх = кв и Акх = кАв, где Ав — ширина углового спектра или угловая расходимость пучка. Пусть ширина щели Ах = d. Тогда из формулы (17.29) следует, что

Ав = A jd (17.30)

в соответствии с формулой (13.37), полученной выше. Таким образом, в спек­тральной теории оценка дифракционной расходимости излучения может быть получена как следствие фундаментального соотношения (17.29) между попе­речным размером пучка и шириной его углового спектра.

Линза как элемент, выполняющий пространственное преобразо­вание Фурье. Из геометрической оптики известно, что линза собирает па­раллельный пучок света в точку, расположенную в фокальной плоскости (рис. 17.1). Произвольное световое поле можно представить как совокупность

плоских волн (параллельных пучков), падающих на линзу под разными угла­ми. Каждой такой волне линза ставит в соответствие определенную точку в фокальной плоскости. При этом распределение света в фокальной плоскости приобретает форму пространственного спектра поля, падающего на линзу. В этом смысле линза действует как элемент, выполняющий пространственное спектральное разложение света, или пространственное преобразование Фурье.

Указанное свойство линзы нетрудно описать на языке волновой оптики. Для этого введем коэффициент передачи линзы и воспользуемся френелевской теорией дифракции.

Коэффициент передачи тонкой линзы. Рассмотрим линзу, для которой луч, входящий в точке с координатами х, у на одной поверхности, вы­ходит на другой поверхности в точке с такими же координатами. Разумеется, данное условие является приближенным, однако оно выполняется тем точнее, чем тоньше линза. Этим и объясняется термин “тонкая” линза.

Определим комплексный коэффициент передачи тонкой линзы t(x, y) как отношение комплексных амплитуд прошедшей и падающей волн

= (17-31)

Для вычисления этой характеристики линзы необходимо описать распростра­нение света в стекле. Распространение света в различных оптических средах будет подробно рассмотрено ниже (см. ч. IV). Здесь же воспользуемся одним простым результатом, необходимым нам для расчета. Этот результат заключа­ется в том, что в прозрачной линейной изотропной оптической среде световая волна распространяется со скоростью

v = с/п, (17.32)

где с — скорость света в вакууме, п — действительная положительная вели­чина, большая единицы, называемая показателем преломления среды. Принимая во внимание (17.32), запишем световую волну в стекле в виде

£{r) = Аехр(—iknz) (17.34)

и к — и/с.

Обозначим через Д(х, у) толщину линзы в точке с координатами х, у, а через До — ее максимальную толщину (рис. 17.2). Тогда нетрудно показать, что коэффициент передачи линзы есть

t(x, у) = exp[-i</?(x, у)], (17.35)

гДе

ip(x, у) = кА0 + (п - 1)А:Д(х, у). (17.36)

Теперь вычислим функцию А(х, у). Сделаем это на примере плоско-выпуклой линзы, показанной на рис. 17.3. Как видно из этого рисунка,

Д(х, у) = Д0 - R + VR2 - х2- у2, (17.37)

где R — радиус кривизны сферической поверхности линзы. Полагая, что

х2«Д2, у2 «R2 (17.38)

(“параксиальное” приближение), запишем выражение для А(х, у) в виде

Д(х, у) = До - (х2 + y2)/2R. (17.39)

Тогда коэффициент передачи линзы приобретает вид

t(x, y) = ехр [г(п - l)fc(a:2 + y2)/2R] . (17.40)

Для упрощения записи мы опустили здесь постоянный фазовый множитель. Далее введем фокусное расстояние линзы /, определив его формулой

(см. дополнение 12). Тогда

t(x, y) = ехр [ik{x2 + y2)/2f] .

В такой форме коэффициент передачи описывает не только плоско-выпуклую, но и вообще любую тонкую линзу.

Распределение света в фокальной плоскости линзы. Вычи­слим теперь распределение интенсивности света в фокальной плоскости линзы. Пусть на линзу с фокусным расстоянием / падает монохроматическая световая волна с комплексной амплитудой £0 = £0(х, у). Тогда комплексная амплитуда волны на выходе из линзы есть

£і{х, у) = £0(х, у)ехр [ik(x2 + y2)/2f] .

Далее световая волна распространяется в соответствии с законами дифракции. Используя дифракционный интеграл в приближении Френеля (см. лекцию 14)

£{x, y,z) = ^ х

ОО

х Л ^i(x',y')exp^-~[(x-x')2+ (y-y')2]^dx'dy', (17.44)

— ОО

можно найти распределение амплитуды поля на любом расстоянии z от линзы

В частности, полагая z = /, найдем распределение поля в фокальной плоскости линзы

S(x, y,f) = jjexp J'-ik + X

ИЛИ

£(x, y,f) = — exp

где

00

£o{kx, ky) = JJ£o(x, y) exp [i(kxx + kvy)]dxdy. (17.48)

Формула (17.47) показывает, что в фокальной плоскости линзы формируется распределение поля, пропорциональное пространственному фурье-образу поля, падающего на линзу. Распределение интенсивности света в фокальной плоско­сти имеет форму углового спектра излучения падающего на линзу, а именно

Спектральный анализ оптических изображений. Тот факт, что в фокальной плоскости образуется распределение интенсивности света, имеющее форму пространственного спектра поля, падающего на линзу, мож­но использовать для получения фурье-спектров оптических изображений. Для этого достаточно поместить транспарант с изображением непосредственно пе­ред линзой, направить на него пучок когерентного света и поместить фото­пластинку в задней фокальной плоскости линзы. Записанное на фотопластин­ке изображение будет иметь форму пространственной спектральной плотности изображения на транспаранте. Указанную процедуру иллюстрирует рис. 17.4, на котором показаны пример оптического изображения и его фурье-спектр, полученный оптическим способом.

