ЭКСТРУЗИОННЫЕ головки ДЛЯ ПЛАСТМАСС И РЕЗИНЫ
Аналитические решения уравнений законов сохранения
Уравнения законов сохранения образуют замкнутую систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Аналитические решения этой системы существуют только для простейших частных случаев. Некоторые из них были описаны в главе 3.
В последующих разделах будет продемонстрирован процесс получения аналитических решений для полей скоростей и температур.
Рассмотрим канал со щелевым поперечным сечением (см. рис. 4.1), имеющим высоту Я и ширину В. Так как Н намного меньше В, краевыми эффектами можно пренебречь и считать справедливым предположение об однородности течения.
TOC o "1-5" h z ( 1
Через этот канал течет расплав с псевдопластическими свойствами хт = — у
течение является установившимся ламинарным (то есть эффектами на входе в канал
( Н
можно пренебречь); вязкая жидкость прилипает к стенкам канала
v. r = 0 при у = ± —
и поток не имеет компонент в направлениях, отличных от направления оси х. Требуется построить профили скоростей vx(,y) * f(x) и температур Т(у) *■ f(x) (то есть получить одномерное решение, поскольку все параметры зависят только от координаты у). Это означает, что конвективный теплоперенос в направлении оси х в расчет не принимается. (Как правило, это вполне оправдано вследствие низкой температуропроводности расплавов полимеров.) Температура стенки канала экструзионной головки — все термодинамические характеристики материала принимаются постоянными.
Представленное далее решение типично для течений в канале материалов с постоянными характеристиками и которое показывает взаимосвязь между скоростями и температурами. Оно включает:
1. Выбор системы координат.
Как правило, при конструировании экструзионных головок выбираются декартова или цилиндрическая системы координат. Система координат, использующаяся в данном примере, показана на рис. 4.1.
2. Выбор уравнений законов сохранения и их упрощение.
Зачастую уравнения неразрывности, движения и энергии можно упростить, так как компоненты течения в направлении одной или двух осей координат можно считать несущественными. Например, в рассматриваемом случае значимыми являются только компоненты скорости в направлении оси х (ось абсцисс), а градиенты скорости и температуры имеют ненулевые значения только в направлении оси у. То есть все члены уравнений сохранения с компонентами v, г и их производными по координатам X и z можно отбросить.
Уравнения законов сохранения и перечень возможных упрощений подробно описаны ниже:
1. Уравнение движения, (см. уравнения (4.10) и (4.11), например, [1])
|
>г |
4- » _____ |
_1_ . . ___ |
*х) |
др |
(*хх |
||
|
V dt |
I V ---------------- * Э* |
* V ----------------- У ду |
7 У/ ------- 2 дг |
~дх~ |
1 ч дх |
ду |
dz |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
+ Pgx - (4.22) 6 |
|
Здесь: |
^X
1) = 0, так как течение является установившимся;
дх
5vX
2) TOC o "1-5" h z v = 0, так как v = 0;
у ду у
dvx
3) v —— = 0, так как v = 0;
|
4) |
dz г
0, так как нормальными напряжениями вследствие дефор-
дх,
мации сдвига можно пренебречь;
дх zjc
|
5) |
—— = 0, поскольку В » Я, то влиянием боковых стенок на величину напряжений сдвига можно пренебречь;
6) Рёх = 0, так как для полимерных расплавов влиянием сил фавита - ции можно пренебречь.
