Расчет параметров механических резонаторов
В общем случае выходной частотный сигнал / первичного измерительного преобразователя является функцией истинного значения контролируемого параметра р, вектора конструктивных параметров b и вектора условий q, в которых проводятся измерения:
/=F(p, b,q); ЬЄ Db q Є Dq.
Учитывая непосредственную связь между количеством получаемой при измерении информации и погрешностью, целесообразно принять в качестве критерия оптимальности при выборе конструктивных параметров преобразователя абсолютную погрешность измерения, поскольку она удовлетворяет традиционным требованиям, предъявляемым к критериям оптимальности, т. е. может быть количественно оценена, и выражается одним числом. Кроме того, абсолютная погрешность измерения плотности является эффективным показателем качества работы прибора, однозначна в статистическом смысле, так как определенному набору геометрических параметров соответствует единственное значение функции цели. Немаловажно также, что выбранный критерий оптимальности имеет физический смысл.
86
Задачу параметрической оптимизации первичного измерительного преобразователя сведем к отысканию минимума результирующей погрешности, определяемой выражением (3.28):
min Дп. п(р, b, q) = F(p, A,<p); b = Ia, kT, , b Є Db ; q = ^A, V ]•, q Є Dq,
где a — определяющий размер резонатора (внутренний диаметр трубки, радиус круглой пластины или срединной поверхности цилиндра); кт и ki — относительные толщина и длина колеблющихся элементов резонатора; 'р — номинальное значение плотности среды.
Для решения задачи необходимо предварительно установить взаимосвязь отдельных составляющих результирующей погрешности с конструктивными параметрами резонатора. . Воспользуемся формулой
(3.26) и запишем ее с учетом конкретного значения коэффициента у, характеризующего отклонение реальной упругой характеристики резонатора от линейной (7 =80 ГПа/м) : Эквивалентная жесткость механического резонатора Сэ определяется его видом и выражается следующими формулами [9, 39]: для трубчатого резонатора
Сэ = 192EI/13 w 9,4Edb(k* - 1)/Аг3;
для кругло пластинного резонатора
Сэ = 16я£7г30/12д2 (1 - v2) * А,6Еак-
для цилиндрического резонатора
Сэ = 2£7i30/0,27а2 » 1,АЕаЦ.
Установим связь составляющей общей погрешности преобразователя Д^, обусловленной фазовыми сдвигами в системе возбуждения, с конструктивными параметрами резонатора. Обратимся* к формуле (3.27) и, используя соотношение (1.16), перепишем ее относительно коэффициентов поглощения ф и затухания а0 колебаний резонатора:
Найдем коэффициент поглощения ф = А £// £/, определив потенциальную U и рассеиваемую AU резонатором энергию за цикл колебаний. Полная потенциальная энергия колебательной системы определяется через напряжения о статического прогиба. Так, для двухосного напряженного состояния справедлива формула [40]
U = — f J S(a + al-2uoiai)dV,
2Е v
где V — объем резонатора; ог и о2 — главные напряжения на главных площадках.
Будем учитывать лишь нормальные напряжения в сечениях резонаторов, пренебрегая касательными ввиду их малости. Для перехода к одноосному напряженному состоянию достаточно положить о2 - 0.
Для определения потерь энергии за цикл колебаний резонатора воспользуемся формулой (1.17):
AU. = K0 J J J(a? + o)dV,
V
в которой К0 - коэффициент, зависящий от свойств материала, из которого изготовлен механический резонатор.
Таким образом, коэффициент поглощения колебаний резонатора определится из соотношения
Проанализируем объемно-напряженное состояние резонаторов, схематично представленных на рис. 4.1. Напряжения в материале конструкций резонаторов во всех случаях связаны с функцией прогиба W.
Для трубчатого резонатора с жестко закрепленными концами, изображенного на рис. 4.1, а у нормальные напряжения можно определить по формуле [39]:
d2W d2R
о = Еу = АЕу
dx2
в которой амплитудная функция R описьюается выражением (2.4).
При определении ф по формуле (4.7) можно воспользоваться приближенным выражением амплитудной функции в виде
R = 0,5(1-cos27rf); £=*//,
а интегрирование произвести в цилиндрических координатах у - г sin0; dV = lr drdf d0, где в — угол, отсчитываемый в окружном направлении сечения трубки; г — текущий радиус сечения трубки. В результате получим
ф = UAK0E2A(ksT-l)ldBk2(k^-l). (4.8)
AEz [Ъ2 R |
Напряженное состояние круглопластинного резонатора (рис. 4.1, б) характеризуется нормальными напряжениями и а2, действующими соответственно в радиальном и окружном направлениях [39]:
Oi =
В этих выражениях амплитудная функция R соответствует равенству, полученному йз.(2.15):
R = 0,9486 [J0 (Xf) +0,0541/о (Xf)L f = г/а,
где /o(Xf) и (Xf) — бесселевы функции первого рода нулевого порядка с аргументом X (для первой основной частоты колебаний резонатора Х = 3,196) [6].
Выражения отдельных составляющих, входящих в формулу (4.11), определяются видом механического резонатора и представляются следующими равенствами:
для трубчатого резонатора
mo = —d(k —1) р0; 4
для круглопластинного резонатора |
для цилиндрического резонатора |
з |
*т(1+ 0,41 к2) |
Подстановка этих соотношений в формулу (4.11) дает окончательные выражения для определения отношения aQ/f: для трубчатого резонатора
где гвн — безразмерный коэффициент, характеризующий энергетические потери на внутреннее трение в материале резонатора; 6А и 6<р - относительные отклонения амплитуды и фазы колебаний резонатора от номинальных значений.
Выражения отдельных сомножителей, входящих в формулу (4.15), приведены в табл. 4.1.
Для расчета оптимальных геометрических параметров механических резонаторов по формуле (4.15) необходимо знать значения коэффициентов гвн и гм, характеризующих внутреннюю и внешнюю диссипации энергии. Коэффициент гвн =К0Е2 определяется лишь свойствами материала, из которого изготовлен резонатор, а коэффициент гм, связанный в основном с конструкционным гистерезисом, зависит от структуры и типа механического резонатора. Поэтому оба эти коэффициента должны определяться экспериментально для предварительно выбранного материала резонатора и его типа.
Таблица 4.1. Выражения сомножителей, входящих в формулу (4.15)
|