Формйрование оптического изображения. Теория Аббе. В 70-х годах XIX века Эрнст Аббе проводил опыты, направленные на улучшение качества объективов для микроскопов. Работая в Йенском университете как сотрудник (а затем и как компаньон) Карла Цейса, Аббе обнаружил, что объектив микро­скопа дает тем лучшее разрешение, чем больше его апертура. В экспериментах с объектами, имеющими периодическую структуру (чешуйки насекомых), он показал, что влияние апертуры микроскопа связано с дифракцией света на са­мом образце. Аббе ввел волновую теорию в инструментальную оптику, бывшую ранее исключительно сферой приложения геометрической оптики.

Согласно теории, развитой Аббе, процесс формирования линзой оптического изображения можно разбить на два этапа: фурье-анализ волнового поля объ­екта и фурье-синтез изображения. При этом важную роль играет фокальная плоскость линзы, в которой образуется распределение поля, пропорциональное фурье-образу поля источника.

Схема формирования изображения по Аббе показана на рис. 17.5. В качестве объекта, изображение которого строит линза, выбрана дифракционная решет­ка. Так как свет, прошедший через решетку, имеет дискретный угловой спектр, имеется возможность проследить ход отдельных спектральных компонент про­странственного спектра поля. Как видно из рисунка, на первом этапе линза осу­ществляет фурье-анализ волнового поля, испускаемого объектом. Эта операция осуществляется в области пространства между линзой и ее задней фокальной плоскостью и математически выражается преобразованием Фурье. Распреде­ление интенсивности света в задней фокальной плоскости линзы представляет собой фурье-образ поля, испускаемого объектом. На втором этапе в процессе свободной дифракции осуществляется фурье-синтез изображения. Эта опера­ция происходит в области пространства между задней фокальной плоскостью линзы и плоскостью изображения, и математически также выражается пре­образованием Фурье. В итоге в плоскости изображения формируется световое поле, структура которого повторяет структуру объекта.

Разумеется, теория Аббе не противоречит принципам геометрической опти­ки, хорошо проверенным на опыте. Однако она позволяет глубже понять фи­зику формирования оптических изображений, оценить предельную разрешаю­щую способность оптических приборов и, кроме того, несет в себе плодотворную идею обработки изображений путем воздействия на пространственный спектр

излучения. Так, помещая в фокальной плоскости линзы диафрагму, экран или фазовую пластину, можно осуществить такое преобразование углового спектра излучения, при котором нужные детали изображения будут подчеркнуты, а по­мехи удалены. Таким образом в оптике удается реализовать частотную филь­трацию оптических полей — операцию, аналогичную фильтрации электриче­ских колебаний, применяемой в радиотехнике. Рассмотрим несколько приме­ров, иллюстрирующих принципы фурье-оптики.

Опыты Аббе-Портера. Схема эксперимента показана на рис. 17.6. Пред­мет, которым служит сетка из тонкой проволоки, освещается когерентным све­том. Свет, прошедший через сетку, падает на линзу, которая строит изображе­ние сетки на экране. На рис. 17.7, а приведена фотография исходного спектра сетки, а на рис. 17.7, б показано соответствующее изображение. Из-за периодич­ности структуры сетки ее фурье-спектр имеет вид системы пятен. При этом размер отдельного пятна определяется размером сетки, а расстояние между пятнами определяется периодом сетки (см. лекцию 16). Вертикальные столб­цы пятен соответствуют вертикальной неоднородности сетки, т. е. системе про­волок, вытянутых в горизонтальном направлении. Горизонтальные “строки” пятен соответствуют системе проволок, вытянутых по вертикали.

Возможности спектральной фильтрации изображения хорошо видны на примере эксперимента, в котором в заднюю фокальную плоскость линзы по­мещают узкую щель, которая пропускает только один ряд спектральных ком­понент. На рис. 17.8, а показан спектр, пропускаемый горизонтальной щелью. Соответствующее изображение, показанное на рис. 17.8,5, содержит систему проволок, вытянутых по вертикали. Горизонтально вытянутые проволоки ис­чезают из изображения. Если повернуть щель на 90° так, чтобы она пропуска­ла лишь вертикальный ряд пятен (рис. 17.9, а), то получающееся изображение содержит лишь систему горизонтальных линий (рис. 17.9, б).

Можно наблюдать и другие интересные эффекты. Например, если в фо­кальную плоскость линзы поместить ирисовую диафрагму и установить ее так, чтобы через нее проходила только осевая фурье-компонента спектра, то при постепенном расширении диафрагмы можно шаг за шагом проследить фурье - синтез сетки. Если же вместо диафрагмы поместить в фокальной плоскости маленький экран, который закрывал бы центральное пятно фурье-спектра, то получим изображение сетки с обращенным контрастом.

