ЭКСТРУЗИОННЫЕ головки ДЛЯ ПЛАСТМАСС И РЕЗИНЫ

Сравнение методов конечных разностей и конечных элементов

На практике часто возникает вопрос, какой из вышеописанных методов больше подходит для решения конкретной задачи. Как уже упоминалось, аналитические и различные численные методы различаются как по объему вычислений, так и по точно­сти и качеству получаемых результатов (см. рис. 4.6 [26]). При составлении обобщен­ной классификации различных численных методов для сравнения использовались

и некоторые простые расчетные методы, основанные на аналитических решениях, опи­санных в главах 5 и 7.

Простые расчетные методы основаны на аналитических решениях дифференци­альных уравнений, описывающих одномерную модель рассматриваемой проблемы (см. главу 3 и раздел 4.3).

Аппроксимация реального процесса производится за счет подходящей суперпо­зиции одномерных моделей. Преимущества аналитических методов [26] заключают­ся в следующем:

• поскольку желаемые параметры связаны с заданными граничными условиями простыми уравнениями, аналитические методы являются быстрыми и просты­ми в использовании. Вычисления с их помощью могут проводиться даже на карманном калькуляторе. Расчет на персональном компьютере еще более эф­фективен, поскольку желаемые ответы будут получены еще быстрее;

• основным преимуществом простых расчетных методов на основе аналитиче­ских решений является то, что уравнения, используемые в них, обратимы. За счет этого такие уравнения можно дифференцировать, интегрировать, а также решать относительно любого параметра. Можно, например, за один шаг рассчи­тать геометрию коллектора на основании требования равномерного распреде­ления скорости на выходе (см. главу 5).

С другой стороны, простые методы обладают рядом существенных недостатков:

• область их применения ограничивается экструзионными головками, которые аппроксимируются основными геометрическими формами, легко определяе­мыми путем несложного анализа;

• простые вычислительные методы на основе аналитических решений не позво­ляют получить полного описания эффектов взаимодействия и переходных про­цессов;

• зачастую результаты (например, потери давления, объемный расход, время ох­лаждения) могут быть получены только в интегральной форме (т. е. по всему поперечному сечению канала).

При расчете экструзионных головок с каналами более сложной геометрической фор­мы или когда требуется более точное моделирование следует использовать численные методы решения дифференциальных уравнений, например, такие как МКР и МКЭ.

Как уже упоминалось ранее, при использовании разностных методов дифферен­циальные уравнения заменяются их аналогами, выраженными в конечных разностях, составленных для узлов прямоугольной сетки, покрывающей канал экструзионной головки с рассматриваемой геометрией.

Вывод уравнений в конечных разностях, последующее решение полученной сис­темы уравнений, а зачастую и построение сетки осуществляются самой компьютер­ной программой. По сравнению с простыми вычислительными методами, МКР обла­дает следующими преимуществами (см. рис. 4.6 [26]):

• МКР позволяет рассчитывать геометрические конфигурации, к которым не­применимы простые расчетные методы на основе аналитических решений;

• МКР позволяет получить расчетные значения во всех точках сетки, а не только интегральные значения по поперечному сечению канала;

• точность получаемых результатов повышается за счет того, что в систему диф­ференциальных уравнений можно включить практически любой закон течения материала;

• возможность учета взаимосвязи дифференциальных уравнений (например, уравнений движения и энергии, зависимостей температуры и скорости сдвига от вязкости);

• так как система уравнений решается одновременно во всей расчетной области, результаты отражают все эффекты взаимодействия (это утверждение не явля­ется справедливым для явных разностных схем).

Однако наряду с перечисленными преимуществами разностных методов по срав­нению с простыми аналитическими методами МКР обладает рядом внутренне при­сущих недостатков (рис. 4.6):

• определение геометрии или рабочей точки возможно только методом итера­ций, поскольку уравнения необратимы;

• расчеты невозможно выполнить вручную или на карманном калькуляторе; для их осуществления необходим, как минимум, персональный компьютер;

• для выполнения расчетов требуется существенно большее время по сравнению с простыми аналитическими методами.