После всех упрощений уравнение (4.22) можно переписать следующим образом:
др дх
|
(4.23) |
ух
дх ду
2. Уравнение неразрывности: (см. уравнения (4.2) и (4.3), например, [ 1 ] ) Эр д
|
(4.24) |
1 2 3
Как и в случае, рассмотренном выше: Эр
1) = 0, так как плотность постоянна и не меняется со временем;
2) — (pvy) - 0, так как у = 0;
3) — (pv2) = 0, поскольку v2 = 0;
|
dvx Ovx Из уравнения (4.25) следует, что р—— = 0 и поэтому —— = 0. (4.26) дх дх Комбинируя упрощенное уравнение неразрывности (4.26) с упрощенным уравнением движения (4.23), получаем др Эт 0 - -- У |
|
дх ду 3. Уравнение энергии: (см. уравнения (4.16) и (4.17), например, [1]) ✓ ~— „— „ / „ л л |
|
Следовательно, уравнение (4.24) упрощается следующим образом: Э dvr Эр |
|
/ |
|||
|
+ , dy + |
дх, |
+ т ZX |
|
f dvx dv dvz + —- + — dy dz |
|
dx 7 |
|
dvx dvz) — + --------- |
|
дТ дТ fdqx dqy dq |
|
J^£xJ 0, так как р = const 5vv |
|
—— (pv ) = 0 = р — + дх дх |
|
h у------------------------------------ 1- V ---------- dt х дх у ду |
|
(4.27) |
|
dT 1) —= 0, так как течение является установившимся; dt |
|
дТ 2) — = 0, поскольку Т(у) ф f(x): dt |
|
6) —— = 0, так как — = 0; ’dz dz 7 ) по условиям задачи предполагается, что все члены уравнений сохр; ния, содержащие v2h vy и их производные пол: и у, равны нулю. |
|
dl 4) v ■—= 0, так как v = 0; dz г dqx 5) = 0, вследствие того что Тф/(х) qr =---------------- 0; дх dqz дТ |
|
01 0, так как v„ = 0; ду у дТ |
|
(4.25) |
|
дТ |
|
дТ |
|
4x | ''Ну [ дх dy dz |
|
+ v„ |
|
-+v, |
|
Рсг |
|
dz 4 / |
|
' др' |
/ |
|
р |
|
- Т |
|
dvy |
|
dv ov ■ + t. |
|
(4.28 |
|
T------ h x :- h T v xx dx yy dy zz dz j 7 7 7 |
|
dvy dvz dz dy 7 7 |
|
+ т |
|
■yz |
|
дТ 3) *>Ту |
|
После упрощения уравнения (4.28) получаем |
|
^у_ ду |
|
(4.29) |
|
0 = |
|
дх |
|
ХУ ду |
|
ет |
|
Учитывая, чтот = т ив = - X—— (закон Фурье), имеем: И fjjj |
|
дТ |
|
(4.30) |
|
-ух |
|
ду |
|
дх |
|
дх |
|
Для решения последнего дифференциального уравнения нужно рассмотреть реологическое уравнение. 4. В качестве реологического уравнения примем степенной закон течения материала (см. уравнение (2.3)): |
|
_ |
1 |
dvx |
|
|
г |
ф' |
ду |
|
|
'1' |
т |
т |
|
|
W |
[ду J |
|
-ух |
|
(4.31) |
|
откуда |
|
(4.32) |
|
3. Вычисление профиля скорости Если предположить, что фи т относительно независимы от температуры, то уравнения энергии и движения становятся несвязанными. В этом случае для вычисления профиля скорости v(y) достаточно только уравнений (4.26) и (4.23). Из уравнения (4.27) следует, что: |
|
■y + Cv |
|
(4.32.1) |
|
ух |
|
дХ; |
|
С учетом того, что т = 0 при у = 0 получаем значение постоянной интегрирова |
|
ния С, = 0, то есть: |
|
др_ дх |
|
(4.33) |
|
■У- |
|
-ух |
|
С учетом отрицательного знака у (поскольку скорость v^.убывает в направлении у) из уравнения (4.32) получаем |
|
tX ду |
|
(4.34) |
|
■у' |
|
dxj |
|
Интегрирование уравнения (4.34) дает |
|
др дх; |
|
Г + Со - т+1 1 |
|
С учетом того, что при у = — • vx = 0, получаем г т +1 Н |
|
ч2/ |
|
(4.34.2) |
|
С2 ф |
|
кдх j |
|
ТП + 1 |
|
И уравнение профиля скорости приобретает вид: |
|
'и'”* |
|
т + 1 |
|
-у |
|
/л Эл: . |
|
(4.35) |
|
т + 1 |
|
Отрицательный знак показывает, что жидкость течет в направлении отрицательного градиента давления, то есть из области высокого давления в область более низкого. Уравнение (4.35) соответствует соотношениям, приведенным в таб- др Ар^ ~дх ~~L N / На основании уравнения (4.35), по аналогии с тем, как это было сделано в разделе 3.1, можно вычислить максимальную скорость vmax, среднюю скорость v и объемный расход V. 4. Вычисление профиля температуры Предполагая, что величины ф, т, и X не зависят от локальных температуры и давления расплава (иначе говоря, ф, т, X = const), распределение температуры расплава по высоте щели Т(у) на основании уравнений (4.30), (4.32) и (4.34) примет вид: |