_________________________________________________________

а) б)

Рис. 17.9. Спектр сетки, отфильтрованный вертикальной щелью (а) и соответствую­щее изображение (б)

2 3 S

А

V

Рис. 17.10. Схема лазерной установки для демонстрации опытов Аббе-Портера

Опыт Аббе -Портера демонстрируется на лекции с помощью установки, схе­ма которой показана на рис. 17.10. Излучение гелий-неонового лазера падает нормально на проволочную сетку 1, изготовленную из проволоки толщиной 0,1 мм. Элементарная ячейка сетки представляет собой квадрат со стороной 0,4 мм. Сеточка выполняет роль оригинала. В непосредственной близости от нее размещается собирающая линза 2 с фокусным расстоянием / = 5 см, да­ющая на экране S, удаленном на 5 м, увеличенное изображение сетки. В про­цессе эксперимента линза 2 может перемещаться вдоль оптической скамьи для получения резкого изображения сетки. В фокальной плоскости линзы уста­навливается раздвижная щель 3, ширину которой можно менять при помощи микрометрического винта. Смонтированная в круглой вращающейся оправе, щель может осуществлять фильтрацию пространственных частот по различ­ным направлениям.

В начале демонстрации щель устанавливают вертикально и, постепенно уменьшая ее ширину, наблюдают размывание изображения сетки в горизон­тальном направлении. При достаточно малой ширине щели на экране форми­руется изображение, показанное на рис. 17.9,6. Затем, не меняя ширину щели, постепенно поворачивают ее в обойме. При этом изображение на экране меня­ется. Наконец, при горизонтальном положении щели на экране наблюдается картина, показанная на рис. 17.8,6.

Метод темного поля. Метод темного поля используют в микроскопии для наблюдения структуры слабо поглощающих свет объектов, таких как сре­зы живых тканей, клетки и т. п. Идею метода иллюстрирует схема, показанная на рис. 17.11. Свет от источника проходит через исследуемый объект О и лин­зу Jli - В точке фокуса расположен небольшой непрозрачный диск Д. Линза Л'2 проецирует изображение на экран. В отсутствие диска Д на экране видно светлое поле с почти однородной засветкой. При внесении диска освещенность экрана резко уменьшается — возникает “темное поле”. При этом на темном фоне становится отчетливо видной структура объекта.

Объяснение опыта состоит в следующем. Неоднородная оптическая плот­ность или толщина прозрачного объекта вызывает преломление света и появле­ние отклоненных лучей. Эти лучи, несущие информацию о структуре объекта и являющиеся полезным сигналом, пропускаются диском Д, размер которого достаточно мал. В то же время прямые лучи, которые не несут информации

об объекте и являются помехой, задерживаются диском Д. Это и приводит к улучшению видности структуры объекта.

В лекционной демонстрации в качестве объекта О используют стеклянную палочку или трубку. Изображение палочки ярко светится на экране вследствие того, что преломленный ею свет проходит мимо диска. Более эффектный опыт состоит в том, что в кювету с водой, расположенную перед ЛИНЗОЙ J11, погру­жают на тонкой проволоке кристалл гипосульфита или кусок сахара; тогда на экране видна ярко светящаяся струйка раствора, которая стекает с растворя­ющегося вещества. В этом опыте можно двигать растворяющееся тело внутри кюветы и тем нарушать правильность стекания раствора, а также помешивать стеклянной палочкой раствор, уже опустившийся на дно кюветы.

В лабораторных условиях этот метод, называемый также методом свилей, допускает гораздо большую чувствительность, так что можно наблюдать, на­пример потоки теплого воздуха, поднимающиеся от руки человека. На лекции же можно показать светящуюся струйку горячего воздуха, поднимающегося от зажженной спички или от газовой горелки.

Метод фазового контраста. Этот метод, предложенный Фрицем Церни - ке в 1935 г., также используют в микроскопии для получения изображений прозрачных и бесцветных объектов. Неоднородность показателя преломления объекта, например живой клетки, приводит к тому, что прошедшая через объ­ект световая волна претерпевает в разных точках объекта разные изменения фазы, т. е. приобретает фазовый рельеф. В методе фазового контраста этот ре­льеф преобразуется в изменения яркости света — амплитудный рельеф — с помощью специальной фазовой пластинки, расположенной вблизи заднего фо­куса объектива микроскопа.

Упрощенная схема метода показана на рис. 17.12. Она подобна схеме, ис­пользуемой в методе темного поля, только вместо непрозрачного диска в фо­кальной плоскости линзы расположен стеклянный диск — фазовая пластина. Толщина пластины подобрана так, что она осуществляет изменение фазы па­дающей на нее световой волны на п/2.

Как и в методе темного поля, на пластину падает свет, не претерпевший преломления в объекте. Этот свет, не несущий информации о структуре объ­екта, линза собирает в точке фокуса. В то же время преломленные объектом лучи — полезный сигнал — минуют фазовую пластину, проходя сбоку от нее. Затем фоновая волна, фаза которой сдвинута на я/2, и сигнальная волна ин­терферируют, в результате чего формируется изображение структуры объекта.

