ЭКСТРУЗИОННЫЕ головки ДЛЯ ПЛАСТМАСС И РЕЗИНЫ
Течение в трубе круглого сечения
В канале круглого поперечного сечения (с радиусом R и длиной /), в котором влиянием эффектов на входе и выходе можно пренебречь, устанавливается равновесие сил, действующих на цилиндрический массовый элемент с толщиной слоя dr, движущийся со скоростью v2 (рис. 3.1). Как было показано ранее, равновесие количества движения сводится к равновесию действующих сил. Это является следствием несжимаемости жидкости и допущения, что жидкость течет по прямолинейным параллельным траекториям с постоянной скоростью.
Из этого следует
TOC o "1-5" h z 2nrdr ■ p(z) - p(jz + dz)] + x ■ 2nrdz - т(г + dr) ■ 2n - (r + dr) ■ dz = 0. (3.2)
Разложив выражение (3.2) в ряд Тэйлора и отбросив все члены, кроме первого, вследствие их малости, получаем:
p(z + dz) ” p{z) + dz
oz
dx (3'3)
x(r+ dr) - x(r) +— dr.
Поскольку течение является полностью развившимся, градиент давления можно считать постоянным:
др Ар
TOC o "1-5" h z Tz=T - <3-4>
Отбросив все члены высшего порядка, получаем следующее дифференциальное уравнение:
Др х dx 1 д
+ :г~“т-(т'г)- <3-5>
L г dr г дг
|
P(z) |
т (r+ dr) |
_L P(z+dz) |
|
|
т (г) |
г |
||
|
P(z) |
т( г) |
z P(z+ dz) |
|
|
т(7+ dr) |
|||
|
Рис. 3.1. Равновесие сил, действующих на массовый элемент потока в канале круглого поперечного сечения |
В результате интегрирования уравнения получаем
|
(3.6) |
Ар Сх
Когда г = О, все силы будут равны нулю, поэтому первое граничное условие будет выглядеть следующим образом: при г = 0, т = 0, и, следовательно, Сх - 0. То есть
Ар ■ г
|
(3.7) |
т(г) =
2 L
Уравнение (3.7) является прямым следствием баланса сил; в отношении закономерности поведения материала никаких допущений не делалось. Это означает, что линейная зависимость напряжения сдвига в уравнении (3.7) не зависит от характера течения материала.
Теперь в уравнение (3.7) можно ввести закономерность поведения материала: Случай А — течение ньютоновской жидкости:
|
Т = - Т1 |
|
ц-у. |
|
dr |
|
В результате подстановки этого выражения в уравнение (3.7) получаем: |
|
dz Ар ■ г |
|
-Л |
|
21 ’ Ар ■ г |
|
dr d. |
|
-у |
|
dv, |
|
dr 2L\ Знак минуса означает, что скорость v2 в направлении г уменьшается. Из уравнения (3.10) получаем Ар ■ г —*■ (3.11) Проинтегрировав это дифференциальное уравнение с учетом граничного условия v2 = 0 при г = R (отсутствие проскальзывания на стенках канала), получаем следующую формулу распределения скорости по поперечному сечению канала: |
|
(3.8) (3.8) (3.10) |
|
(г) |
г |
|
|
1 - |
— |
|
|
_ |
_ |
|
ApR2 ALx] |
|
(3.12) |
|
v,(r) = - |
Максимальная скорость наблюдается при г = 0, следовательно:
ApR2
|
(3.13) |
|
41г| |
Для средней скорости течения vz имеем:
На основании вышеприведенного получаем
ApR2
(315)
Сравнение уравнений (3.15) и (3.13) позволяет заключить, что средняя скорость составляет половину от максимальной:
*2 = y(v2)max - (3-15.1)
Объемный расход можно выразить следующей формулой:
V-vt-A, (3.16)
где А — площадь поперечного сечения канала: А = nR2.
Отсюда получаем известный закон течения Хагена-Пуазейля
Пропускная способность экструзионной головки
—— = К = const. (3.17.1)
8 L
При известном объемном расходе V перепад давления Ар можно рассчитать по уравнению (3.17).
Время пребывания элементарной частицы по радиусу г канала круглого поперечного сечения с длиной L может быть вычислено по формуле
*(r) = I/v2(r), (3.18)
Среднее время пребывания частицы в канале составляет
7-т - 8^
R2Ap (3.19)
Поскольку время пребывания обратно пропорционально скорости, его среднее значение вдвое превышает минимальное время пребывания по оси канала, при котором г = 0, а г = (мг)тах. Зависимость скорости сдвига на стенке канала от объемного расхода получается путем комбинирования уравнений (3.10) и (3.17):
41>
yw-y(r~R)-—R - (3.20)
Уравнение (3.20) особенно полезно при оценке результатов измерений, получаемых с помощью капиллярного вискозиметра (см. раздел 2.1.2).
Величина силы Fz, действующей по поверхности канала течения, представляет собой результат умножения боковой поверхности канала на напряжение сдвига на его стенке:
Fz = 2n R L - т(г_Л) = т • R2 ■ Ар. (3.21)
Справедливость уравнения (3.21) не зависит от характера течения.
|
Случай В — течение псевдопластической жидкости, подчиняющейся степенному закону. Из определения степенного закона, заданного уравнением (2.5), можно получить следующее соотношение: |
|
'П |
m |
f dv*l |
|
Ф V |
Г d'J |
|
1 |
|
т = |
|
(3.21.1) |
|
Применяя уравнения (3.7) и (3.8), с учетом отрицательного знака у (поскольку 1 1 |
|
f1] |
7Я |
Г dv/J |
|
2 L |
|
dV2 У = — = - ф |
|
(3.22) (3.23) (3.24) |
|
г |
|
( Ар Ж |
|
После интегрирования имеем |
|
f Ар''"1 * т + 1 |
|
Г + С1- т+1 1 |
|
v = - ф |
|
ч2 L, |
|
С учетом граничного условия отсутствия проскальзывания на стенке (г =R, vz = 0) получаем |
|
Л т pm + 1 |
|
(3.24.1) |
|
т+ 1 |
|
Откуда |
|
'Ар)т 7?m+l_rm + l |
|
(3.25) |
|
v.(r) = ф |
|
2 L) |
|
т+ 1 По аналогии с уравнениями (3.13)—(3.19) можно получить следующие соотношения: 'Ap'mRm + { |
|
(V2^max Ф |
|
2 L) ТП+ 1 ’ |
|
(3.26) (3.27) (3.28) (3.29) |
|
/А Ш 'Ар Л |
|
Rm + l; |
|
ТП + 3 |
|
V2 L; |
|
п. Rm + 3 (m + 3)(2 L)r |
|
фД pm |
|
V- |
|
К' |
|
_ L(m + 3) f ■ |
|
m + 1 |
|
ф R |
Как уже упоминалось ранее, действие силы сдвига по поверхности канала F не зависит от характера течения и описывается уравнением (3.21):
Р2 = к - R2 ■ Ар.
При т = 1 и д = 1/ф уравнения с (3.22) по (3.29) преобразуются в соответствующие уравнения для ньютоновских жидкостей.
