ВИБРАЦИОННЫЕ ПЛОТНОМЕРЫ

Принцип действия вибрационного плотномера

В общем случае вибрационный плотномер может быть выполнен по схеме, показанной на рис. 1.1. Механический резонатор 1 в виде трубки, закрепленной по концам, приводится в режим незатухающих изгибных автоколебаний системой возбуждения, состоящей из при­емника 2, усилителя 3 и возбудителя колебаний 4. Частота установив­шихся автоколебаний, регистрируемая частотомером 5, определяется жесткостью и массой трубки. При протекании внутри трубки контроли­руемой жидкости частота автоколебаний будет зависеть как от собст­венной массы трубки, так и от массы жидкости, т. е. от ее плотности. Как известно, автоколебания могут существовать в замкнутой систе­ме у которой усиление по контуру превышает единицу, а суммарный фазовый сдвиг равен нулю или целому числу периодов. При использо­вании резонаторов с распределенными параметрами условие баланса фаз выполняется на нескольких различных частотах. В этом случае коэффициент усиления усилителя и его частотная характеристика долж­ны быть выбраны так, чтобы генерация была возможна только на од­ной из собственных частот.

Проанализируем работу первичного измерительного преобразова­теля, основываясь на представлении резонатора и системы возбужде-

ния его автоколебаний как взаимосвязанных элементов. Для этого заменим реальный механический резонатор с распределенными пара­метрами его эквивалентной схемой (рис. 1.2, а) и сосредоточенными эквивалентными параметрами: массой тэ, жесткостью Сэ и трением, характеризуемым коэффициентом гэ. Такая замена вполне допусти­ма в ограниченной области частот при соблюдении равенства собствен­ных частот колебаний обеих систем, а также равенства потерь энер­гии и обусловленных ими затуханий. Запишем систему уравнений, опи­сывающих движение резонатора в замкнутой системе возбуждения:

тэх + гэх +Fynp = F; F = £(*)>

где F — сила воздействия системы возбуждения на резонатор; D(x) — неизвестный оператор обратной связи, подлежащий определению; ^упр - упругая восстанавливающая сила резонатора, которая в общем случае может описываться нелинейной функцией; х — поперечное сме­щение эквивалентной массы.

Воспользуемся выражением кубической упругой характеристики резонатора [6]:

Fynp = Сэ* + 7*3,

в которой 7 — коэффициент, характеризующий отклонение реальной упругой характеристики от линейной.

Преобразуем записанную систему равенства к виду:

тэ х + гэх + Сэх = є;

е =F-F„;

FH = 7*3;

F =£>(*),

где FH — нелинейная составляющая упругой силы.

Рис. 1.2. Эквивалентная (а) и структурная (б) схемы вибрационного плотномера.

9

Структурная схема автоколебательной системы, работа которой характеризуется уравнениями (1.1) (см. рис. 1.2, б), включает в себя нелинейное звено, выполняющее функцию корректирующей обратной связи линейного резонатора, имеющего частотную характеристику

Wp (ісо) = (—тэ со2 + />э со + Сэ)”1.

Для решения задачи синтеза оптимальной системы возбуждения воспользуемся методом гармонической линеаризации [5]. Как прави­ло, механические резонаторы являются высокодобротными колеба­тельными системами, которые можно рассматривать как узкополос­ные фильтры с выходным сигналом вида х ^ A cos сот, где А - амплиту­да колебаний резонатора; со — частота колебаний, бЛизкая к резонанс­ной. Для корректирующего нелинейного элемента в этих условиях справедливо соотношение

FH = 7^3cos3 сот = 0J5yA3 cos сот + 0,25 уАъ cos 3 сот.

Пренебрегая третьей гармоникой, отфильтровывающейся линейной частью резонатора, запишем выражение частотной характеристики ли­неаризованного звена нелинейной упругости механического резонатора в виде

WH (/со) = 0,75 тЛ2.

Рассмотрим уравнение для первой гармоники колебаний линеаризо­ванной системы:

Xi = Wре,; є, = F, - FHl;

FhI = Kxi> Fi = D(iu)x

Для определения вида частотной характеристики D(ico), обеспечиваю­щей совместность этой системы, исключим промежуточные перемен­ные* прямой подстановкой их выражений через другие переменные. В результате получим:

DQco) = /Wp(i<J) + WH(ico) =

= - m3co2 + /гэ со + Сэ + 0,75 у А2, (1.2)

из которого определим смещение фазы, осуществляемое системой воз­буждения:

<р = arctg [г3 со/(-тэсо2 + Сэ + 0,75уА2)]. (1.3)

Нетрудно установить, что частота автоколебаний не будет зависеть от трения гэ при сдвиге фазы <р = я/2, когда

W2 =о>1= (С3 + 0,75 уА2)1тэ. (1.4)

При этом условии из (1.2) следует, что система возбуждения должна быть дифференцирующим звеном D(iсо) =/>э со, т. е.

