Эффективное решение производственных проблем и задач

Прикладная математика. методические советы к решению курсовой работы в онлайн режиме

1.Линейная производственная задачка

Сконструировать линейную производственную задачку и составить ее математическую модель, взяв начальные данные из приложения 1, где технологическая матрица А издержек разных ресурсов на единицу каждой продукции, вектор объемов ресурсов В и вектор удельной прибыли С при вероятном выпуске 4 видов продукции с внедрением 3-х видов ресурсов

компактно записаны в виде

Конвертировать данную задачку к виду основной задачки линейного программирования, решить ее способом направленного перебора базовых допустимых решений, обосновывая каждый шаг процесса, отыскать лучшую производственную программку, наивысшую прибыль, остатки ресурсов разных видов и указать ²узенькие места² производства.

В последней симплексной таблице указать обращенный базис Q-1, соответственный хорошему набору базовых неведомых. Проверить выполнение соотношения

H = Q-1B

Если по хорошей производственной программке какие-то два вида продукции не должны выпускаться, то в таблице начальных данных вычеркнуть надлежащие два столбца, составить математическую модель задачки оптимизации производственной программки с 2-мя оставшимися переменными, сохранив прежнюю нумерацию переменных и решить графически.

2. Двоякая задачка

Сконструировать задачку, двоякую линейной производственной задачке, как задачку определения расчетных оценок ресурсов, и отыскать ее решение, пользуясь 2-ой основной аксиомой двойственности (о дополняющей нежесткости). Указать оценку единицы каждого ресурса, наименьшую суммарную оценку всех ресурсов, оценки технологий.

3. Задачка «о расшивке узеньких мест производства»
Сконструировать задачку о "расшивке узеньких мест производства" и составить математическую модель. Найти область стойкости двояких оценок, где сохраняется структура программки производства. Решить задачку о ²расшивке узеньких мест производства² при условии, что дополнительно можно получить от поставщиков менее одной трети сначало выделенного объема ресурса хоть какого вида (если задачка окажется с 2-мя переменными, то только графически); отыскать план приобретения дополнительных объемов ресурсов, дополнительную вероятную прибыль.

5. Задачка рассредотачивания серьезных вложений

Способом динамического программирования решить задачку рассредотачивания серьезных вложений меж 4-мя предприятиями производственного объединения, располагающего суммой в 700 тыс. руб., по начальным данным, приведенным в приложении 3 (выделяемые суммы кратны 100 тыс.).

8. Задачка о наивысшем потоке в сети

Разглядеть задачку о наивысшем потоке в сети. Решить определенную задачку на сети с 8-9 верхушками, предложив начальные данные без помощи других.

16. Анализ доходности и риска денежных операций

Провести анализ доходности и риска денежных операций по начальным данным, приведенным в приложении 7.

Даны четыре операции Q1, Q2, Q3, Q4. Найдите средние ожидаемые доходы и опасности ri операций. Нанесите точки (, ri) на плоскость, найдите операции, рациональные по Парето. При помощи взвешивающей формулы найдите посреди таких операций наилучшую.

Взвешивающая формула:

Ряды рассредотачиваний доходов операций Q1, Q2, Q3, Q4 взять из приложения 1: по первой буковке собственной фамилии отыскать номер N, а потом нужно взять из приложения 1 данные с номерами N, N+1, N+2, N+3. К примеру, если N=3, то берем данные с номерами 3, 4, 5, 6, т.е.

3. (0,1/4) (4,1/4) (6,1/3) (12,1/6) 4. (2,1/4) (6,1/4) (8,1/3) (14,1/6)

5. (0,1/3) (1,1/3) (2,1/6) (8,1/6) 6. (2,1/3) (3,1/4) (4,1/6) (10,1/6)

Как следует, ряды рассредотачиваний операций будут:

Q1

:

0

4

6

12

Q2:

2

6

8

14

1/4

1/4

1/3

1/6

1/4

1/4

1/3

1/6

Q3

:

0

1

2

8

Q4

2

3

4

10

1/3

1/3

1/6

1/6

1/3

1/3

1/6

1/6

Пояснения к выполнению курсового проекта

1. Линейная производственная задачка

Представим, что предприятие либо цех выпускает n видов изделий, имея m групп оборудования. Известны нормы времени на обработку каждого изделия на каждой группе оборудования, к примеру, в минутках либо часах и фонд времени работы каждой группы оборудования. Пусть, не считая того, понятно, что из всех n видов изделий большим спросом пользуются k видов. Требуется составить план производства, при котором выпуск дефицитных изделий будет большим вероятным.

Примем последующие обозначения:

i – номер группы оборудования (i=1,2, … , m);

j – номер вида изделия (j=1,2, … , n);

aij – норма времени на обработку единицы i-го изделия на j-ой группе оборудования;

bi – действительный фонд времени работы i-й группы оборудования;

xi – планируемое количество единиц j-го изделия;

(x1, x2, … , xn) – разыскиваемый план производства.

