Двигатели стирлинга

КОМБИНИРОВАННЫЙ АНАЛИЗ

В разработанных к настоящему времени методах комбини­рованного анализа рассматриваются лишь термодинамические, газодинамические и теплообменные вопросы нестационарного течения рабочего тела при его движении в системе двигателя. Вопросы, связанные с динамикой машины и сопротивлением ма­териалов, не включаются в рассмотрение, п это может иметь в дальнейшем нежелательные последствия. Например, методы комбинированного или раздельного анализа, использованные при проектировании или оптимизации двигателя, могут дать результаты, не совместимые с требованиями, которые следуют из рассмотрения динамики машин или сопротивления материа­лов. Следовательно, методы комбинированного анализа (или анализа 3-го порядка) должны применяться только на послед­ней стадии предварительной проработки или проектирования, как показано на рис. 3.1, когда все основные требования выпол­нены. В открытой литературе опубликовано несколько методов комбинированного анализа, которые имеют практически одина­ковый аналитический подход и различаются лишь методами ре­шения получающейся системы уравнений. В опубликованных работах, на наш взгляд, уделяется чрезмерное внимание выводу основных уравнений, и, хотя само по себе это и полезно, в за­висимости от типа публикации зачастую может создаваться впе­чатление, что эти уравнения получены впервые и применимы исключительно для двигателя Стирлинга. И то и другое почти полностью неверно. Рабочий процесс в двигателе Стирлинга представляет собой нестационарное течение рабочего тела в ка­налах переменного сечения при наличии трения и теплообмена. Подобные течения были подробно рассмотрены, например, в известных работах [40—42]. Чтобы применить основные урав­нения к двигателям Стирлинга, нужно задать граничные усло­вия, отражающие особенности газодинамики в таком двигателе, н учесть течение сквозь металлические сетки; именно это и сле­дует подчеркнуть.

Стандартным подходом к решению подобных газодинамиче­ских задач является метод характеристик [44]. Однако этот подход применяется лишь в работах [43, 45], в то время как остальные исследователи предпочитают так называемый метод узлов. Подробное описание и сравнение различных подходов выходят за рамки нашей книги, но мы сделаем некоторые за­мечания и опишем физические основы анализа. Будут указаны соответствующие источники, особенно те, в которых представ­лены программы численного расчета на ЭВМ. В готовящейся к печати работе [46] предполагается дать полное описание ме­тодов комбинированного анализа, которые пока не представ­лены в открытой литературе.

Решение любой газодинамической задачи должно удовле­творять уравнениям неразрывности, количества движения и энергии. В случае нестационарного течения уравнения полу­чаются нелинейными, и пока не имеется общего метода их ре­шения. Хотя с помощью быстродействующих счетных машин можно решить полную систему уравнений для трехмерного те­чения, в настоящее время для течений, встречающихся в двига­теле Стнрлинга, в достаточной степени разработаны лишь ме­тоды расчета одномерного потока. Это ограничение означает, что все основные параметры считаются зависимыми только от одной пространственной переменной и времени. При использо­вании этого основного предположения подразумевается, что скорость потока параллельна единственной пространственной координате и что все поверхности, перпендикулярные этому на­правлению, являются поверхностями постоянной скорости и по­стоянных параметров состояния. Задача о нестационарном те­чении решена, если в любой момент времени в любой точке системы известны параметры состояния, определяемые двумя параметрами термодинамического состояния, и скорость потока [54]. В принципе можно определять любые три независимых параметра, но предпочтительнее те, которые можно измерить экспериментально, чтобы получить возможность подтвердить математическую модель.

Многими исследователями рассматривались такие явления нестационарной газодинамики, как возникновение пульсаций и возвратного течения, а также влияние плавного и резкого из­менения площади проходного сечения, трения, подвода тепла, движения поршня, течения сквозь металлические сетки и т. п. Эти исследования не проводились специально для двигателя

Стирлинга, но совершенно очевидно, что в открытой литературе можно найти все необходимые методы исследования, и тем не менее, если не считать отдельных попыток, все это богатство теоретических знаний совершенно не использовалось. Теорети­ческие исследования, методы решения и численного расчета можно найти в уже упоминавшихся работах [40—42], а также в публикациях [44, 45, 47—53]. Метод узлов имеет ту же тео­ретическую основу, но совершенно иную методику решения. Вопрос о применимости этой методики вызывает сомнения, но окончательный выбор нельзя сделать до тех пор, пока не будет