Поясним сказанное с помощью простых формул. Пусть объект характери­зуется комплексным коэффициентом пропускания

Т{х, у) = exp[itp(x, y)], (17.50)

где <р(х, у) — действительная функция, модуль которой много меньше единицы:

|ф(®,»)|«1. (17.51)

В этом случае можно приближенно написать

Т(х, у) = 1 + i<p(x, y). (17.52)

Комплексную амплитуду волны, падающей на объект, обозначим через £q. То­гда волна, прошедшая через объект, имеет амплитуду

£(х, у) = £0Т(х, у) = £0 + i£0ip(x, y). (17.53)

В отсутствие фазовой пластины поле с амплитудой (17.53) непосредственно проецируется на экран или наблюдается в окуляр микроскопа. При этом на­блюдаемое распределение интенсивности

1(х, у) = 7„[1 + ч>2(х, у) (17.54)

почти однородно, структура объекта просматривается плохо. Иная ситуация имеет место, если в фокусе линзы находится фазовая пластинка, сдвигающая фазу фоновой волны на 7г/2. В этом случае слагаемое £о в правой части фор­мулы (17.53) следует заменить на i£o. При этом второе слагаемое i£0ip(x, у), описывающее волну, преломленную в объекте, остается без изменения, так как преломленные волны проходят мимо фазовой пластины, размер которой до­статочно мал. В итоге амплитуда волны, прошедшей через объект и фазовую пластину, приобретает вид

£(х, у) =i£0[l + v(x, y)], (17.55)

а соответствующее распределение интенсивности есть

1(х, у) ы I0[ + 2tp(x, y)]. (17.56)

Сравнивая формулы (17.54) и (17.56) и учитывая условие (17.51), видим, что при наличии фазовой пластины в фокусе линзы контраст наблюдаемой кар­тины должен значительно возрасти. Эксперименты подтверждают этот вывод (см., например, [2]).

Рис. 17.13. К оценке разрешающей способности линзы

Разрешающая способность микроскопа и телескопа. Из теории Аббе следует, что даже самая совершенная линза строит изображение с некоторой ошибкой. Это связано с тем, что световое поле объекта имеет, вообще говоря, произвольный спектр пространственных частот, в то время как линза из-за ко­нечности своей апертуры способна уловить лишь конечную полосу частот из этого спектра. Не все лучи, испускаемые объектом, попадают на линзу. Лучи, соответствующие высоким пространственным частотам, проходят мимо линзы и, следовательно, не принимают участие в формировании изображения. По­этому изображение, формируемое линзой, не является точной копией самого объекта, в нем отсутствуют наиболее мелкие детали структуры объекта.

Высказанные соображения становятся особенно наглядными, если в каче­стве объекта, изображение которого строит линза, рассматривать дифракцион­ную решетку. Предположим, что в пределы апертуры линзы попадают только нулевой и первый порядки дифракции на решетке, т. е. имеет место ситуация, показанная на рис. 17.5. Как будет в этом случае выглядеть изображение ре­шетки? Согласно уравнению дифракционной решетки

dsin# = mA, (17.57)

где т = 0, ±1, ±2,..., информация о периоде решетки содержится в угле откло­нения от оси первого дифракционного максимума, поэтому она будет передана через линзу и будет содержаться в изображении. В то же время, мелкие детали структуры решетки будут искажены, так как информация о них содержится во втором и более высоких порядках дифракции, которые не попадают на линзу. Поэтому, если исходная решетка является, например, прямоугольной, то в изо­бражении резкие края щелей будут смазаны и будет сформирована решетка, близкая к синусоидальной.

Рассмотренный пример позволяет оценить предел разрешающей способно­сти линзы и микроскопа. Минимальный период решетки d, который может быть разрешен с помощью линзы, соответствует случаю, когда дифракционный мак­симум первого порядка направлен точно на край линзы. Этот случай показан на рис. 17.13. Из этого рисунка видно, что чем больше диаметр линзы и чем ближе линза к решетке, тем более мелкая решетка может быть разрешена. Од­нако если угол отклонения в первого дифракционного максимума близок к 7г/2, то этот максимум неизбежно выходит за пределы апертуры линзы и, следова­тельно, решетка не может быть разрешена. Таким образом, можно записать

вшах = тг/2 (17.58)

и, в силу (17.57),

dmin = А. (17.59)

Итак, разрешающая способность линзы, во всяком случае, ограничена длиной световой волны. Это и есть принципиальный предел разрешения в оптике.

Электронный микроскоп. Радикальный путь увеличения разрешаю­щей способности лежит уже за пределами оптики — это электронная микро­скопия.

Известно, что при определенных условиях электрон и другие микрочасти­цы проявляют волновые свойства. Яркий пример подобного рода — дифракция электронов, наблюдавшаяся Дэвиссоном и Джермером в 1927 г. Длина волны электрона, называемая де-бройлевской длиной волны, зависит от его энергии, и уже при энергиях в несколько электрон-вольт становится на несколько поряд­ков меньше длины волны видимого света. Возникла идея построить микроскоп, в котором вместо видимого света использовались бы электронные волны. По­скольку электроны имеют очень малую длину волны, такой микроскоп мог бы иметь чрезвычайно высокую разрешающую способность. Реализация этой идеи и привела к созданию электронного микроскопа.

Оценим разрешающую способность электронного микроскопа. Будем счи­тать, что как и в случае оптического микроскопа, она определяется формулой

(17.59) , где под А следует теперь понимать де-бройлевскую длину волны элек­трона.

Рассмотрим для простоты нерелятивистский электрон, т. е. электрон, ско­рость которого значительно меньше скорости света,

v<c = 3x Ю10 см/с.

