ЧТО МОЖЕТ ВИБРАЦИЯ?

Примеры нахождения вибрационных сил и составления уравнений медленных движений (основных уравнений вибрационной механики)

1.1.1. Предварительные замечания. Прежде чем рас­смотреть вопрос о получении основных уравнений вибра­ционной механики в общей математической форма (п. 2.4), приведем несколько простых, по важных в при­кладном и принципиальном отношепни частных приме­ров. На этих примерах будет выяспеп физический меха­низм возникновения вибрационных сил и проиллюстри­рованы эвристические, полуинтуитивные приемы полу­чения их приближенных выражений. Впрочем, нам неизвестны случаи, когда такие нестрогие приемы при осмотрительном их примепепии приводили бы к серьез­ным ошибкам. В сущности, эти приемы содержат два ос­новных элемента: 1) приближенное пахождение быстрого движения при простейших предположениях (как прави­ло, в так называемом чисто инерционном приближении, справедливом при достаточно высокой частоте и интен­сивности быстрых сил); 2) вычисление вибрационной силы при указанных быстрых движениях, сводящееся к простому усреднению, т. е. к вычислению некоторых определенных интегралов. При я? елании читатель может легко рассмотреть то же примеры более строго — следуя общей методике, изложенной в п. 2.4, или же обратиться к имеющейся литературе (см. п. 2,6).

На приводимых примерах будут рассмотрены также некоторые из упоминавшихся нелинейных эффектов, ис­пользуемых в вибрационной технике и технологии.

1.1.2. Движение тела по шероховатой плоскости под действием продольной гармонической вынуждающей си­лы (простейшая модель процесса вибрационного переме­щения). Рассмотрим тело массой т, лежащее на гори­зонтальной шероховатой плоскости, на которое действует горизонтальная сила Ф0 sin cot с амплитудой Ф0 и часто­той со (рис. 2.2, а). Если коэффициенты сухого трения при скольжении тела вперед и назад по плоскости /+ и /_ одинаковы и равны /, то ясно, что при Ф0 < mg} тело останется неподвижным, а при Ф0 > mgf будет совер­шать симметричные колебания относительно некоторого среднего ПОЛОЖЄНИЯ. Если же допустить, например, что /_ > /+, то симметрия нарушится, и, как видно из рас­смотрения характеристики силы сухого трения F на рис. 2.2, а, при Ф0 > mgf+ тело будет перемещаться в положительном направлении (в случае /_ < /+ при Ф0 > > mgf - будет иметь место перемещение в отрицатель­ном направлении, т. е., как и ранее, в направлении, в котором сила сопротивления меньше[3]). Действитель­но в течение некоторого промежутка времени первого полупериода 0 < cot < я, когда Ф0 sin cot > mgf+, тело сдвинется вправо, а в течение второй половины периода я < cot < 2л, когда Ф0 sin cot < 0, либо останется на мес­те (если Ф0<mgf~), либо сдвинется влево на меньшее, чем вправо, расстояние, поскольку сопротивление движе­нию влево больше, чем сопротивление движению вправо. Таким образом, за каждый период изменения силы бу­дет происходить пекоторое смещение тела вправо. На­блюдатель V, не замечающий быстрой силы Ф0 sin cot и силы сухого трения, которая также изменяется «быст­ро», припишет движение тела вперед появлению некото­рой силы — вибрационной силы V, действующей в поло­жительном направлении (см. рис. 2.2, б). Эта сила, в частности, может обеспечить движение тела даже вверх по плоскости, т. е. против силы тяжести, если на­клонить плоскость на некоторый не слишком большой угол.

