ВИБРАЦИОННЫЕ ПЛОТНОМЕРЫ

Градуировочная характеристика плотномера с цилиндрическим резонатором

Расчетная схема оболочкового резонатора показана на рис. 2.3, а. Тонкая цилиндрическая оболочка толщиной h0, высотой / и радиусом срединной поверхности а удерживается в положении, при котором срединная поверхность цилиндра концентрична несущему стержню ра­диуса Г. Оболочка помещена внутри цилиндрического резервуара с внутренней стенкой, удаленной от оси симметрии z на расстояние г2. Резервуар заполнен контролируемой жидкостью, причем торцы обо­лочки находятся на расстояниях hx и h2 соответственно от нижнего и верхнего днщц резервуара. Пунктирными линиями на схеме услов­но показана жесткая цилиндрическая стенка, не позволяющая жид­кости перетекать через торцы оболочки с одной ее поверхности на другую.

Деформирование оболочек существен­но отличается от деформирования пласти­нок, поскольку у оболочки уже до дефор­мации имеется кривизна ее срединной по­верхности, однако и в основе теории из­гиба оболочек лежат гипотезы Кирхгофа—

Лява [7]. Уравнения движения оболочки записывают в виде [7, 9]:

Дифференциальные операторы L при использовании уравнений тех­нической теории тонких оболочек, в которых толщина стенки h0 зна­чительно меньше радиуса а срединной поверхности, записываются равенствами [9],

В тонкой оболочке тангенциальные силы инерции qz и qg малы по сравнению с радиальной qr, и ими пренебрегают [7]. Тогда после вве­дения функции усилий N [9] с учетом рассеяния энергии в материале оболочки по способу Е. С. Сорокина уравнения движения примут вид

При выборе краевых условий, определяющихся способом закрепле­ния торцов оболочки, уместно использовать общепринятое разделе­ние цилиндров на короткие и длинные, для которых можно пре^ небречь взаимным влиянием краев [39]. Если отношение /[3(1 — - v2)l(ahо)2]0,25 > 3, то оболочка считается длинной и влияние крае­вых условий носит лишь местный характер, мало сказывающийся на частоте колебаний основного тона. Для облегчения расчетов восполь­зуемся краевыми условиями свободного опирания торцов цилиндра, поскольку для резонаторов, применяемых в вибрационных плотномеpax, приведенное выше отношение выполняется. Ошибка в результате расчета частоты колебаний не играет существенной роли, поскольку всегда для построения градуировочной характеристики плотномера

следует с высокой точностью экспериментально определять начальную частоту колебаний резонатора. При использовании системы (2.20) тангенциальные граничные условия должны быть выражены через функ­цию усилий N. Так, для свободно опертых торцов оболочки граничные условия можно записать в виде [9]

и, - 92 Wr, b2wr _ Э2N _ 32N _ п

ц/ = ------------ + v ------------ = --------- = = о.

bz2 bs2 bz2 bs2

При этих условиях в случае преимущественно нормальных форм колебаний системе (2.20) удовлетворяет решение:

(2.21)

В приведенных равенствах А и В — амплитудные значения функций Wr и N, параметр равен числу полуволн формы колебаний в про­дольном направлении, а к2 — числу волн в окружном направлении по­верхности оболочки. Для первой основной частоты, на которой рабо­тает резонатор, Kj =1, к2 -2 (см. рис. 2.3, б). Число узловых линий формы колебаний, параллельных образующей, равно 2 к2, а в окруж­ном направлении к і — 1, не считая опорных линий.

где т0 = p0h0 — масса оболочки, приходящаяся на единицу площади ее поверхности; р0 — плотность материала оболочки; гм — коэффи­циент механического демпфирования, определяющий трение в узлах закрепления резонатора: Я+р И Яр ~ распределенные нагрузки, дейст­вующие со стороны жидкости на наружную и внутреннюю поверхности оболочки соответственно и определяемые формулой (2.8); qN — нор­мальная реакция, обусловленная начальными усилиями в срединной поверхности оболочки, представляемая формулой [40

в которой Nz и N — усилия, действующие в осевом и окружном на­правлениях срединной поверхности оболочки, связанные, в частности, с перепадом давлений на ней.

Решение этого уравнения методом разделения переменных с учетом граничных условий (2.10) и (2.11), а также соотношения (2.8) позво­ляет получить формулу для определения значений распределенной на­грузки, в которую введены коэффициенты ki =hi/l; к2 ~Ь2Ц къ - =гг/а; &4 - г2/я; кн - Н/1 =1 +кх +к2 (см. рис. 2.3) :

p h (Xk *) .

J2 и Y2 — бесселевы функции первого и второго рода второго порядка; 12 и К2 — модифицированные бесселевы функции первого и второго рода второго порядка. Точками обозначены производные от бесселе­вых функций по радиусу г.

Подставим выражение (2.22) в первое уравнение системы (2.20) и будем искать ее решение в форме (2.21). Домножив обе части пер­вого уравнения на sin7rfcos20 с последующим двойным интегрирова­нием по f в пределах от 0 до 1 и по в в пределах от 0 до 2 7Г, получим следующие формулы для частоты и амплитуды автоколебаний цилин­дрического резонатора в жидкости:

где

а

кт = и А, = 1/а - относительные толщина и длина цилиндричес­кой оболочки; тпр — распределенная ’’присоединенная масса” жид­кости, увлекаемая резонатором в движение.

Статическая характеристика вибрационного плотномера с цилиндри­ческим оболочковым резонатором может быть записана в общеприня­том виде, если выразить ’’присоединенную массу” жидкости через от­носительную толщину ’’присоединенного слоя” снаружи и внутри К~р резонатора

тпр = раЩ - Кр),

где р — плотность среды, контактирующей с обеими^ поверхностями резонатора; а - радиус срединной поверхности цилиндра резонатора. Относительная толщина ’’присоединенного слоя” жидкости определя­ется нижеследующим выражением:

Кр = —— Ъ L2 I Л I, (2.24)

кН

где

1

L = / cos (? + &i) sin тг? d?,

О кн

а в выражении для 1 А 1

= і *4 Для К* ;

к з для К р.