Какова бы ни была производственная программка (x1, x2, … , xn), ее составляющие должны удовлетворять условию, что суммарное время обработки всех изделий на данной группе оборудования не должно превосходить фонда времени работы этой группы оборудования. На обработку x1 единиц первого изделия на i-й группе оборудования будет затрачено ai1x1 единиц времени, на обработку x2 единиц второго изделия на той же группе оборудования будет затрачено ai2x2 единиц времени и т.д. Нужное время на обработку всех x1, x2, … , xn изделий на i-й группе оборудования будет равно сумме

ai1x1 + ai2x2 + .. + anxn

Эта сумма не может превосходить фонд времени работы i-й группы оборудования, т.е. должна быть f bi. Выписывая такие условия для всех m групп оборудования, получаем:

(1)

Потому что составляющие плана сущность количество изделий и, как следует, не могут быть выражены отрицательными числами, то добавляются условия:

x1 ³0, x2,³0,…,xn³0 (2)

Обозначим через сj прибыль на единицу j-го изделия. При плане производства (х1, х2, …, хn) прибыль предприятия будет равна:

z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn. (3)

Мы желаем составить производственную программку (х1, х2, …, хn) так, чтоб функция (3) приняла наибольшее значение при выполнении всех других критерий.

Система линейных неравенств (1), (2) и линейная форма (3) образуют математическую модель задачки о оптимальном использовании производственных мощностей. Посреди всех решений системы линейных неравенств (1), удовлетворяющих условию неотрицательности (2), нужно отыскать такое решение, при котором линейная форма (3) воспринимает наибольшее вероятное значение. Это – задачка линейного программирования.

Начальные характеристики задачки могут быть представлены в виде технологической матрицы A издержек ресурсов на единицу продукции каждого вида, вектора B объемов ресурсов и вектора C удельной прибыли:

, C=(c1, …, cn)

В качестве примера разглядим задачку оптимизации производственной программки цеха, который может выпускать два вида изделий, имея четыре группы производственного оборудования. Пусть

либо коротко

Задачка заключается в том, чтоб отыскать производственную программку, максимизирующую прибыль:

z = 6x1 + 9x2 (4)

при критериях:
(5)

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 (6)

Полученную задачку линейного программирования с 2-мя переменными

10
можно решить графически. Система линейных неравенств (5), (6) определяет выпуклый многоугольник OPQRS допустимых решений. Полосы уровня функции Z перпендикулярны вектору-градиенту grad Z=(6,9) и образуют семейство параллельных прямых (градиент показывает направление возрастания функции). Большего значения функция Z добивается в точке R. Координаты этой точки определяют лучший план производства x1=3, x2=2, а наибольшая прибыль будет равна 36.

Последовательное улучшение производственной программки.
Представим сейчас, что предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя для этого три вида ресурсов. Известна технологическая матрица А издержек хоть какого ресурса на единицу каждой продукции, вектор В объемов ресурсов и вектор С удельной прибыли
(7)
Требуется составить производственную программку, обеспечивающую предприятию самую большую прибыль при имеющихся ограниченных ресурсах

Математическая модель задачки:

отыскать производственную программку

(x1, x2, x3, x4)

максимизирующую прибыль

z = 36x1+ 14x2 + 25x3 + 50x4 (8)

при ограничениях по ресурсам

(9)

где по смыслу задачки

x1 ³ 0, x2 ³ 0, x3 ³ 0, x4 ³ 0. (10)
Получили задачку на условный экстремум. Для ее решения систему неравенств (9) с помощью дополнительных неотрицательных неведомых х5, х6, х7 заменим системой линейных алгебраических уравнений

(11)

где дополнительные переменные имеют смысл остатков соответственных ресурсов. Посреди всех решений системы уравнений (11), удовлетворяющих условию неотрицательности:

х1³0, х2³0, … , х5³0, … , х7³0. (12)

нужно отыскать то решение, при котором функция (8) воспримет наибольшее значение.

Эту задачку решим симплекс-методом.

Процесс решения обычно записывается в виде некой таблицы, представляющей собой последовательность симплексных таблиц, соответственных итерациям симплекс-метода.

36 14 25 50 0 0 0

Пояснения

Базис

Н

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

z0=H
0

х5

208

4 3 4 5 1 0 0

0

х6

107

2 5 0 2 0 1 0

0

х7

181

3 1 2 5 0 0 1

z0 -z

0 - z

-36 -14 -25 -50 0 0 0

0

х5

27

1 2 2 0 1 0 -1

0

х6

173/5

4/5 23/5 -4/5 0 0 1 -2/5

50

х4

181/5

3/5 1/5 2/5 1 0 0 1/5

z0 -z

1810-z

-6 -4 -5 0 0 0 10

36

х1

27

1 2 2 0 1 0 -1

0

х6

13

0 3 -12/5 0 -4/5 1 2/5

все Dj ³0

50

х4

20

0 -1/5 -4/5 1 -3/5 0 4/5

z0 -z

1972-z

0 8 7 0 6 0 4

В последней симплексной таблице получено наилучшее решение задачки (8),(11),(12): x1=27, x2=0, x3=0, x4=20, x5=0, x6=13, x7=0

Составляющие этого решения определяют производственную программку

x1=27, x2=0, x3=0, x4=20

остатки ресурсов:

первого вида х5=0

второго вида х6=13

третьего вида х7=0

Следует направить внимание на экономический смысл частей последней строчки последней симплексной таблицы. К примеру, коэффициент D3=7 при переменной х3 указывает, что если произвести одну единицу продукции третьего вида (она не заходит в лучшую производственную программку), то прибыль уменьшится на 7 единиц.