В этом случае импульс р и кинетическая энергия W электрона выражаются формулами

р = mv, W = mv2/2, а де-бройлевская длина волны

А - А - h

mv у/2mW'

где h — постоянная Планка, т — масса электрона, v — его скорость. Сде­лаем численную оценку. Полагая W = 100 эВ (1 эВ = 1,6 х 10~12 эрг), h = 6,6 х 10-27 эрг ■ с, m = 9,1 х 10~28 г, получим

v = у/2W/m = 0,59 х 109 см/с и А = 1,2 х 10-8 см = 1,2 А. (17.60)

Таким образом, согласно нашей оценке, разрешающая способность электрон­ного микроскопа на 3-4 порядка выше, чем у оптического микроскопа.

На практике современные электронные микроскопы позволяют достичь раз­решающей способности порядка 1-10 А при энергиях электронов 104 — 105 эВ. При микроскопии твердых тел это дает возможность наблюдать группы атомов или даже отдельные атомы!

Телескоп. Телескоп предназначен для наблюдения удаленных объек­тов — звезд, планет, астероидов и т. п. Одной из основных характеристик телескопа является разрешающая способность, под которой понимается ми­нимальный угловой размер объекта, различимого в телескоп. Как и в случае микроскопа, принципиальное ограничение на величину разрешающей способ­ности накладывает дифракция.

Оценим разрешающую способность телескопа. Предположим, что на вход­ную линзу телескопа падает свет от двух удаленных точечных источников (звезд). Найдем величину угла между направлениями на звезды, при котором звезды еще различимы.

Пусть свет от одной звезды падает на линзу по нормали, а от другой — под некоторым углом ф. Ввиду большого расстояния до звезд, свет от каждой из них представляет собой почти параллельный пучок (рис. 17.14).

В приближении геометрической оптики параллельный пучок света, падаю­щий на линзу, фокусируется ею в точку, расположенную в фокальной плос­кости. Дифракция приводит к тому, что пятно фокусировки для каждого из пучков имеет конечный размер. Поэтому при достаточно малых углах ф изобра­жения звезд начнут накладываться одно на другое и уже не будут разрешаться как отдельные элементы.

Как показано в лекции 13, размер фокального пятна определяется фор­мулой

d = Xf/D,

где f w. D — фокусное расстояние и апертура линзы, А — длина световой волны. Из рис. 17.14 видно, что условие разрешения звезд есть

(17.62)

(17.63)

Итак, разрешающая способность телескопа определяется формулой (17.64), где А — длина световой волны, D — апертура телескопа. Например, зеленчук - ский телескоп, главное зеркало которого имеет диаметр D = 6 м, характеризу­ется разрешающей способностью порядка фт-,п = 10~7 рад.

Голография. Запись и восстановление светового поля. В обычной фо­тографии на фотопластинке фиксируется только часть информации о световом поле, а именно пространственное распределение интенсивности света. Весьма важная для оптики информация о пространственном распределении фазы поля полностью теряется. Возникает вопрос: нельзя ли так построить процесс запи­си светового поля, чтобы сохранить информацию и об амплитуде и о фазе? Оказывается, такая возможность существует. Соответствующий способ записи волновых полей получил название голография.

Основная идея голографии весьма проста. Она заключается в том, чтобы фотографировать не само световое поле, идущее от объекта, а картину интер­ференции этого поля с когерентной опорной волной. Картина интерференции предметной и опорной волн, записанная на фотопластинку, называется голо­граммой. Так как вид интерференционной картины зависит не только от ам­плитуд, но и от фаз интерферирующих полей, на голограмме оказывается запи­санной вся информация о предметной волне — и амплитуда, и фаза поля. Для восстановления предметной волны достаточно просветить голограмму опорной волной.

Из сказанного ясно, что для голографии существенна когерентность опор­ной волны, а также волны, освещающей объект. Именно поэтому первые хо­рошие голограммы были получены лишь после создания лазера (Э. Лейт, Ю. Упатниекс, 1964), хотя основные идеи голографии были высказаны зна­чительно раньше (Д. Габор, 1948).

Схема записи и восстановления светового поля в голографии показана на рис. 17.15. Для получения голограммы когерентный лазерный пучок делится на две части. Один пучок (“сигнальный”) освещает объект, а другой пучок (“опор­ный”) падает непосредственно на фотопластинку. Свет, отраженный объектом, образует “объектный” пучок, который также направляется на фотопластинку, где интерферирует с опорной волной. Картина интерференции записывается на фотопластинку и после проявления образует голограмму. Для восстановле­ния светового поля, испускаемого объектом, голограмму просвечивают опор­ным пучком. Пучок дифрагирует на голограмме, в результате чего возникают дифрагированные волны, одна из которых точно повторяет по своей структуре объектную волну. Так происходит восстановление светового поля. Покажем те­перь с помощью формул, как в голографии записываются и восстанавливаются световые поля.

Запись светового поля. Обозначим комплексную амплитуду предмет­ной волны £„, а опорной волны £0. Выделяя действительные амплитуды и фазы этих волн и считая опорную волну плоской, можно написать

(17.65)

Комплексная амплитуда поля в плоскости голограммы есть

£ — £„ + £0,

1{х, у) = ±£2 = £ (|£п|2 + £o2 + SnS;+£:£o) • (17.67)

Это распределение фиксируется на фотопластинке. Важно, что в этом выра­жении есть слагаемые, содержащие информацию о фазе предметной волны.