Метод конечных элементов, как и метод конечных разностей, по сравнению с про­стыми аналитическими методами имеет как преимущества, так и недостатки.

Сравнение МКР и МКЭ представляет собой действительно сложную задачу, так как получаемые результаты существенно зависят от конкретного случая и от использу - емых методов. При использовании прямоугольных областей и квадратных расчетных сеток или конечных элементов решение задач для некоторых частных случаев показа­ло, что неявные схемы МКР и МКЭ (при использовании линейных функций формы) дают одинаковые результаты, а потому являются практически идентичными [19,27].

При расчете криволинейных областей неправильной формы МКЭ предоставля­ют некоторые преимущества за счет возможности построения конечных элементов с границами, которые могут быть криволинейными и не обязательно должны быть пер­пендикулярны друг другу. При использовании параболических функций формы края элементов могут принимать параболическую форму. Как уже упоминалось ранее, функции формы представляют собой основу МКЭ: они служат не только для интер­поляции формы, но и для получения желаемых величин (скорости, давления, темпе­ратуры) в каждом узле. Таким образом, они оказывают непосредственное влияние на результат. Введение функций формы представляет собой основное различие между МКР и МКЭ. В отличие от МКР, где известны только значения в узловых точках, МКЭ позволяют точно определить значения желаемых параметров в каждой точке рассматриваемой области путем интерполяции с помощью функций формы. За счет того, что этот факт учитывается при выводе уравнений МКЭ, данный метод, по опре­делению, более точен, чем МКР. Кроме более точной аппроксимации геометрии и более точного описания изменения расчетных величин, МКЭ предоставляет следую­щие преимущества по сравнению с МКР:

• рассматриваемая геометрия может быть любой, поскольку она определяется независимо от компьютерной программы. Это означает, что программы, реали­зующие МКЭ, работают независимо от геометрии;

• возможность определения расчетных параметров в любой точке рассматривае­мой области;

• поскольку уравнения МКЭ решаются одновременно, существует возможность учесть все взаимодействия, имеющие место в системе, с высокой степенью гиб­кости и точности.

Тем не менее МКЭ тоже не свободен от недостатков:

• время, необходимое для расчетов, а также требования к аппаратным средствам компьютера и объему носителей информации в несколько раз превышают ана­логичные требования для МКР. Для решения задач этим методом требуется как минимум высокопроизводительный 16- или 32-разрядный ПК. За редким исключением, применение программ, реализующих МКЭ, ограничивается плос­кими задачами;

• поскольку геометрия канала, а также начальные и граничные условия задаются пользователем самостоятельно, время, необходимое для расчета, существенно больше, чем для МКР, где эти параметры более или менее фиксированы;

• большая гибкость МКЭ, касающаяся выбора геометрии, плотности сетки, вы­бора типов элементов и граничных условий требует от пользователя более глу­бокого понимания сущности данного метода, иначе получение надежных ре­зультатов становится проблематичным.

Сравнительный анализ аналитических и численных методов позволяет сделать следующие выводы: методы, более требовательные к аппаратным средствам и квали­фикации пользователя, дают преимущества только в том случае, если более простые методы не позволяют добиться требуемого результата вследствие присущих им огра­ничений. Если расчетные области имеют правильную форму и позволяют построить разностную сетку, то на первый план выходят преимущества МКР [27, 28]. Однако если геометрические формы сильно отличаются, преимуществом будет обладать МКЭ как метод, независимый от геометрии. Этот метод имеет преимущества в пред­ставлении геометрии, построения сетки и определения граничных условий, а также при оценке и интерпретации результатов.

Пакет программ, пригодный для расчета на персональных компьютерах двухмер­ных течений и процессов теплопередачи, приведен в работах [13,26,29].