В заключение заметим, что в рассматриваемом простом примере линейной производственной задачки вероятна самопроверка результата.

Воспользуемся тем, что в хорошей производственной программке х2=0, х3=0. Представим, что вторую и третью продукции мы не намеревались выпускать с самого начала. Разглядим задачку с оставшимися 2-мя переменными, сохранив их нумерацию. Математическая модель задачки будет смотреться последующим образом:

Это задачка линейного программирования с 2-мя переменными. Ее следует решить графически и убедиться, что результаты совпадают.

2. Двоякая задачка
Ранее мы разглядели определенную линейную производственную задачку по выпуску 4 видов продукции с внедрением 3-х видов ресурсов по данным технологиям. Пусть в критериях этой задачки требуется дать оценку каждому ресурсу. Оценка ресурса должна демонстрировать, как возрастет прибыль, если количество ресурса прирастить на единицу.

Чтоб решить эту задачку представим для себя, что появилась новенькая ситуация. Знакомый бизнесмен П., занимающийся созданием каких-либо других видов продукции, но с внедрением 3-х таких же видов ресурсов, какие имеются у нас, предлагает нам "уступить" по определенным ценам все имеющиеся у нас ресурсы и обещает платить у1 рублей за каждую единицу первого ресурса, у2 руб. – второго, у3 руб. – третьего. Появляется вопрос: при каких ценах у1, у2, у3 мы можем согласиться с этим предложением, чтоб выручка от реализации ресурсов скомпенсировала утрату прибыли, вызванную продажей ресурсов.

Величины у1, у2, у3 принято именовать расчетными, либо двоякими, оценками ресурсов. Они прямо зависят от критерий, в каких действует наше предприятие.

Напомним, что в нашей задачке технологическая матрица А, вектор объемов ресурсов В и вектор удельной прибыли С имели вид

Для производства единицы продукции первого вида мы должны затратить, как видно из матрицы А, 4 единицы ресурса первого вида, 2 единицы ресурса второго вида и 3 единицы третьего (элементы первого столбца матрицы). В ценах у1, у2, у3 наши издержки составят 4у1 + 2у2 + 3у3, т.е. столько заплатит бизнесмен П за все ресурсы, идущие на создание единицы первой продукции. На рынке за единицу первой продукции мы получили бы прибыль 36 руб. Как следует, мы можем согласиться с предложением П исключительно в том случае, если он заплатит не меньше
4у1 + 2у2 + 3у3 ³ 36.
Аналогично, во 2-м столбце матрицы А указаны издержки разных ресурсов на создание единицы продукции второго вида. В ценах П эти издержки составят 3у1 + 5у2 + у3, а на рынке за единицу продукции второго вида мы получили бы прибыль 14 рублей. Потому перед бизнесменом П мы ставим условие
3у1 + 5у2 + у3 ³ 14
и т.д. по всем видам продукции.
Учтем, что за все имеющиеся у нас ресурсы нам должны заплатить 208у1 + 107у2 + 181у3 рублей. При поставленных нами критериях бизнесмен П будет находить такие значения величин у1, у2, у3, чтоб эта сумма была как можно меньше. Подчеркнем, что тут идет речь не о ценах, по которым мы когда-то получали эти ресурсы, а об этих ценах, которые значительно зависят от используемых нами технологий, объемов ресурсов и от ситуации на рынке.
Таким макаром, неувязка определения расчетных оценок ресурсов приводит к задачке линейного программирования: отыскать вектор двояких оценок
у(у1, y2, y3)

минимизирующий общую оценку всех ресурсов

f = 208y1 + 107y2 +181y3 (1)

при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на создание единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции

(2)
4y1 + 2y2 + 3y3 ³ 36

3y1 + 5y2 + y3 ³ 14

4y1 + 2y3 ³ 25

5y1 + 2y2 + 5y3 ³ 50

при этом оценки ресурсов не могут быть отрицательными

y10, y20, y30. (3)

Решение приобретенной задачки просто отыскать при помощи 2-ой основной аксиомы двойственности, согласно которой для оптимальности допустимых решений (х1, х2, х3, х4) и (y1, y2, y3) пары двояких задач нужно и довольно выполнение критерий

x 1 (4y1 + 2y2 + 3y3 - 36) = 0

x 2 (3y1 + 5y2 + y3 - 14) = 0

x 3 (4y1 + 2y3 - 25) = 0

x 4(5y1 + 2y2 + 5y3 - 50) = 0

y1 (4x1 +3x2 + 4x3 + 5x4 - 208) = 0

y2 (2x1 +5x2 + 2x4 - 107) = 0

y3 (3x1 + x2 + 2x3 + 5x4 - 181) = 0

Ранее было найдено, что в решении начальной задачки х1>0, x4>0. Потому

4y1 + 2y2 + 3y3 - 36 = 0

5y1 + 2y2 + 5y3 - 50 = 0

Если же учитывать, что 2-ой ресурс был лишним и, согласно той же аксиоме двойственности, ее двоякая оценка равна нулю

у2=0,

то приходим к системе уравнений:

4y1 + 3y3 - 36 = 0

5y1 + 5y3 - 50 = 0

откуда следует

у1=6, у3=4.

