Возьмем, например, точку…
При этом X] = 0. Речь идет о том, чтобы питаться одним лишь диетпирогом, по 2 килограмма в день. Проверяем выполнение при этом условия диеты. С помощью формул (6.84) и (6.85) находим: — по жирности
14x0 + 4x2 = 8 единиц жира, т. е. явно меньше 14. Подходит;
— по калорийности
150 х 0 + 200 х 2 = 400 калорий, т. е. более 200. Тоже годится.
Нетрудно рассчитать и сколько будет стоить дневной прием нашего чудо-продукта. Воспользуемся формулой (6.87):
1,5 х 0 + 2,5 х 2 = 5 руб.
Много это или мало? Нельзя ли, сохранив в неприкосновенности условие диеты, вместе с тем сократить расходы?
Посмотрим на графике линию, соответствующую полученной стоимости диеты:
I,5Zx + 2,5Х2 = 5 руб.
Нетрудно сообразить, что если мы станем менять в этом выражении величину свободного члена, то линия стоимости станет перемещаться параллельно самой себе вверх или вниз. Например, взяв в качестве плана диеты верхнюю вершину области — точку Б (она имеет ординату Х2 = 3,5), получим
1,5 х 0 + 2,5 х 3,5 = 8 руб. 75 коп.
Диета явно вздорожала.
Но мы уже находим путь к цели: оптимальный план здесь, как и в любой задаче математического планирования, должен соответствовать крайней точке области, а именно той, которая одновременно принадлежит линии с наименьшей стоимостью. Такой точкой является вершина В. Ее координаты — столь нужные нам значения Х\ и Xj оптимального плана — можно найти, совместно решая уравнения линий, образующих стороны АВ и БВ:
14Zi + 4Х2 = 14;
15(Щ + 200Х2 = 200.
После несложных преобразований можно получить:
У = « 0,9 кг; Х,=—« 0,32 кг.
1 И 2 22
Это и есть дневная норма диеттворога и диетпирога. Какой же наименьшей стоимости диеты нам удалось добиться? Вот она, на графике, линия стоимости, проходящая через точку В:
1,5 х 0,9 + 2,5 х 0,32 = 2 руб. 16 коп.
По сравнению с самой расточительной диетой наш план позволил сократить расходы более чем в четыре раза! Согласитесь, это впечатляет. Тем более что задача, которую мы только что решили, необходима не только для сохранения фигуры. Составление наилучшего рациона откорма скота и кормления серебристой норки, определение состава сплавов и технических смесей делается очень похожим образом. Во всех этих случаях экономико-мате - матические методы резко повышают эффективность общественного производства.
Итак, для того чтобы найти наилучшее распределение ресурсов, необходимо произвести направленный перебор возможных вариантов, отсекая несколько раз одним махом сотни и тысячи ненужных, заведомо неподходящих. Неподходящих — значит не соответствующих условиям, в которых будет выполняться операция. А уж из оставшегося, резко ограниченного числа вариантов (они и называются допустимыми планами) нетрудно отыскать единственный — наилучший. Тот, который приводит к цели.
Идея математического планирования как раз и заключается в том, чтобы вместо сплошного перебора вести перебор выборочный, направленный на скорейшее последовательное улучшение результата. Поэтому и в последней задаче мы рассматривали не все точки области допустимых планов (их бесчисленное множество), а только вершины многоугольника, одна из которых и дала нам наилучшее решение.
Рассмотрим, как вырабатываются правила решения еще одной важной предпринимательской задачи.
Управление очередями (теория расписаний)
Еще одной важной областью выработки решений производственных задач является составление всевозможных расписаний. С помощью расписаний определяется порядок действий персонала предприятий, устанавливается последовательность выполнения операций обработки материалов и сборки сложных изделий, назначается очередность при распределении различных материальных благ и т. д. Как же строятся наилучшие расписания?
Простейшее решение по составлению расписаний имеет так называемая задача директора. Сущность этой задачи заключается в следующем.
На прием к директору записалось несколько посетителей. Секретарь директора составил список в алфавитном порядке, указав для каждого требующуюся ему ориентировочную продолжительность приема. Фамилии записавшихся обозначены в списке их заглавными буквами (табл. 6.33).
Таблица 6.33
№ п/п Фамилия (начальная буква) Продолжительность приема, мин. Время ожидания, мин.
1 2 3 4
1 Б 25 0
2 д 15 25
3 Е 10 40
4 К 5 50
5 С 35 55
6 т 30 90
Суммарное время 120 мин = 2 ч 260 мин = 4 ч 20 мин
На весь прием директор, как видно из таблицы, отвел 2 ч = 120 мин, поэтому пришлось ограничиваться всего шестью посетителями. Является ли составленное расписание наилучшим?
С точки зрения общей продолжительности приема любая оче-редность посетителей равнозначна: суммарное время приема не меняется при любой его последовательности. А с точки зрения ожидания в очереди? Подсчитаем общее время ожидания как сумму времени ожидания всех посетителей. В нашем алфавитном списке оно составляет 260 мин = 4 ч 20 мин. Понятно, что это время желательно было бы уменьшить: ведь время ожидания — зря потраченное время. Но вот можно ли это сделать? Приведет ли расписание с другой последовательностью приема к экономии общего времени ожидания при сохранении намеченного суммарного времени приема?
Оказывается, получение такого расписания возможно. В одном из методов исследования операций — так называемой теории расписаний — доказывается, что наименьшее суммарное время ожидания получается при составлении расписания в порядке нарастания продолжительности приема. Составим такое расписание (табл. 6.34).
Полученное оптимальное расписание позволяет уменьшить суммарное время ожидания на 1 ч 10 мин. Это значительное сэко-номленное время можно использовать более продуктивно.
Задача директора находит применение не только в приемной руководителя. Ведь таким же образом можно составить и расписание очередности работы станка или другого оборудования. Про-должительность обработки при этом бывает различной, и нужно составить расписание таким образом, чтобы суммарное время об-работки оказалось наименьшим. Это, как мы видели, дает существенный временной, а значит и экономический, эффект.
Таблица 6.34
№ п/п Продолжительность приема, мин. Фамилия (начальная буква) Время ожидания, мин.
1 2 3 4
1
2
3
4 5 6 5 10 15
25 30 35
Суммарное время 120 К Е
д
Б Т
С
мин = 2 ч 190 мин = 3 0 5
15
30 55 85
ч 10 мин
Задачу директора иногда называют задачей одного станка. Ее дальнейшим развитием является задача двух станков. В чем ее суть?