Восстановление поля. Для восстановления поля голограмму освеща­ют опорной волной. При этом возникает несколько световых волн, одна из ко­торых в точности повторяет поле предметной волны. Покажем это.

При освещении голограммы пробной волной на ее задней поверхности обра­зуется поле с комплексной амплитудой

£i = £oT(x, y), (17.68)

где Т(х, у) — коэффициент пропускания света голограммой. Запишем эту ве­личину в виде

Т(х, у) = 1 - D{x, y),

где

D(x, y) = al(x, y),

D{x, y) — функция, пропорциональная распределению интенсивности излуче­ния при экспонировании фотопластинки. Коэффициент а зависит от чувстви­тельности пластинки. Подставив (17.67), (17.69), (17.70) в (17.68), получим

гх = (1 - /з£п2 - Ш2)£о - №о?£п - №1%, (17.71)

где /3 = ас/87Г.

Формула (17.71) обосновывает высказанное выше утверждение. Согласно этой формуле, одна из волн, возникающих при дифракции опорной волны на голограмме, а именно волна с амплитудой, пропорциональной £п, точно повто­ряет волновое поле, исходившее от объекта съемки при экспонировании голо­граммы. Эта волна несет мнимое изображение объекта. Наблюдение мнимого изображения, как показано на рис. 17.15, создает полную иллюзию наблюдения реального объекта, который кажется находящимся за голограммой. В частно­сти, меняя положение глаз относительно голограммы можно осмотреть “объ­ект” с разных сторон и даже немного заглянуть за него — точно так же, как если бы мы наблюдали не голографическое изображение, а сам реальный объ­ект.

Другая волна, амплитуда которой пропорциональна £*, создает действи­тельное изображение объекта, которое можно наблюдать на экране. Кроме то­го, как видно из формулы (17.71), при дифракции опорной волны на голограм­ме возникают и другие волны, в частности проходящая в прямом направлении опорная волна. Эти волны создают помехи при наблюдении. На практике, од­нако, удается построить схемы записи и восстановления светового поля таким образом, что помехи не играют существенной роли.

На рис. 17.16 показан вид голограммы на просвет. Обратим внимание на то, что вид голограммы не имеет ничего общего с изображением снятого на ней объекта. При обычном некогерентном освещении голограмма выглядит как по­чти однотонная мутноватая пластинка. Однако в ней скрыто прекрасное голо - графическое изображение некоторого объекта. Это изображение проявляется при освещении голограммы когерентным лазерным пучком.

Дифракционная решетка и интерферометр Фабри-Перо как спек­тральные приборы. Разрешающая способность и область дисперсии.

Приборы, действие которых основано на явлениях интерференции и дифракции света, — интерферометры и дифракционные спектрометры — широко приме­няются в современной оптической спектроскопии. Важнейшими характеристи­ками спектральных приборов являются разрешающая способность и область дисперсии. Разрешающая способность

а = А/а

определяется как отношение длины световой волны А к разности длин волн <5 А = Аі — Аг, которые могут быть разрешены прибором. Область дисперсии

определяется как интервал длин волн, доступный для измерений. Рассмотрим эти характеристики на примерах дифракционной решетки и интерферометра Фабри-Перо.

Дифракционная решетка. Нарис. 17.17 показана картина дифрак­ции на решетке плоской монохроматической световой волны. Свет, пропущен­ный или отраженный решеткой, представляет собой дискретный набор лучей, направления которых определяются уравнением решетки

dsin# = mA. (17.74)

Здесь Л — длина световой волны, d — период решетки, m = 0,±1,±2,... — целое число, называемое порядком дифракции. Принимая во внимание, что разность хода лучей от соседних щелей решетки в направлении в выражается формулой Д = б? sin#, нетрудно видеть, что m = Д/Л, т. е. порядок дифракции имеет смысл отношения разности хода лучей к длине световой волны.

Предположим теперь, что на решетку падает плоская немонохроматиче­ская световая волна. Тогда, как видно из уравнения (17.74), спектральные ком­поненты излучения с длинами волн Ai и Аг будут отклоняться решеткой на разные углы в соответствии с уравнениями

sin #i = mAi/d, sin #2 = т2/d, (17.75)

т. е. решетка осуществляет пространственное разложение спектра (рис. 17.18). Этот эффект и лежит в основе действия дифракционных спектрометров.

Спектральное разложение света можно наблюдать в опыте по дифракции луча аргонового лазера на дифракционной решетке. Излучение лазера содер­жит несколько спектральных компонент, в частности компоненты с длинами волн Ai = 488 нм и Аг = 514,5 нм, которые слегка отличаются по цвету. Решетка пространственно разделяет данные компоненты, что хорошо видно в опыте.

Другой опыт демонстрирует дифракцию света ртутной лампы на отра­жательной дифракционной решетке. Излучение ртутной лампы содержит не­сколько спектральных компонент с цветами от желтого до фиолетового, так что свет, падающий на решетку, выглядит белым. Из опыта видно, что в нулевом порядке дифракции не происходит разложения в спектр. Луч, отраженный от решетки в этом направлении, выглядит белым. В первом порядке дифракции отчетливо видно разложение в спектр. Во втором порядке дифракции также происходит разложение в спектр, но уже с большей дисперсией. Последний эффект хорошо заметен по расщеплению желтой спектральной линии, кото­рая в спектре первого порядка не разрешена. Обращаем внимание на широкую область дисперсии дифракционной решетки. Форма штриха отражательной ре­шетки, используемой в этой демонстрации, подобрана так, что наибольшая энергия приходится на спектр второго порядка. Это очень удобно для спек­тральных наблюдений.