Таким макаром, получили двоякие оценки ресурсов

у1=6; у2=0; у3=4, (4)
при этом общая оценка всех ресурсов равна 1972.

Заметим, что решение (4) содержалось в последней строке последней симплексной таблицы начальной задачки. Важен экономический смысл двояких оценок. К примеру, двоякая оценка третьего ресурса у3=4 указывает, что добавление одной единицы третьего ресурса обеспечит прирост прибыли в 4 единицы.

3. Задачка о "расшивке узеньких мест производства"

Пусть в критериях линейной производственной задачки планируется расширить создание за счет приобретения дополнительных объемов тех ресурсов, которые по хорошему плану израсходованы на сто процентов. Требуется составить план приобретения дефицитных ресурсов, который обеспечит наибольший прирост прибыли при условии сохранения структуры производства, т.е. набора видов продукции, которые выполняются по хорошему плану. Решить задачку при дополнительном условии: объем дополнительно приобретаемых ресурсов не должен превосходить одной трети начального объема ресурсов.

Составим математическую модель задачки. При выполнении хорошей производственной программки 1-ый и 3-ий ресурсы употребляются вполне, т.е. образуют ²узенькие места производства². Будем их заказывать дополнительно.

Пусть T(t1,t2,t3)- вектор дополнительных объемов ресурсов. Условие сохранения структуры производства математически выражается так:

H + Q-1T 0.

Заметим, что это условие определяет также область стойкости двояких оценок ресурсов, потому можно использовать двоякие оценки ресурсов, отысканные при решении двоякой задачки. Задачка заключается в том, чтоб отыскать вектор T (t1, 0, t3), максимизирующий суммарный прирост прибыли

W = 6t1 + 4t3 (1)

при условии сохранения двояких оценок ресурсов (и структуры производственной программки)

(2)

предполагая, что можно возлагать получить дополнительно менее 1/3 начального объема ресурса каждого вида

, (3)

при этом по смыслу задачки

t1 0, t3 0. (4)

Переписав неравенства (2) и (3) в виде:

(5)

(6)

приходим к задачке ЛП:

максимизировать (1) при критериях

(5), (6) и (4). Эту задачку просто решить

графически (см. рис.).

Программка ²расшивки² имеет вид

и прирост прибыли составит.

4. Задачка рассредотачивания серьезных вложений

Динамическое программирование - это вычислительный способ для решения задач управления определенной структуры. Данная задачка с n переменными представляется как многошаговый процесс принятия решений. На каждом шаге определяется экстремум функции только от одной переменной.

Знакомство с способом динамического программирования проще всего начать с рассмотрения нелинейной задачки рассредотачивания ресурсов меж предприятиями 1-го производственного объединения либо отрасли. Для определенности можно считать, что идет речь о рассредотачивании серьезных вложений.

Представим, что обозначено n пт, где требуется выстроить либо реконструировать предприятия одной отрасли, зачем выделено b рублей. Обозначим через fi(xi) прирост мощности либо прибыли на j-м предприятии, если оно получит xi рублей серьезных вложений. Требуется отыскать такое рассредотачивание (x1,x2, ... , xn) серьезных вложений меж предприятиями, которое максимизирует суммарный прирост мощности либо прибыли

z = f1(x1) + f2(х2) + ... + fn(xn)

при ограничении по общей сумме серьезных вложений

x1 + x2 + ... + xn = b .

при этом будем считать, что все переменные xj принимают только целые неотрицательные значения. Функции fj(xj) мы считаем данными, заметив, что их определение - достаточно трудозатратная финансовая задачка.

Воспользуемся способом динамического программирования для решения этой задачки.

Введем параметр состояния и определим функцию состояния. За параметр состояния x примем количество рублей, выделяемых нескольким компаниям, а функцию состояния Fk(x) определим как наивысшую прибыль на первых k предприятиях, если они совместно получают x рублей. Параметр x может изменяться от 0 до b. Если из x рублей k-е предприятие получит xk рублей, то каково бы ни было это значение, другие x - xk рублей естественно распределить меж предприятиями от первого до (К-1)-го так, чтоб была получена наибольшая прибыль Fk-1(x - xk). Тогда прибыль k компаний будет равна fk(xk) + Fk-1(x - xk). Нужно избрать такое значение xk меж 0 и x, чтоб эта сумма была наибольшей, и мы приходим к рекуррентному соотношению:

Fk(x)=max{fk(xk) + Fk-1(x-xk)}

0 f xk f x

для k = 2, 3, 4, ... , n . Если же k=1, то

F1(x) = f1(x)

Разглядим определенный пример. Пусть производственное объединение состоит из 4 компаний (n=4). Общая сумма серьезных вложений равна 700 тыс. рублей (b=700), выделяемые компаниям суммы кратны 100 тыс. рублей. Значения функций fj(xj) приведены в таблице 1, где, к примеру, число 88 значит, что если третье предприятие получит 600 тыс. руб. серьезных вложений, то прирост прибыли на этом предприятии составит 88 тыс. руб.