Подсчитаем впбрациоппую силу приближенно, хотя в даппом случае задача допускает достаточно простое точное решение. Л пмеппо, рассмотрим быстрое движение тела в чисто инерцион­ном приближении, т, е, при нахождении быстрого движения будем учитывать только быструю силу Ф0 sin <of, а силой сухого трения (тоже быстрой!) пренебрежем; естественно, что это предположе­ние будет тем точнее, чем больше Фо по сравпепию с mgf+ п mgf— Тогда, согласно второму закопу механики, уравпение быст­рого движения будет иметь вид (здесь и везде далее мы предпо­лагаем, что движение системы представимо в виде (2.2))

mif> = Ф0 sin cof, (2.4)

и ого периодическое решение получится простым двоипым инте­грированием

|> =» — A sin со[4] зз A sin (cof + л) ( /1 = % )• (2.5)

moo /

Иными словами, в рассматриваемом приближении быстрое движение будет представлять собой гармопическое колебание с частотой со и амплитудой А = Ф0/(та)2), противофазное по отпо - шеппю к силе Фо sin cof; нетрудно попять, что эта последняя за­кономерность характерна для чисто инерционного приближения.

Теперь легко подсчитать средпюю за период силу трепия F(mi), действующую на тело при указанном движении. Эта сила и будет в данном случае представлять собой вибрационную силу *)

2Я

(2.6)

о

Предположим сначала, что медлепная составляющая движе­пия тела отсутствует, т. е. X = 0, так что х = г|з = —.4cocos cof. Тогда (рис. 2.2, в) в течение полупериода '/2я < соf < 3/2л тело движется вправо по плоскости (х > 0) и сила трепия F = F+ = = —mgf+ < 0 направлена влево. В течение друюго полупериода 3/гл < cof < 5/2Л тело движется влево (і < 0) и сила F = F - => ■= mg]- > 0 направлепа вправо. Поэтому (Т = 2я/со)

v (0) = <^>|i=o = т (- mSf+ Т + msf~ т) = Т mg V - ~ /+)•

(2.7)

Ненамного сложнее вычисление силы в случае, если тело, по­мимо колебаний но закону (2.5), движется с некоторой постояыпой

или медленно изменяющейся скоростью X. Тогда (см. рис. 2.2, г)

v(x)=<F> = £lmg(f_t_-f+t+), (2.8)

где t+ и f_ — промежутки времепп, в течение которых тело дви­жется соответственно вправо п влево по плоскости, причем

coi, «= 2 I л — arccos - Д. ], cof_ [5]= 2 arccos —. (2,9)

+ Аа> j Лш

С учетом отих выражепий формула (2.8) приобретет вид

jr

(/++/_) arccos^-/+n

При X = 0 эта формула, как и должпо быть, совпадает с (2.7).

Своеобразная зависимость вибрациоппой сплы V от скорости X, соответствующая формуле (2.10), изображопа на рис. 2.2. б. К об­суждению этой зависимости, характеризующей эффект кажуще­гося превращения под действием вибрации сухого трения в вязкое (эффект псевдоожижения), мы еще обратимся в п. 4.4 и 6.3*).

При учете формулы (2.10) уравнение медлеппого движения (2,3) запишется в виде

X = l!±(f+ +— arccos А. - А (2.11)

л [ f+ A at )

Приравппвая правую часть этого уравпепия пулю, получаем вы­ражение для скорости установившегося движепия тела

л/, Ф л /.

*0 = A(S) cos /+ + /_ = пш со® /+ 4- /_* (2>12)

•

При /+ = /_, как и должпо быть, Ха = 0, т. е. тело «в среднем» остается неподвижным, совершая лишь быстрые колебания отно­сительно некоторого среднего положепия. Следует, конечпо, иметь в виду, что от формул (2.10) — (2.12) пужпо ожидать тем боль­шей точпости, чем больше амплитуда силы Ф0 по сравпеппго с максимальным значением силы трения F = mgf-. Отметим также, что эти формулы остаются справедливыми и в случае, когда па тело пе действует выпуждающая сила Ф0 sin соt, а плоскость, па которой опо лежит, совершает гармонические колебаппя с ампли­тудой А и частотой м.

