Модель Ван Росбрука-Шокли
Модель Ван Росбрука-Шокли позволяет оценить скорость спонтанной излучательной рекомбинации в равновесных и неравновесных условиях. Для этого необходимо знать основные характеристики полупроводника, определяемые стандартными экспериментальными методами: ширину запрещенной зоны, коэффициент поглощения и показатель преломления.
Рассмотрим полупроводник, коэффициент поглощения которого a(v) определяется в единицах см-1. На рис. 3.1 показан фотон с частотой v, появившийся в процессе рекомбинации пары электрон-дырка, который был поглощен, пролетев расстояние a(v)~1. Очевидно, что среднее время до поглощения фотонов может быть найдено из выражения і
r(i/) = - ri—, (3.12)
a(v)vgr
где vgr — групповая скорость распространения фотонов внутри полупроводника: ,
_ du _ dv _ dv 1Са
Vgr dk d (1/А) C d (nv)'
Здесь n — показатель преломления полупроводника. Подставив выражение (3.13) в (3.12), получим
^ = a(i,).Vgr = a(v).c.1*L^. (3.14)
Это уравнение определяет обратное время жизни фотона или вероятность поглощения фотона за единицу времени. Произведение вероятности поглощения на плотность фотонов равно скорости поглощения фотонов в единичном объеме 0;
В равновесных условиях плотность фотонов в единице объема в среде с показателем преломления п находится по формуле Планка, описывающей спектр излучения абсолютно черного тела:
^(Л)^ = ^.^_[ДЛ. (3.15)
Из этого выражения можно вычислить величину N (v) dv, определяющую количество фотонов с частотами в диапазоне от v до v + dv. Поскольку А = с/ (п • v),
d = с d(n-v) dj/
(n - v) dv
место генерации фотона место поглощения фотона
. (рекомбинация пары (генерация пары
электрон-дырка) / электрон-дырка)
расстояние = а 1 время = (ai/gr)-1
Рис. 3.1. Время пролета фотона между его генерацией и поглощением,, а также расстояние, которое успевает пролететь фотон за это время
Подставляя это значение в уравнение (3.15), получаем распределение фотонов в виде функции от частоты:
(3.17)
Скорость поглощения фотонов с частотами в диапазоне от v до v + dv в единице объема равна плотности фотонов, деленной на среднее время жизни фотонов:
7} / N (и) &irv2-r? d(n-v) 1 , ч dv 1Q4
Ro(v) = —-Ьг =-------- 5-------- Ц—-• . аМ-с - .. (3.18)
т(г/) с dv ehv/kT _ j v ; d(n-v)
Интегрируя это выражение во всем диапазоне частот, находим скорость поглощения фотонов в единице, объема:
ОО
|
Ro |
|
<3!9> |
|
Ro (г/) dv = |
|
Эта формула называется уравнением Ван Росбрука-Шокли. Выражение (3.19) можно упростить, записав коэффициент поглощения в виде а = а0 ■ yj{E - Eg)/Ед. (3.20) Такой вид формулы (3.20) объясняется пропорциональностью между коэффициентом поглощения и плотностью энергетических уровней, что в свою очередь ведет к корневой зависимости коэффициента а от энергии; ао является коэффициентом поглощения при hv = 2Eg. В табл. 3.1 приведены приблизительные значения ао для нескольких типов полупроводников, рассчитанные по известным значениям ширины запрещенной зоны, коэффициента поглощения и показателя преломления. Время жизни неосновных носителей при спонтанной излучательной рекомбинации определялось по формуле В~1 • N^lA при концентрации основных носителей 1018 см-3. |
,.2 ^2
|
Таблица 3.1. Коэффициенты бимолекулярной рекомбинации при 300 К
|
Уравнение Ван Росбрука-Шокли можно упростить, если пренебречь зависимостью показателя преломления от частоты и использовать значение показателя преломления на краю запрещенной зоны:
ОО
*> = (ж)’ I <321>
Хд
Здесь х = hvj (kT) = Е/(кТ), хд = Ед/ (кТ). Поскольку с увеличением х экспоненциальная функция резко возрастает, вклад в интеграл вносит только узкая область энергий вблизи края запрещенной зоны. У этого интеграла нет простого аналитического решения, его величину можно оценить численными методами.
В равновесных условиях скорость генерации носителей (скорость поглощения фотонов) равна скорости их рекомбинации (скорости излучения фотонов). Поэтому модель Ван Росбрука-Шокли дает возможность оценить только равновесную скорость рекомбинации. В предыдущих главах было показано, что из уравнения скорости бимолекулярной рекомбинации можно найти число актов рекомбинации в единице объема за единицу времени, происходящих в равновесных и неравновесных условиях:
R = B-n-p. (3.22)
Теперь покажем, как по модели Ван Росбрука-Шокли можно определить значение коэффициента бимолекулярной рекомбинации В. В равновесных условиях справедливо соотношение R — R^ = В ■ п, из которого и находится величина коэффициента В:
В = Щ. (3.23)
щ
В табл. 3.1 приведены значения коэффициентов бимолекулярной рекомбинации, рассчитанные для разных полупроводников по уравнениям (3.21) и (3.23). Все характеристики материалов, использованные в расчетах, также представлены в ней. Из этих данных видно, что для прямозонных полупроводников типа AinBv значения коэффициентов рекомбинации лежат в диапазоне 10-9-10-11см3/с. При этом расчетные результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными. Непрямозонные полупроводники — GaP, кремний, германий и др. обладают значительно меньшими коэффициентами бимолекулярной рекомбинации.
Существуют и другие способы расчета значений коэффициента В:
— метод Холла (Hall, 1960);
— метод Гарбузова (Garbuzov, 1982) 0.
В первом методе используется двухзонная модель:
/ * * —3/2
В = 5,8 х 10-13 см3 • с-1 • (— + —^ х
те meJ
*('+=i+SН™Г (&)'■* ^
где то* — эффективная масса электрона, m*h — эффективная масса дырки, тое — масса свободного электрона. Метод Гарбузова основан на простых квантово-механических расчетах для прямозонных полупроводников:
В = 3,0 х 10“10 см3 • с-1 • (^)3/2 • (у||в)2 • (3.25)
Все описанные способы позволяют получать приблизительно одинаковые значения коэффициентов В. Например, для GaAs коэффициенты В, рассчитанные для температуры 300 К по формулам (3.21) и (3.23)-(3.25), приблизительно равны Ю-10 см3/с.