Таблица I

Сначала, заполняем табл. 2. Значения f2(x2) складываем со значениями F1(x - x2) = f1(x- x2) и на каждой северо-восточной диагонали находим наибольшее число, которое отмечаем звездочкой и указываем соответственное значение . Заполняем таблицу 3.

Продолжая процесс, табулируем функции F3(x), (x) и т.д. В табл. 6 заполняем только одну диагональ для значения x= 700. Наибольшее число на этой диагонали:

Zmax = 155 тыс. руб.,

при этом четвертому предприятию должно быть выделено

х*4 = 4 (700) = 300 тыс. руб.

На долю других 3-х компаний остается 400 тыс. руб. Из табл. 5 видно, что третьему предприятию должно быть выделено

x*3 = 3 (700-x*4) = 3 (400) = 200 тыс. руб.

Продолжая оборотный процесс, находим

x*2 = 2 (700 - x*4 - x*3) = 2 (200) = 100 тыс. руб.

На долю первого предприятия остается

x*1 = 700 - x*4 - x*3 - x*2 = 100 тыс. руб.

Таким макаром, лучшим является последующее рассредотачивание серьезных вложений по компаниям:

x*1 =100; x*2 =100; x*3 = 200; x*4 = 300.

Оно обеспечивает производственному объединению больший вероятный прирост прибыли 155 тыс. руб.

Студенту рекомендуется проверить выполнение равенства

f1(x*1) + f2(x*2) + f3(x*3) + f4(x*4) = z max

Таблица 2

x - x2

0 100 200 300 400 500 600 700

x2

F1(x - x2)

f2(x2)

0 20 34 46 53 55 60 60

0

0

0 20* 34 46 53 55 60 60

100

18

18 38* 52* 64 71 73 78

200

29

29 49 63 75 82 84

300

45

45 65* 79 91 98

400

62

62 82* 96 108

500

78

78 98* 112*

600

90

90 110

700

98

98 .

Таблица 3

x

0 100 200 300 400 500 600 700

F2(x)

0 20 38 52 65 82 98 112

(x)

0 0 100 100 300 400 500 500

Таблица 4

x - x3

0 100 200 300 400 500 600 700

x3

F2(x - x3)

f3(x3)

0 20 38 52 65 82 98 112

0

0

0 20 38 52 65 82 98 112

100

25

25* 45* 63* 77 90 107 123

200

41

41 61 79* 93 106 123

300

52

52 72 94* 112 126

400

74

74 94* 112* 126*

500

82

82 102 120

600

88

88 106

700

90

90 .

Таблица 5

x

0 100 200 300 400 500 600 700

F3(x)

0 25 45 63 79 94 112 126

(x)

0 100 100 100 200 400 400 400

Таблица 6

x - x4

0 100 200 300 400 500 600 700

x4

F3(x - x4)

f4(x4)

0 25 45 63 79 94 112 126

0

0

126

100

30

142

200

52

146

300

76

155*

400

90

153

500

104

149

600

116

141

700

125

125 .

5. Анализ доходности и риска денежных операций

Денежной именуется операция, изначальное и конечное состояния которой имеют валютную оценку, и цель проведения которой заключается в максимизации дохода - разности меж конечной и исходной оценками.

Практически всегда денежные операции проводятся в критериях неопределенности и поэтому их итог нереально предсказать заблаговременно. Потому денежные операции рискованны, т.е. при их проведении вероятны как прибыль, так и убыток (либо не очень большая прибыль по сопоставлению с той, на что возлагали надежды проводившие эту операцию).

Как оценить операцию исходя из убеждений ее доходности и риска?

Существует несколько различных методов. Более всераспространенным является представление дохода операции как случайной величины и оценка риска операции как среднего квадратического отличия этого случайного дохода.

Разглядим какую-нибудь операцию, доход которой есть случайная величина Q. Средний ожидаемый доход (доходность) `Q - это математическое ожидание с.в. Q: где pi есть возможность получить доход qi. А среднее квадратическое отклонение (СКО) - это мера разбросанности вероятных значений дохода вокруг среднего ожидаемого дохода. Полностью уместно считать s количественной мерой риска операции и обозначить r. Напомним, что дисперсия

D[Q] = M [(Q - `Q)2] = M [Q2] - `Q2.

Разглядим четыре операции Q1, Q2, Q3, Q,4. Найдем средние ожидаемые доходы `Qi и опасности ri операций.