Разработан полностью обоснованный теоретический метод. Ме­тод характеристик доказал свою состоятельность применитель­но ко многим задачам нестационарной газодинамики, но не к двигателю Стирлинга. Какой бы метод ни применялся, остаются проблемы определения корреляционных соотношений теплооб­мена и аэродинамического сопротивления, так что приходится по-прежнему применять те же самые уравнения «эквивалент­ного» стационарного течения, которые использовались в анали­зах более низкого порядка. Следовательно, в настоящее время методы комбинированного анализа лишь олицетворяют более строгий термодинамический и газодинамический подход и по­этому естественно задать вопрос: а есть ли смысл повышать на порядок сложность анализа и точность численного расчета, если остаются нерешенными многие фундаментальные проблемы ма­тематического моделирования явления? С точки зрения кон­струирования и оптимизации двигателя на этот вопрос следует дать отрицательный ответ, но для достижения более глубокого понимания механизмов, управляющих рабочими процессами в двигателе Стирлинга, и взаимосвязи между газодинамикой и теплообменом требуются более строгие подходы. Теория и способы решения с помощью метода характеристик описаны в указанных выше работах, а аналогичные сведения с использо­ванием метода узлов представлены в работах [20, 39, 55. 56], где приводится и полное описание программ численного рас­чета. Рекомендуется также изучить работы [57, 58, 60].

Теперь представим основные уравнения и сделаем краткие замечания по поводу их решения. Уравнения выводятся соглас­но трактовке Шапиро 140]. При изложении решения методом характеристик мы следуем не Шапиро, который опирался на оригинальную работу [59], а методике, предложенной в работе [42].

Рассматривая типичный контрольный объем, показанный на рис. 3.5, можно вывести основные уравнения:

Уравнение неразрывности

Д (рUЛ) . д , . . ч

Dp , DU , т, Dp . U dA ,. Уравнение количества движения

Закон сохранения количества движения требует выполнения следующего соотношения

Силы давления+Вязкие силы (сопротивление) = = Изменение количества движения в контрольном объеме

По времени + Поток количества движения, (3.73)

Силы давления = —(РЛ) dx + р dx, (3.74а)

OLJ2

Вязкие силы = — f nD dx, (3.746)

Д

Изменение количества движения по времени = (pAUdx),

(3.74в)

Поток количества движения = (pAU2) dx. (3.74г)

После некоторых алгебраических преобразований уравнение (3.73) сводится к следующему:

На основании уравнения неразрывности член, стоящий в скоб­ках, равен нулю. Итоговое уравнение количества движения

Удобно записать в следующем виде (замечая, что А = &D[4]/4): + + + = (3.76)

Г f U2 U 4 ,1 77Л

Отношение U/U введено для того, чтобы обеспечить правиль­ный знак перед Gb, поскольку Gb действует в направлении, противоположном направлению течения. Уриелли [55] пред­ложил использовать так называемый коэффициент трения Рей­нольдса FR, определяемый формулой

FR = F Re, (3.78)

Р UD

Где Re =

Модуль числа Рейнольдса вводится по тем же соображениям, что и модуль скорости в соотношении (3.77).

Уравнение энергии

В соответствии с первым началом термодинамики Тепловой поток = Мощность на валу +

/Изменение внутреннейЧ + 1 энергии в контрольном 1 + ( торможения J> (3.79) V объеме по времени / г

Т- Е. Q = Ws + d(E)cv/di + dHBP, (3.80)

Где Q = qpA dx, (3.80а)

Д (E)cv/dt = d/dt [рA dx (CVT + -£)], (3.806)

ДНЕР = д/дх [рUА (СуТ + + Р/Р)] Dx, (3.80в)

— 0 для контрольного объема (но см. разд. 3.5.3) (3.80г)

После довольно сложных выкладок и использования соотноше­ний. которыми выражаются

1) субстанциональная производная

Уравнение (3.79) можно записать в виде

А2. / 1 Dp Dp

Q =-------- 2—1-9 —------------------- Ч - '3.84)

P(V - 1) a2e Dt Dt J

Это «определяющее» уравнение системы. Его форма будет иной

Для

1) других уравнений состояния;

2) многокомпонентных рабочих тел;

3) рабочих тел, в которых проходят химические реакции.

Течение смеси газа с частицами, содержащей взвешенную конденсированную фазу, рассмотрено в гл. 14 работы £41J. Уравнения для газа с химическими реакциями были полностью выведены в работе Ридера [53], где показано, что определяю­щее уравнение имеет те же самые члены, но «равновесное» значение скорости звука заменено «замороженным».

Для облегчения решения и удобства представления расчет­ных результатов все параметры, входящие в уравнение, нор­мализованы, т. е. приведены к безразмерной форме. Способ нормализации зависит от выбранного метода решения, класса счетной машины и желания исследователя.