На рис. 17.19 показана схема спектрометра с дифракционной решеткой. С помощью пары вогнутых зеркал и дифракционной решетки спектрометр фор­мирует изображения входной щели, которые сдвинуты друг относительно друга в боковом направлении для различных длин волн А падающего излучения.

Физическим фактором, ограничивающим разрешающую способность ди­фракционной решетки, является, очевидно, конечная ширина дифракционного максимума є (рис. 17.20). Форму дифракционного максимума можно назвать аппаратной функцией решетки. Как показано в лекции 16,

є = X/Nd, (17.76)

где N — число щелей или штрихов решетки. Из формул (17.72), (17.75), (17.76) получаем

А = mJV. (17.77)

Итак, разрешающая способность решетки равна произведению порядка ди­фракции на число штрихов.

Область дисперсии дифракционной решетки определяется условием нало­жения дифракционных максимумов соседних порядков:

т(Х + ДА) = (т + 1)Л. (17.78)

Отсюда

G = А/т. (17.79)

Пусть, например, тп = 2, N = 104, А = 5000 А. Тогда получим А = 2 х 104,

G = 2500 А, 6Х = Х/А = 0,25 А (рис. 17.21).

Интерферометр Фабри-Перо. Плоский интерферометр Фабри-Перо состоит из двух клиновидных пластинок, у каждой из которых на одной сторо­не нанесено отражающее, а на другой — просветляющее покрытия (рис. 17.22). Клиновидная форма пластинок предотвращает нежелательную интерферен­цию лучей, отраженных от задних поверхностей пластин.

Уравнение интерферометра Фабри-Перо можно записать в виде, аналогич­ном уравнению дифракционной решетки:

2nlcos6 = m. (17.80)

Здесь I — расстояние между пластинами интерферометра, п — показатель преломления среды, заполняющей промежуток между пластинами, в — угол между лучом и нормалью к пластине (рис. 17.226). Величина Д = 2nl cos9 есть разность хода двух соседних лучей в интерферометре, т = Д/Л — порядок интерференции.

Формула (17.80) определяет направления на главные максимумы интерфе­ренционной картины. Если на интерферометр падает расходящийся пучок мо­нохроматического света, то на выходе возникает картина резких интерферен­ционных колец (рис. 17.23). При этом разные кольца соответствуют разным значениям числа ш в формуле (17.80).

Предположим теперь, что на интерферометр падает немонохроматическое излучение, например, пара световых волн с длинами Ai и Аг - Тогда каждая из этих волн даст свою систему интерференционных колец. При фиксированном значении числа т направления на интерференционные максимумы для раз-

ных спектральных компонент будут различными, т. е. интерферометр будет осуществлять пространственное разложение спектра.

Из уравнения (17.80) следует, что область дисперсии интерферометра Фа­бри-Перо, как и в случае дифракционной решетки, определяется формулой (17.79). Разрешающая способность интерферометра определяется шириной от­дельного интерференционного кольца. Записывая условие разрешения двух близких спектральных линий в виде

(17.81)

(см. рис. 11.23), где S = кА = 2кА/Х, получим SX = Х2е/2ттА, или, с учетом формулы (11.76), <5А = X2/ТА, где Т — резкость интерферометра. Для разре­шающей способности интерферометра получаем формулу

А = ТА/Х.

Принимая во внимание, что Д/А = тп, а резкость Т примерно равна числу лучей в интерферометре N, формулу (17.82) можно привести к виду (17.77), удобному для оценок.

В качестве примера рассмотрим интерферометр Фабри-Перо с параметрами I = 2,5 см и R = 0,9. Полагая А = 5000 А и используя формулу (11.80), получим Д = 21 = 5 см, тп = Д/А = 105, N = Т = 30, Л = 3 х 10®, <5А = Х/А = 0,0017 А, G = А/тп = 0,05 А. Эти цифры показывают, что интерферометр Фабри-Перо обладает весьма высокой разрешающей способностью, однако имеет очень уз­кую область дисперсии. На практике интерферометр Фабри-Перо часто ис­пользуют в комбинации с дифракционным спектрометром, что позволяет про­водить спектральные измерения с высоким разрешением в широком диапазоне длин волн.

Сканирующий интерферометр Фабри-Перо. Обратимся еще раз к формуле (17.80), определяющей направление в на интерференционный мак­симум порядка тп. Выше мы рассмотрели случай, когда параметры п и I ин­терферометра Фабри-Перо фиксированы. При этом различным длинам волн А соответствуют разные углы в направления светового луча, т. е. интерферометр осуществляет пространственное разложение спектра. Спектральная плотность S(u>) может быть найдена из углового распределения интенсивности света 1(в) в интерференционной картине.