Ряды рассредотачивания, средние ожидаемые доходы и опасности:

Q1

:

5

2

8

4

`Q1 = 29/6 »4.81

r1 » 1.77

1/2

1/6

1/6

1/6

Q2

:

2

3

4

12

`Q2 = 25/6 »4.16

r2 » 3.57

1/2

1/6

1/6

1/6

Q3

:

8

5

3

10

`Q3 = 7

r3 » 2.30

1/2

1/6

1/6

1/6

Q4

:

1

4

2

8

`Q4 = 17/6 »2.81

r4 » 2.54

1/2

1/6

1/6

1/6

Напомним, как отыскивать `Q и r.
= 5*1/2+2*1/6+8*1/6+4*1/6=29/6; ;

= 25*1/2+4*1/6+64*1/6+16*1/6=159/6;

= 841/36; D [Q1] = (159*6-841)/36 = 113/36;

Нанесем средние ожидаемые доходы `Q и опасности r на плоскость - доход откладываем по горизонтали, а опасности по вертикали (см. рис.):

Получили 4 точки. Чем правее точка (Q, r), тем паче доходная операция, чем точка выше - тем паче она рисковая. Означает, необходимо выбирать точку правее и ниже. Точка (`Qc, rc) доминирует точку (Q, r) если `Qc ³`Q и rc f r. В нашем случае 1-я операция доминирует 2-ю, 3-я доминирует 2-ю и 3-я доминирует 4-ю. Но 1-я и 3-я операции несравненны - доходность 3-й больше, да и риск ее тоже больше.

Точка, не доминируемая никакой другой именуется хорошей по Парето, а огромное количество всех таких точек именуется обилием оптимальности по Парето. Если из рассмотренных операций нужно выбирать наилучшую, то ее непременно нужно избрать из операций, хороших по Парето. В рассматриваемом примере операции Q1 и Q3 оптимальны по Парето.

Для нахождения наилучшей операции время от времени используют подходящую взвешивающую формулу, которая для пар (Q, r) дает одно число, по которому и определяют наилучшую операцию. К примеру, пусть взвешивающая формула есть . Тогда получаем:

j(Q1)= 2*4.81-1.77 = 7.85; j(Q3)= 11.70;

Таким макаром, 3-я операция - наилучшая.

6. Формирование рационального ранца ценных бумаг

На финансовом рынке обращается, обычно, огромное количество ценных бумаг: муниципальные ценные бумаги, акции личных компаний, векселя и т.п. Ценная бумага удостоверяет возможность получения некого дохода. В общем случае обладатель получит некий случайный доход.

Из черт ценных бумаг более значимы две: эффективность и рискованность. Эффективность E есть некий обобщенный показатель дохода либо прибыли. Будем считать E случайной величиной, ее математическое ожидание есть mЕ. При исследовании денежного рынка дисперсию обычно именуют вариацией V, и рискованность обычно отождествляется со средним квадратическим отклонением. Таким макаром, V=D[E]= M[(E- mЕ)2] и s =.

Разглядим общую задачку рассредотачивания капитала, который участник рынка желает издержать на покупку ценных бумаг, по разным видам ценных бумаг. Пусть xi - толика капитала, потраченная на закупку ценных бумаг i-го вида. Пусть Ei - эффективность (можно считать, доход за некий период времени) ценных бумаг i-го вида, стоящих одну валютную единицу. Через Vij будем обозначать ковариацию ценных бумаг i-го и j -го видов (либо корреляционный момент Kij). Пусть mi - математическое ожидание эффективности Ei и si=, где Vii - вариация либо дисперсия этой эффективности Ei . Рискованность ценной бумаги i-го вида отождествим со средним квадратическим отклонением si.

Набор ценных бумаг, находящихся у участника рынка, именуется его ранцем. Эффективность ранца (в простом случае это доход, приносимый ценными бумагами ранца за какой-либо просвет времени), вообщем говоря, есть случайная величина, обозначим ее через Ep, тогда ожидаемое значение этой эффективности mp =M[Ep]=∑ximi. Дисперсия ранца есть D[Ep]= ∑xixjVij. Величина может быть названа риском ранца. Обычно D[Ep] обозначается Vp. Итак, мы выразили эффективность и риск ранца через эффективности составляющих его ценных бумаг и их ковариации.

Каждый обладатель ранца ценных бумаг сталкивается с проблемой: охото иметь эффективность побольше, а риск гораздо меньше. Но так как "нельзя изловить 2-ух зайцев сходу", нужно сделать определенный выбор меж эффективностью и риском.

Математическая формализация задачки формирования рационального ранца такая:

отыскать значения xi, минимизирующие вариацию эффективности ранца

Vp = ∑xixjVij,

при условии, что обеспечивается данное значение ожидаемой

эффективности ранца mp, т.е.

mp =∑ximj.

так как xi - толики, то в сумме они должны составлять единицу:

∑xi=1 .

Среднее решение этой задачки обозначим эмблемой *. Если x*i >0 , то это значит рекомендацию вложить долю x*i наличного капитала в ценные бумаги i-го вида. Если же x*i < 0 , то содержательно это значит провести операцию "short sale". Если такие операции невозможны, означает нужно ввести ограничения xi ³ 0 . Что такое операция "short sale"?

