Необходимо найти оптимальные…
При этом должны учитываться ограничения: а2 < х2< р;. Решение Данную задачу удобно решать методом так называемых прира-щений. Сущность метода заключается в следующем: — минимизация целевой функции (6.57) достигается методом последовательных приближений (итераций); — в качестве исходного набора значений искомой переменной Х0 = (х10, х20) берутся их минимальные значения а |, as, — на первом шаге итерации каждому из аргументов дается определенное приращение Дхю и Дх2о, вытекающее из условия (6.61); полученные в результате переменные образуют «чистый» набор Х\ = (хц_, х22); — из XQ И Х\ составляются два «комбинированных» набора, в каждом из которых один из аргументов соответствует новому значению, а второй оставлен прежним; — на втором шаге с помощью приращений наращиваются значения аргументов «комбинированных» наборов; исходя из ограничения (10.18), снова получаются «чистые» и новые «комбинированные» наборы и т. д.; — на каждом шаге для чистых и комбинированных наборов переменных вычисляются значения целевой функции у; минимальное значение целевой функции на к-м шаге по всем «чистым» наборам данного и предшествующих шагов обозначается ук, а по всем «комбинированным» — через у к; — итеративный процесс продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие (6.59) где є — требуемая точность решения задачи (оценка потерь). Последовательность расчетов 1. Составляется исходный набор аргументов Х0 = (х10; *2о) = (аь а2 = (1; 2). 2. Рассчитывается приращение аргументов Ах, которые при-нимаются обратно пропорциональными потерям: Для расчета величины t воспользуемся следующим выражением, полученным с помощью теории вероятностей (см. следующий параграф данной главы): W}= І-а-ДУ^а-Р^--"2. (6.61) Подставим в формулу (6.61) соответствующие значения: W}= 0,9 = l-(l-0,5)ri-'(l-0,3)rj-2; Z = 0,1 -0,5ті-1 x0,7rj-2 >0, где Z — неубывающая функция, соответствующая данному ограничению. Параметр / определяется из граничного условия, когда Z= 0; при этом соответствующие показатели степени принимают значения Дхю И ДХ20 Z= 0,1 - 0,5і'25' х 0,72'5' = 0. (6.62) Из формулы 6.62 следует, что t= 1,21, а из формулы 6.61, что Дхю = 1,25 х 1,21 = 1,51; Axio = 2,5 х 1,21 = 3,02. 3. Выполняется первый шаг итерации: Хц = аі + Ахю = 1 + 1,51 = 2,51; Х{2 = ат + Ах? о = 2 + 3,02 = 5,02. Получается чистый набор Х| = (хц; х^) = (2,51; 5,02). Составляются два комбинированных набора (1,0; 5,02) и (2,51; 2,0). 4. Рассчитываются по формуле (6.57) значения целевой функции для чистого и комбинированных наборов, причем из двух последних выбирается минимальное: для чистого набора у1 = 0,8 х 2,51 + 0,4 х 5,02 = 4,02; для ком-бинированных наборов: первого уі = 0,8 х 1 + 0,4 х 5,02 = 2,81; второго уі = 0,8 х 2,51 + 0,4 х 2,0 = 2,81; = min (2,81; 2,81) = 2,81. Оценивается yt — Уі = 4,02 — 2,81 = 1,21. Решение на первом шаге, соответствующее данной точности в оценке потерь, берется из чистого набора и составляет Хі = 2,51; Xi = 5,02 или Х\ к 3; Xi ~ 5. Осуществляется второй шаг итерации аналогично п. 3. Получается два чистых набора (1,87; 6,77) и (3,40; 3,79), из которых составляется четыре комбинированных (1,0; 6,77), (1,87; 5,02), (2,51; 3,79) и (3,40; 2,0). 5. Рассчитываются значения целевой функции для всех чистых наборов второго шага и выбирается минимальная величина ее на втором и предыдущем, первом, шаге: первый набор у2 = 0,8 х 1,87 + 0,4 х 6,77 = 4,20; второй набор у-, = 0,8 х 3,40 + 0,4 х 3,79 = 4,24. у~ = mill (4,02; 4,20; 4,24) = 4,02. Рассчитываются значения целевой функции для всех комби-нированных наборов второго шага и выбирается минимальная ее величина: первый набор У2 = 0,8 х 1,0 + 0,4 х 6,77 = 3,50; второй набор У2 = 0,8 х 1,87 + 0,4 х 5,02 = 3,51; третий набор У2 = 0,8 х 2,51 + 0,4 х 3,79 = 3,53; четвертый набор У2 = 0,8 х 3,40 + 0,4 х 2,0 = 3,52. ?= mill (3,50; 3,51; 3,53; 3,52) = 3,50. Оценивается у2 - у = 4,02 — 3,40 = 0,52. На втором шаге решение, соответствующее данной точности в оценке потерь, берется из того чистого набора, для которого у меньше, и составляет х\ = 1,87; х2 = 6,77 или х\ ~ 2; х2 ~ 7. В последующих шагах разность у к - у продолжает убывать. При этом необходимо следить, чтобы величина необходимого капитала первого и второго партнеров не превышала величин Pi и р2 соответственно. Если капиталы получаются более указанных пределов, следует остановиться на их предельных значениях. Если ограничиться точностью в оценке потерь є = 1% от величины у, то для решения задачи потребуется еще три шага. Динамическое программирование (планирование) Динамическое программирование (планирование) служит для выбора наилучшего плана выполнения многоэтапных действий. Для многоэтапных действий характерно протекание во времени. Кроме действий, естественно носящих многоэтапный характер (например, перспективное планирование), в ряде задач прибегают к искусственному расчленению на этапы с тем, чтобы сделать возможным применение метода ди
намического программирования. В общем виде постановка задачи динамического программирования сводится к следующему. Имеется некоторая управляемая операция (целенаправленное действие), распадающаяся (естественно или искусственно) на т шагов — этапов. На каждом шаге осуществляется распределение и пе-рераспределение ресурсов, участвующих в операции с целью улучшения ее результата в целом. Эти распределения в динамическом программировании называются управлениями операцией и обозна-чаются буквой U. Эффективность операции в целом оценивается тем же показателем, что и эффективность ее управления W(U). При этом эффективность управления W(U) зависит от всей совокупности управлений на каждом шаге операции W= W(U) = W(Uh U2, ..., Um). (6.63) Управление, при котором показатель IF достигает максимума, называется оптимальным управлением. Оптимальное управление обозначается буквой U. Оптимальное управление многошаговым процессом состоит из совокупности оптимальных шаговых управлений и = (Uh и2, ..., ит). (6.64) Задача динамического программирования — определить опти-мальное управление на каждом шаге Ц (і = 1, 2, ..., т) и тем самым оптимальное управление всей операцией в целом. В большинстве практических задач принимается, что показатель эффективности операции W и целом представляет собой сумму эффективности действий на всех этапах (шагах) операции W = |>, (6.65) ;=1 где ю/ — эффективность операции на /-м шаге.