(1.5)

Кроме того, из (1.5) следует, что частотная характеристика цепи об­ратной связи системы возбуждения должна быть пропорциональна коэффициенту трения гэ. Учитывая, что система возбуждения состоит из трех элементов, представим функцию D{iсо) в виде произведения трех сомножителей: D{iсо) = DnDyDB, характеризующих частотные характеристики приемника Z)n, усилителя Dy и возбудителя DB коле­баний. При этом если положить приемник в возбудитель соответствен­но дифференцирующим и усилительным звеньям Dn = Кп/со, DB = КВ, то для выполнения условия (1.5) усилитель должен иметь частотную характеристику

D у = гэ/КпКв,

согласно которой коэффициент усиления должен меняться вместе с изменением трения гэ. Звено с переменным коэффициентом усиления можно реализовать простейшей нелинейностью типа двухпозиционно­го реле, имеющей частотную характеристику по первой гармонике [5]:

Dy — 4U0/nABX,

где Лвх = КпсоЛ — амплитуда первой гармоники на входе усилителя; U0 — выходное напряжение усилителя, подаваемое на возбудитель колебаний.

Из (1.6) и (1.7) можно получить выражение для амплитуды уста­новившихся автоколебаний резонатора

А = 4U0KB lir

из которого следует, что она зависит от гэ и в соответствии с выраже­нием (1.4) будет влиять на частоту автоколебаний. Для устранения этого влияния можно стабилизировать амплитуду А варьированием напряжения U0 с помощью регулятора, стабилизирующего амплитуду входного сигнала Авх. поступающего с приемника колебаний. При этом частота автоколебаний определяется решением биквадратного уравне­ния, получаемого из (1.4) подстановкой А =АВХ/Кп со:

При выводе градуировочных характеристик первичных преобразо­вателей вибрационных плотномеров целесообразно сделать допуще­ние о линейности упругой восстанавливающей силы Fynp механичес­ких резонаторов, а влияние нелинейности учесть отдельно в виде так называемой погрешности неизохронности колебаний. С учетом сделан­ного допущения рассматриваемая автоколебательная система приводит­ся к эквивалентной схеме вынужденных колебаний механического резо­натора, имеющего частотную характеристику W^(ico) = (/>эо?)-1. Учитывая, что хх =FH/p (/со), получаем

F = х1/Wр (/со) = iAr3 cocos cor = iGcos cor, где

G =Агэ со = 4KBU0/n (1.10)

— амплитудное значение возбуждающей силы.

Полученные результаты дают возможность определить статические характеристики вибрационных плотномеров. При этом резонатор рас­сматривается как отдельно взятая линейная часть замкнутой автоко­лебательной системы и считается, что он находится в режиме вынуж­денного движения, возбуждаемого сосредоточенной силой Ge/cor с частотой со, равной собственной частоте колебаний резонатора и опреде­ляемой из условия баланса амплитуд и фаз линейной и нелинейной частей замкнутой системы. Фаза сосредоточенной возбуждающей силы должна опережать на 90° фазу смещения резонатора.

Для вибрационных плотномеров, выполненных на основе резона­торов с распределенными параметрами, автоколебательный режим движения может быть записан уравнениями в частных производных, общий вид которых соответствует равенству

L[W(x, y,z, т)] - q(x, у, z, т) = iF(х, у, z)el(^T, (1-11)

где L [W(x, у, z, г) ] — линейный дифференциальный оператор в част­ных производных: W(x, у, z, г) — динамическое перемещение точек резонатора; F (х, у, z) и со — амплитуда и круговая частота возбуж­дающей распределенной нагрузки; q (х, уу z, г) — распределенная на­грузка, действующая на резонатор.

Распределенная нагрузка включает в себя инерционные и диссипа­тивные составляющие, последние из которых, в свою очередь, опреде­ляются внешними и внутренними потерями энергии. Внешние потери обусловлены рассеянием энергии колебательной системы в окружаю­щую среду, а также в узлах конструкции первичного измерительного преобразователя (ПИП).

Демпфирующие свойства упругой системы характеризуют относи­тельным гистерезисом или эквивалентным коэффициентом поглоще­ния фэ [6, 37], под которым понимают отношение рассеянной за цикл колебаний энергии к амплитудному значению потенциальной энергии системы. Коэффициент поглощения связан с логарифмическим декре­ментом є и добротностью Q колебательной системы соотношением:

фэ = 2е = 2 я/2 = 2ясогэ/Сэ.