Если x*i < 0 , то инвестор, формирующий портфель, обязуется через какое-то время поставить ценные бумаги i-го вида (вкупе с доходом, какой они бы принесли их обладателю за этот период времени). За это на данный момент он получает их валютный эквивалент. На эти средства он покупает более доходные ценные бумаги и получает по ним доход и оказывается в выигрыше!

Если на рынке есть безрисковые бумаги (к таким можно с некой натяжкой отнести муниципальные ценные бумаги), то решение задачки об рациональном ранце очень упрощается и приобретает замечательное новое качество.

Пусть m0 - эффективность безрисковых бумаг, а x0 - толика капитала в их вложенного. Пусть mr - средняя ожидаемая эффективность и Vr, sr - вариация (дисперсия), СКО эффективности рисковой части ранца, в рисковую часть ранца вложено (1-x0) часть всего капитала. Тогда ожидаемая эффективность всего ранца mp =x0 m0 +(1-x0)mr, вариация ранца Vp =(1-x0)2 Vr и риск ранца sp =(1-x0) sr (считается, что безрисковые бумаги некоррелированы с остальными). Исключая x0, получим

mp = m0 +sp (m -m0)/ sr ,

т.е. ожидаемая эффективность ранца линейно находится в зависимости от его риска.

Разглядим задачку об рациональном ранце в данном случае. Рисковые виды ценных бумаг будем нумеровать числами от 1 до n .

∑xixjVij → min

x0m0 + ∑ximi = mp

x0 + ∑xi = 1

Изложим сейчас окончательное решение этой задачки.

Пусть V - матрица ковариаций рисковых видов ценных бумаг, X=(xi), M=(mi) - векторы-столбцы толикой xi капитала, вкладываемых в i-й вид рисковых ценных бумаг и ожидаемых эффективностей этого вида, i=1,.., n. Пусть также I - n-мерный вектор-столбец, составляющие которого есть 1. Тогда наилучшее значение толикой xi есть

.

Тут V-1 - матрица, оборотная к V . В числителе дроби стоит число, в знаменателе, если выполнить все деяния (верхний индекс Т значит транспонирование вектора-столбца), тоже получится число, при этом константа, определяемая рынком и не зависящая от инвестора, V-1(M-m0I) - вектор-столбец размерности n. Видно, что этот вектор не находится в зависимости от эффективности ранца mp. Таким макаром, вектор толикой рисковых видов ценных бумаг пропорциональный этому вектору также не находится в зависимости от mp. Как следует, структура рисковой части ранца не находится в зависимости от mp. Но сумма компонент вектора X* находится в зависимости от mp, конкретно, составляющие вектора X* пропорционально растут с ростом mp, потому толика x0 безрисковых вложений будет при всем этом сокращаться.

Пример. Сформировать лучший портфель данной эффективности из 3-х видов ценных бумаг: безрисковых эффективности 2 и некоррелированных рисковых ожидаемой эффективности 4 и 10 и рисками 2 и 4 . Как устроена рисковая часть рационального ранца? При какой ожидаемой эффективности ранца появляется необходимость в операции "short sale" и с какими ценными бумагами?

Решение. Итак, m0 =2, M=, V=. Зададимся эффективностью ранца mp. Сейчас нужно отыскать оборотную матрицу к матрице V . Это просто: V-1 = . Вычислим знаменатель:
.

Итак, вектор толикой рисковых бумаг есть X* =((mз-2)/5). Таким макаром, рисковые толики должны быть схожи и любая из их равна (mз-2)/10. Как следует, x*0 =1-(mр-2)/5 . Необходимость в операции "short sale" возникнет, если x*0 < 0, т.е. когда mр > 7 .

Можно обосновать, что риск рационального ранца зависимо от его доходности при наличии безрисковых бумаг равен (mp-m0)/d, где

Рассмотренную постановку задачки формирования рационального ранца можно словами сконструировать так: сформировать портфель, имеющий малый риск посреди всех ранцев, имеющих эффективность более данной. Но настолько же естественна и задачка формирования ранца, имеющего наивысшую эффективность посреди всех ранцев, имеющих риск менее данного, т.е. отыскать , максимизирующие ожидаемую эффективность ранца

mp = ∑ximi → max

при условии, что обеспечивается значение риска ранца менее данного,

т.е. ∑xi xjVij ≤ Vp,

так как – толики, то в сумме они должны составлять единицу: ∑xi = 1

Если на рынке есть безрисковые бумаги, то в таковой постановке задачка формирования такового рационального ранца имеет решение, очень схожее на (2): Наилучшее значение толикой x* рисковых бумаг есть

(3)

Можно обосновать, что эффективность ранца наибольшей эффективности зависимо от данного его риска rp равна m0 + d∙rp.

7. Задачка принятия решений в критериях неопределенности

Представим, что ЛПР (лицо, принимающее решения) рассматривает несколько вероятных решений: i=1..m. Ситуация, в какой действует ЛПР, является неопределенной. Понятно только, что наличествует некий из вариантов: j=1..n. Если будет принято i-e решение, а ситуация есть j-я , то компания, возглавляемая ЛПР, получит доход qij. Матрица Q=(qij) именуется матрицей последствий (вероятных решений). Какое же решение необходимо принять ЛПР? В этой ситуации полной неопределенности могут быть высказаны только некие советы подготовительного нрава. Они не непременно будут приняты ЛПР. Почти все будет зависеть, к примеру, от его склонности к риску. Но как оценить риск в данной схеме?