|
лице 3.4 |
|
К(у) = vt(y); ~-Т~=~Г |
|
д |
'дТ |
ф |
м |
m + 1 |
|
ду |
ру) |
X |
|
+1 |
|
,ут |
|
(4.36) |
|
После интегрирования получаем |
|
(дТ |
Ф |
'др" |
m + 1 |
ут + 2 |
|
~Х |
[дх) |
m + 2 |
|
(4.37) |
|
+ Су |
|
дТ Поскольку при у = 0 — (так как профиль температуры в канале является сим |
|
метричным), получаем, что = 0. После интегрирования (4.37) получаем |
|
( а Ш + 1 др |
|
..т +3 ______________________________ 4-____ С' (т + 2 )(т + 3) 2' Н |
|
-г Ф т=-х |
|
дх |
|
С учетом граничного условия Т= Г^ириу = — имеем |
|
г т + 3 |
|
т + 1 |
|
др |
|
2 |
|
(4.38.1) |
|
^дх |
|
(т + 2 )(т + 3) |
|
И окончательное выражение для профиля температуры будет иметь вид: ( т + 3 И 1 f ъ т + 1 Ф Пу) |
|
_ + 3 |
|
др {дх) |
|
(4.39) |
|
TW+x |
|
(m + 2)(m + 3) |
Полученное решение для профиля температуры справедливо при условии, что полная энергия, рассеиваемая при течении, отводится за счет теплопереноса в направлении, перпендикулярном направлению течения, то есть через стенки канала. Таким образом, в каждой точке потока энергия диссипации равна тепловой энергии, отводимой за счет теплопроводности (см. уравнение (4.29)). Этого обычно не происходит в экструзионных головках при типичных для экструзии скоростях течения, т. к. тепло уносится вместе с потоком расплава, т. е. необходимо принимать во внимание передачу тепловой энергии путем конвекции. Это означает, что член р • ср ■ vx ■ дТ/дх уравнения (4.28) не равен нулю. Отсюда следует (см. уравнение (4.29):
|
Ъу ду |
|
toX ду |
|
дТ |
|
(4.40) |
|
- т |
|
ух |
С учетом закона теплопроводности Фурье
|
(4.41) |
dq дТ ду ^ ду’
а также уравнении
|
tox ду |
|
-Л(У) |
|
ух |
|
(4.42) |
|
(0 |
m |
( я. > tox |
тп |
|
U, |
1 ду ) |
|
д2Т |
(4.43)
из уравнения (4.40) получаем:
pcpv* 17 =
ду)
(4.44)
I II III
Здесь I — конвективная теплопередача в направлении х, II — теплопередача в направлении у за счет теплопроводности; III — выделение тепла вследствие диссипации энергии вязкого течения за счет существования градиента скорости в направлении оси у.
Из уравнения (4.44) становится ясно, что поля температуры и скорости в процессе течения являются связанными. Эта связь проявляется через вязкость, которая в течение всего процесса течения является функцией температуры Т, гидростатиче
|
дТ 4 у- дУ |
|
ского давления р и скорости сдвига у |
(см. главу 2). Поле скоростей влияет
на поле температур, поскольку тепловая энергия в расплаве генерируется за счет внутреннего трения, которое, в свою очередь, зависит от градиента скорости у. Более того, член уравнения (4.44), описывающий конвективную теплопередачу, непосредственно зависит от поля скоростей.
Связанная система уравнений движения и энергии, в которой учитывается конвективная теплопередача, не имеет аналитического решения даже для рассматриваемого здесь простейшего случая. Для получения решения этой системы необходимо использовать численные методы. Преимущество численных методов заключается в том, что они применимы не только к простейшим случаям течения через каналы простых геометрических форм и для которых используются граничные условия, налагающие существенные ограничения. Более того, их применение в настоящее время не вызывает серьезных препятствий, так как в большинстве случаев они реализованы в форме относительно несложных компьютерных программ, пригодных для использования на недорогих персональных компьютерах [9-13].