Формула (17.80) указывает и на другую возможность измерения S(<j). Спектр излучения может быть измерен при фиксированном направлении на­блюдения в = const, если в процессе измерения варьируются параметры п или I. Последнего можно добиться управляя движением пластин интерферометра с помощью специального двигателя, либо изменяя давление газа (воздуха) в про­странстве между пластинами. Интерферометр Фабри-Перо с переменными па­раметрами п или I называется сканирующим. Ввиду необходимости сохранять с высокой точностью параллельность пластин на практике чаще используют интерферометры с жесткой механической конструкцией (пластины прижаты к промежуточному кольцу — см. рис. 17.22) и сканированием по давлению. Схема такого интерферометра показана на рис. 17.24.

На лекции демонстрируется интерферометр Фабри-Перо, сканируемый по давлению. На интерферометр направляется луч гелий-неонового лазера. На экране возникает картина узких и ярких интерференционных колец. При по­стоянном давлении воздуха в пространстве между пластинами интерфероме­тра картина на экране стационарна. Если же давление воздуха меняется (воз-

дух накачивается рукой с помощью резиновой груши), то изменение показа­теля преломления воздуха вызывает движение интерференционных колец на ^экране.

Фурье-спектроскопия. С помощью сканирующего интерферометра Май­кельсона можно измерить корреляционную функцию излучения. Преобразуя по Фурье корреляционную функцию, можно найти спектр излучения. Такова основная идея метода фурье-спектроскопии, успешно используется для спек­троскопии высокого разрешения в ИК области спектра (см. лекцию 11).

Эффективное спектральное разрешение фурье-спектрометра можно оце­нить как 6ш — 27г/т или 8v = 1/А, где т — максимальная задержка, А — максимальная разность хода лучей. Разрешающая способность интерфероме­тра

А = Д/А. (17.83)

Например, при А = 0,5 мкм и А = 100 см получаем А = 2 х 106.

Спектроскопия оптического смешения. Даже самые лучшие оптиче­ские спектрометры, использующие интерферометры Фабри-Перо, не позволя­ют разрешить две спектральные линии, если их частоты отличаются менее, чем на 10 МГц. Между тем имеется ряд задач, в которых требуется спектральное разрешение на уровне 10 Гц - 10 МГц. К ним относятся, в частности, некото­рые задачи оптической диагностики в биологии и медицине: измерение коэф­фициентов диффузии, скоростей направленного транспорта и миграционного движения, параметров внутримолекулярной и внутриклеточной подвижности и т. п. По этим измеряемым характеристикам можно рассчитывать размеры, массу и ряд других характеристик биологических микрообъектов.

Для решения подобных задач успешно применяется метод, называемый спектроскопией оптического смешения. Основная идея этого метода заключа­ется в следующем. Пусть есть две монохроматические световые волны с близ­кими частотами и и>2:

Ei — А cos(wi£ - kz), Е2 = А2 cos(u>2t — k2z).

Aw = UJl — W2

можно измерить путем наблюдения биений интенсивности суммарного свето­вого поля

Е — Е 4- i?2.

В самом деле, для интенсивности суммарного светового поля получаем

I = 4-Е* = I+h + 2y/hh cos(Awt - Akz), (17.84)

47Г

где Ті = cAf/Sn — интенсивность отдельных волн, Д к = к і - Из (17.84) вид­но, что интенсивность суммарного поля (“поля смешения”) модулирована во времени с частотой Aw, равной разности частот световых волн. Эта модуляция, если частота ее не слишком велика, может быть измерена радиотехническими средствами.

Принципиальная схема спектроскопии смешения показана на рис. 17.25. Ее основными элементами являются фотодетектор и спектроанализатор. Фотоде­тектор, на вход которого поступают световые волны, вырабатывает ток, про­порциональный интенсивности света: i(t) ~ I(t). Спектроанализатор строит спектр колебаний фототока.

Эффективная разрешающая способность спектроскопии оптического сме­шения

A — wf Aw

может быть чрезвычайно высокой и ограничена в принципе лишь временем измерения сигнала I(t). Более того, чем меньше величина Aw, тем проще изме­рить сигнал биений, так как при этом уменьшаются требования к быстродей­ствию фотоприемника.

Первый эксперимент по спектроскопии оптического смешения был выпол­нен в 1955 г. [19]. В этом эксперименте наблюдались биения тока фотоумно-

жителя, обусловленные расщеплением линии излучения ртути 5461А на две компоненты вследствие эффекта Зеемана. Разность частот компонент соста­вляла около Ю10 Гц. Фототок квадратичного детектора содержал переменную составляющую, частота которой также была равна 1010 Гц.

Широкое применение спектроскопии оптического смешения началось после создания лазера. В начале 60-х годов был проведен ряд экспериментов, показав­ших, что лазерный свет, рассеянный на некотором движущемся объекте, можно смешивать с несмещенным по частоте светом того же источника, причем раз­ность частот оказывается точно равной доплеровскому сдвигу. Например, свет, рассеянный на движущейся жидкости, можно смешать на фотоумножителе с опорным световым сигналом. При этом частота биений фототока определяет доплеровский сдвиг, по величине которого можно измерить скорость потока (лазерная доплеровская анемометрия).

На рис. 17.26 приведены данные, иллюстрирующие возможность измере­ния скоростей порядка 100 мкм/с. Эти данные получены с помощью лазерного доплеровского микроскопа. Нетрудно показать, что доплеровский сдвиг часто­ты излучения, соответствующий указанной скорости, составляет всего 200 Гц (длину световой волны считаем равной 0,5 мкм). Эффективная разрешающая способность в этом случае составляет 3 х 1012.