1.1.3. Частица в быстро осциллирующем неоднород­ном поле. В качестве второго примера, который, также как и первый, относится к одной из базовых моделей изучаемых явлений, рассмотрим поведение частицы в ста-
ционарпом быстро осциллирующем поле, амплитуда ко­торого IV(х)I изменяется по некоторой пространствен­ной координате х, т. е. быстрая сила носит характер так называемой стоячей волны (рис. 2.3, а). Точки х, где Ч' (ж) = 0, называют узлами, а точки х, где Ч7 (х) имеет максимумы или минимумы,— пучностями волны (в та­ких точках 4;'(ar)=0). На частицу может действовать также не зависящая от времени сила F(x). Будем счи­тать, что на расстояниях порядка амплитуды колебаний частицы силы F (х) и Ч7 (х) изменяются не слишком сильно.

Уравнение движения частицы имеет вид

mx — F (х) + Ч; {х) sin at.

Здесь, как и выше, т — масса частицы, а а — частота осцилляции. К изучению описанной модели сводится классическая задача о поведении маятника с вибрирую­щей осью, а также ряд задач о дрейфе частиц в акусти­ческих и электромагнитных полях.

Как и в первом примере, приведем вначале качест­венное рассмотрение задачи на полуиптуитивном, как иногда говорят, эвристическом уровне. Предположим, что частица находится вблизи некоторого положения х = А", и совершает относительно него быстрые колебания |з, обусловленные действием силы Ч; (.г) sin at; если эти ко­лебания действительно быстрые, а амплитуда силы Ч7 (х) достаточно велика по сравнению с медленной силой F(x), то за один период колебаний Т = 2л/со среднее положение частицы не успеет сколько-нибудь замет­но сместиться. При этих условиях, как и ранее, быстрые движения частицы можно найти из уравнения

= Ч; (.Yi)sin at,

т. е. ограничиться при рассмотрении таких движений чисто инерционным приближением. Как и в первом при­мере, быстрое движение

будет представлять собой гармоническое колебание, про­тивофазное по отношепию к силе Чг (A"i)sin at. Эта об­щая закономерность существенна. Действительно, пред-

а

t

положим, что в рассматриваемой точке х = Х справед­ливы неравенства Ч/(Хі)>0, Чг'(Хі)>0, т. е. функция Ч/(з:), будучи положительной, возрастает (рпс. 2.3, г). Тогда за одну половину периода 0 < cot < л, когда сила 4r(;z)sinco£ положительна, среднее значение <Ч; (x)sin 0)<>г/2 этой силы будет по абсолютной величи­не меньше, чем среднее значение той же силы за другую половину периода, когда эта сила отрицательна. В ре­зультате среднее значение силы Ч; (a;) sin at за период окажется отрицательным: F(Xi) =<ЧГ (a:)sin at)< 0. Ана­логичным образом легко устанавливается, что если быст­рое движение происходит вблизи точки X = Х2, в кото­рой Ч/(Х2)<0 п Ч/,(А'2)>0, то (см. рпс. 2.3, д) V(XZ) = = <Ч/ (x)sin at» 0. И вообще, если в некоторой точке х — Хп знаки V (Хп) и ^'(Х,,) одинаковы, то F(Xn)<0, а если эти знаки различны, то F(Xn)> 0.

Эта закономерность иллюстрируется рпс. 2.3, в, где первый знак па определенном интервале изменения функции (х) соответствует знаку Ч/(а:), а второй — знаку Ч/,(а;). Стрелками над осью абсцисс и над графи­ком функции Ч/ (х) указаны направления действия ви­брационной силы V (X).

Из рассмотрения рис. 2.3, в следует и другая весьма важная закономерпость: в результате действия силы ^(arjsinmf возникает медленная сила V, всегда «притя­гивающая» частпцу к точкам минимума функции І Чг (х) I и «отталкивающая» ее от точек максимума этой функ­ции. Иными словами, вследствие действия силы xF(a;)sina)t частицы будут медленно двигаться («дрей­фовать») к точкам минимумов функции |Чг(д:)| как к некоторым устойчивым состояниям квазиравновесия. В числе таких устойчивых точек (па рпс. 2.3, в опи по­мечены буквой «s» в отличие от неустойчивых точек, помеченных буквой «и») будут и точки, где VF (х) = 0, т. е. узлы волны Ч' (х).