Допустим, мы желаем оценить риск, который несет i-e решение. Нам неведома настоящая ситуация. Но если б ее знали, то избрали бы лучшее решение, т.е. приносящее больший доход. Т.е. если ситуация есть j-я , то было бы принято решение, дающее доход qj = max(qij).

Означает, принимая i-e решение мы рискуем получить не qj, а только qij, означает принятие i-го решения несет риск недобрать rij=qi-qij. Матрица R=(rij) именуется матрицей рисков.

Пример 1. Пусть матрица последствий есть

Составим матрицу рисков. Имеем . Как следует, матрица рисков есть

А. Принятие решений в критериях полной неопределенности.

Не все случайное можно "измерить" вероятностью. Неопределенность – более обширное понятие. Неопределенность того, какой цифрой ввысь ляжет игральный кубик отличается от неопределенности того, каково будет состояние русской экономики через 15 лет. Коротко говоря, уникальные единичные случайные явления связаны с неопределенностью, массовые случайные явления непременно допускают некие закономерности вероятностного нрава.

Ситуация полной неопределенности характеризуется отсутствием какой бы то ни было дополнительной инфы. Какие же есть правила-рекомендации по принятию решений в этой ситуации?

Правило Вальда (правило последнего пессимизма). Рассматривая i-e решение будем считать, что по сути ситуация складывается самая нехорошая, т.е. приносящая самый малый доход .Но сейчас уж выберем решение i0 с большим ai0. Итак, правило Вальда советует принять решение i0, такое что

Так, в вышеуказанном примере, имеем a1= 2, a2 = 2, a3 = 3, a4 = 1. Из этих чисел наибольшим является число 3 . Означает, правило Вальда советует принять 3-е решение.

Правило Сэвиджа (правило малого риска). При применении этого правила анализируется матрица рисков R=(rij). Рассматривая i-e решение будем считать, что по сути складывается ситуация наибольшего риска

Но сейчас уж выберем решение i0 с минимальным bi0. Итак, правило Сэвиджа советует принять решение i0, такое что

В рассматриваемом примере имеем b1 = 8, b2=6, b3=5, b4=7. Наименьшим из этих чисел является число 5. Т.е. правило Сэвиджа советует принять 3-е решение.

Правило Гурвица (взвешивающее пессимистический и жизнеутверждающий подходы к ситуации). Принимается решение , на котором достигается максимум

Значение λ выбирается из личных суждений. Если λ приближается к 1, то правило Гурвица приближается к правилу Вальда, при приближении λ к 0, правило Гурвица приближается к правилу "розового оптимизма" (догадайтесь сами, что это означает). В вышеуказанном примере при λ= ½ правило Гурвица советует 2-е решение.
В. Принятие решений в критериях частичной неопределенности.

Представим, что в рассматриваемой схеме известны вероятности pj того, что настоящая ситуация развивается по варианту j. Конкретно такое положение именуется частичной неопределенностью. Как тут принимать решение? Можно избрать одно из последующих правил.

Правило максимизации среднего ожидаемого дохода. Доход, получаемый компанией при реализации i-го решения, является случайной величиной Qi с рядом рассредотачивания

qi1

qi2

…

qin

p1

p2

…

pn

Математическое ожидание M[Q] и есть средний ожидаемый доход, обозначаемый . Правило советует принять решение, приносящее наибольший средний ожидаемый доход.

Представим, что в схеме из предшествующего примера вероятности есть (1/2, 1/6, 1/6, 1/6). Тогда Наибольший средний ожидаемый доход равен 7, соответствует третьему решению.

Правило минимизации среднего ожидаемого риска. Риск компании при реализации i-го решения, является случайной величиной Rj с рядом рассредотачивания

ri1

ri2

…

rin

p1

p2

…

pn

Математическое ожидание M[Ri] и есть средний ожидаемый риск, обозначаемый также . Правило советует принять решение, влекущее малый средний ожидаемый риск.

Вычислим средние ожидаемые опасности при обозначенных выше вероятностях. Получаем Малый средний ожидаемый риск равен 7/6, соответствует третьему решению.

Анализ принимаемых решений по двум аспектам: среднему ожидаемому доходу и среднему ожидаемому риску и нахождение решений, хороших по Парето, аналогично анализу доходности и риска денежных операций. В примере огромное количество решений, хороших по Парето операций, состоит только из 1-го 3-его решения.

В случае, если количество Парето-оптимальных решений больше 1-го, то для определения наилучшего решения применяется взвешивающая формула
С. Правило Лапласа.

Время от времени в критериях полной неопределенности используют правило Лапласа, согласно которому все вероятности pj считают равными. После чего можно избрать какое-нибудь из 2-ух приведенных выше правил-рекомендаций принятия решений.