Внутренние потери обусловлены способностью материала погло­щать энергию на необратимые процессы при его циклическом дефор­мировании и объясняются пластическими деформациями, внутри- кристаллической диффузией, термоупругим эффектом и магнитоупру­гим гистерезисом для ферромагнитных материалов [50]. Экспери­ментальные исследования с различными материалами показывают, что рассеяние энергии при колебаниях для некоторого диапазона час­тот не зависит от частоты колебаний и зависит от амплитуды дефор­мации и температуры [14]. На рассеяние энергии в материале большое влияние оказывает его структура, обусловленная, в частности, термо­обработкой [37]. Как правило, отжиг повышает, а закалка понижает демпфирующие свойства сталей. Низкотемпературный отпуск сталей также способствует снижению рассеяния энергии, однако для ферро­магнитных сталей снижение демпфирующих свойств наблюдается при высокотемпературном отпуске. Исследования рассеяния энергии в угле­родистых сталях показывают, что мелкодисперсные структуры отли­чаются низким рассеянием по сравнению с крупнодисперсными. Демп­фирующие свойства материалов увеличиваются в результате предва­рительной пластической деформации, кроме того, эти свойства меня­ются во времени при циклических напряжениях [1, 37]. Многочис­ленность факторов, влияющих на рассеяние энергии в материалах, не позволяет теоретически давать количественную оценку этого явле­ния, что требует проведения экспериментальных исследований в каж­дом конкретном случае [37]. Следует отметить, что для металличес­ких конструкцій! большое значение имеет так называемый конструк­ционный гистерезис, во много раз превышающий потери на внутрен­нее трение и вызываемый трением в узлах и сочленениях деталей [6]. Как правило, рассчитать теоретически потери на гистерезис в реаль­ных конструкциях не представляется возможным, поэтому пользуют­ся статистическими данными по коэффициентам поглощения для уже осуществленных конструкций.

Известен ряд зависимостей для учета внутреннего трения в мате­риале. В литературе долгое время господствовала гипотеза Кельвина— Фойгта вязкого сопротивления внутреннего трения в твердых телах, по которой силы затухания пропорциональны скорости движения то­чек системы. Для эллиптической петли гистерезиса зависимость меж­ду напряжением о и относительной деформацией 8Х может быть зада­на в виде [6, 50]:

a =F(8X + мвид*х/дт), (1.13)

где fjiBH — коэффициент внутреннего трения.

В колебательных системах с распределенными параметрами силы внутреннего трения учитывают введением в уравнение движения вместо модуля упругости Е оператора F (1 + двнЭ/Эт) [14]. Коэффициент внутреннего трения /івн может быть выраэкен через коэффициент по­глощения ф при внутреннем трении формулой [10]:

МВн =О-14)

Существует формула [6], устанавливающая взаимосвязь между ло­гарифмическим декрементом є колебательной системы с распределен­ными параметрами и коэффициентами, характеризующими внешние и внутренние потери энергии:

є = я(2а0/шЛ + МВ11 W*), (1.15)

где а0 = гм/т - коэффициент затухания колебаний; гм - коэффи­циент механического демпфирования, определяющий потери энергии в узлах закрепления резонатора; т — распределенная масса резонато­ра; — частота колебаний, соответствующая к-й гармонике.

В настоящее время приобрела популярность комплексная гипоте­за Е. С. Сорокина, в соответствии с которой сила затухания зависит от деформации, во времени сдвинута по отношению к фазе дефор­мации на 90°, а по амплитудному значению пропорциональна упру­гой силе. Зависимость между напряжением и относительной деформа­цией предложена в виде о = Е8Х( 1 ± іф/2п) [14]. Для учета сил тре­ния в соответствии с этой гипотезой необходимо в уравнении колеба­ния системы вместо Е ввести комплексный модуль упругости Е (1 + + іф/2тт).

В соответствии с формулой (1.16) логарифмический декремент при внешнем трении уменьшается с ростом частоты колебаний системы. Поэтому в некоторых вибрационных преобразователях резонаторы при­водят в режим автоколебаний не на первой основной частоте, а на вто­рой или третьей гармониках.

Опыты показывают, что во многих случаях с достаточной точно­стью потери энергии А (У на внутреннее трение в резонаторе можно опре­делять по формуле [50]

AU = K Ш o3dV, (1.17)

V

где К0 - коэффициент, определяемый свойствами материала; V - объем резонатора.