Конечно, при наличии медленной силы F(x) положе­ния квазиравновесия частицы могут сместиться, изме­нить свой характер и даже совсем исчезнуть. Установ­ленная закономерность в этих случаях проявляется лишь в виде тенденции.

Изложенный качественный вывод, а также простая формула для вычисления вибрациоппой силы могут быть легко получены аналитически. Действительно, вблизи точки х = X амплитуда си­лы (х) может быть приближенно представлена в виде

Т (х) = V (X ir Ч>) = ¥ (*) + ¥'(*)*. (2,16)

Но тогда прп учете выражения (2.15) и равенств [6]) <sin со<> = 0, <sin2 cot) = ~2

легко находим

1 Y (X) У' (X)

2 ото2

(2.18)

Отсюда непосредственно усматривается сформулированный выше качественный результат.

Замечая, что У (X) У (X) = — [У2 (X)]', выражение для вп-

брационпой силы можно представить в форме

rw=-ix.

где положено

(2.20)

и учтено обозначение (2.15).

Из равенства (2.19) следует, что вибрационная сила V свя­зана с функцией Пу точно таким же образом, как обобщенная сила с потенциальной энергией системы. Если ввести теперь еще и «обычную» потенциальную эпергпю По, соответствующую мед­ленной силе Р

(2.21)

то уравпеппе медленных движений представится в виде (напом­ним — см. также п. 2.4,— что это уравнение представляет собой результат усреднения исходного уравнения (2.13) и что в линей­ном относительно i|) приближении <F(x)> = F(X)) [7])

all

mXz=~7x (n==no + nv)>

где через П обозначена полпая потепцпальпая эпергпя медлеппых движений частицы.

Полученные формулы, как нструдпо убедиться, вполпе согла - суются с выводом, который был сделап выше па оспово качест­венных рассуждепий. Действительно, если медлеппая сила F(x) отсутствует, то можно положить По = 0 и П = П^. Но, согласно теореме Лагранжа — Дирихле, точкам минимума потенциальной энергии П = Пу соответствуют точки устойчивого равповеспя си­стемы. Как следует из выражения (2.20), эти точки совпадают с точками минимума функции [^(я)]2, пли, что то же, с точками мипимума функции | (а:) |, как и было установлено ранее.

Обратим внимание на весьма примечательпое обстоятельство, полученное в результате проведенного рассмотрения: исходная система, описываемая уравпепием движения (2.13), была сущест­венно некопсервативпой, тогда как уравнение медленного движе­ния (2.22) соответствует консервативной системе. С такими «по­тенциальными в среднем* системами мы еще столкнемся ниже, при рассмотрепии явлеппя самосинхронизации неуравновешенных роторов (раздел 12). Для этих систем, как и для рассмотренной выше, существует некоторая функция D, называемая потенциаль­ной функцией, которая играет ту же роль, что и потепцпальная энергия в консервативных системах: точкам мипимума этой функ­ции соответствуют устойчивые положения равновесия или устой­чивые движения системы.

Заметим в заключение, что выражение (2.20) для потенциаль­ной энергии вибрационпой силы Пу может быть, согласпо (2.15), представлено в форме

Пу = ^ тЛ2 (X) о)2 = ^~2" = <7», (2.23)

где Tv — кинетическая эпергпя частпцы в ее быстром движения. Поэтому формулу (2.22) для полной потенциальной энергии мед­ленного движения П можно записать в виде (учитываем, что <По) = По)

П = <П„ + Ту>. (2.24)

Обратим внимание на прпмечательпый эффект, вытекающий пз приведенных простых рассуждений и выкладок: при отсутствии осцилляции частица может не иметь положений устойчивого рав­новесия, а при их наличии положеппп устойчивого квазиравпове - спя могут появиться. Действительно, уравнение F(x) =0 может не пметь вещественных корней, для которых F'(x) < 0, а уравне­ние F(X) + V(X) =0 может иметь соответствующие корни (или, что то же. функция П3(і) может не иметь минимумов, а функция П(Х) = По(Х) - f-IIv(A’) —иметь таковые). Иными словами, осци­лляции могут приводить к появлению точек локализации частиц — «потепциальпых ям». Применительно к движению заряженных ча­стиц в высокочастотных электромагпитпых полях этот п подобные аффекты рассмотрены в работах [66, 67, 150] (см. также п. 2.6),

1.1.4. Маятник с вибрирующей осью подвеса. Задача о маятнике с вертикально вибрирующей осью подвеса (рис. 2.1, б) представляет собой частный случай задачи, подробно проанализированной в предыдущем пункте, Действительно! дифференциальное уравнение движения

такого маятника имеет ішд

/ф + ml (g + А ш2 sin cot) sin ф = 0, (2.25)

Оно отличается от классического уравнения колебаний маятника с неподвижной осью лишь тем, что к ускоре­нию земного тяготения g добавлено ускорение вибрации (обозначения здесь те же, что и в п. 2.1). Сопоставляя это уравнение с (2.13), заключаем, что в данном случае можно положить

F(t)= — mgl sin ф, ^(ф)^ — m^co’Zsin ф, (2.26)

причем роль координаты х играет угол поворота маят­ника ф.

Согласно изложенному в п. 2.3.3, «точками притяже­ния» маятника, обусловленными действием вибрации, будут точки минимума функции I *¥ (ф) I = тАыЧ [sin фI. Таких существенно различных точек всего две: фі = 0 и ф2 = я (рис. 2.4); первая соответствует пижпему, а вторая — верхпему положению маятника. Если сила

тяжести отсутствует (F = 0) или., „

«____ Рис. 2.4. График функции

мала по сравнению с силои ппер - fein фі

цип тоЛш2, то этим точкам и со­ответствуют положения устойчивого равновесия маятни­ка— маятник располагается вдоль направления вибрации. В другом крайнем случае, когда mAml<g, как хорошо известно, нижнее положение фі == 0 устойчиво, а верхнее неустойчиво.

Чтобы получить условие, при выполнении которого вибрация стабилизирует верхнее положение маятппка, достаточно выписать выражения для вибрационного момепта V (а) пли для полной потенциальной эпергни медленного движения П(а) (а —медлен­ная составляющая угла ф). При учете формул (2.18) —(2.22), в ко­торых следует заменить величину т па /, а также равенств (2.26) находим

(тМш)г.

V (а) = —jj— sin 2а, (2.27)

_, . , , (ліМи)5

П (а) = mgl cos а + —— cos 2а, (2.28)

Уравнение медленного движения при этом имеет вид

(тМсо)2

/а + mgl sin а - f—-q—sin 2а = 0, (2.29)

т. е. отличается от обычпого уравнения колебаппй маятника на­личием последнего слагаемого (вибрационного момента). Вблизи верхнего положения равновесия аз = л уравнение (2.29) заменя­ется линейным дифференциальным уравнением

, . і, . (mMm)*

Ja + — mgl+ —2у-

а вблизи нижпего аі = 0 — уравнением

/а + |mgl + — j а = 0. (2.31)

Поскольку выражениям при а в этих уравнениях соответствует коэффициент жесткости с в уравпеппп колебаппй простейшего осциллятора тх + сх — 0, то, как уже отмечалось в п. 2.1, дейст­вие вибрации в данном случае приводит как бы к появлению вблизи обоих положений равновесия пружпп с поворотной жест­костью cv = (т/Лш)2/2/ (см. рис. 2.1, б). Для устойчивости, как известпо, с должно быть положительным. Если эта жесткость боль­ше абсолютной величины «отрицательной жесткости» <^,2'= —mgl, обусловленной моментом силы тяжести при верхнем расположе­нии маятника, т. е. выполняется условие

> I, (2.32)

то верхпее положеппе равновесия маятника будет устойчивым. Вблизи нижпего положения равповесия ai = 0 жесткость су до­бавится к положительной жесткости = mgl, что, как отмеча­лось, приведет к увеличению частоты свободных колебаний ма­ятника вблизи этого положения (маятниковые часы вследствие вибрации всегда спешат).

Простое качественное объяснение рассмотренных эффектов приводится в кпиге [142].