Социально-экономическая статистика

Метод усреднения по левой и правой половинам

По этому методу разделяют ряд динамики на две части, находят для каждой среднее арифметическое значение и проводят через полученные точки ли­нию тренда на графике.

Метод укрупнения интервалов. Если рассматривать уровни эко­номических показателей за короткие промежутки времени, то в силу влияния различных факторов, действующих в разных направлениях, в рядах динамики наблюдаются снижение и повышение этих уров­ней, что мешает видеть основную тенденцию развития изучаемого явления. Поэтому для наглядного представления тренда применяется метод укрупнения интервалов, основанный на укрупнении перио­дов времени, к которым относятся уровни ряда. Например, ряд еже­суточного выпуска продукции заменяется рядом недельного или месячного выпуска продукции.

Метод простой скользящей средней. Сглаживание ряда динамики с помощью скользящей средней заключается в том, что вычисляется средний уровень из определенного числа первых по порядку уров­ней ряда, затем — средний уровень из такого же числа уровней, начиная со второго, далее — начиная с третьего и т. д. Таким образом, при расчетах среднего уровня как бы «скользя» по ряду динамики от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень вначале и добавляя один следующий. Отсюда название — скользящая средняя.

Каждое звено скользящей средней — это средний уровень за соответствующий период, который относится к середине выбранно­го периода.

Для каждого конкретного ряда динамики (>’h >’1,уп) алгоритм расчета скользящей средней заключается в следующем.

1. Определяется интервал сглаживания, т. е. число входящих в него уровней т (т< и), используя правило: если необходимо сгла­дить мелкие, беспорядочные колебания, то интервал сглаживания бе­рут по возможности большим и, наоборот, интервал сглаживания уменьшают, когда нужно сохранить более мелкие волны и освобо­диться от периодически повторяющихся колебаний, возникающих, на­пример, из-за автокорреляции уровней.

2. Рассчитывается среднее значение уровней, образующих интер­вал сглаживания, которое одновременно является сглаживающим зна­чением уровня, находящегося в центре интервала сглаживания, при условии, что т — нечетное число, по одной из формул:

/ + р ( + р

X у ‘ X у ‘

у, ='~‘~р■■ ; у, = ‘-‘~р— ’

т т

где у, — фактическое значение г-го уровня;

т — число уровней, входящих в интервал сглаживания (т = 2р+ 1);

і — порядковый номер уровня в интервале сглаживания;

р — при нечетном т :р = (т — 1): 2.

Определение скользящей средней по четному числу членов ряда динамики несколько сложнее, так как средняя может быть отнесена только к середине между двумя датами, находящимися в середине интервала сглаживания.

3. Интервал сглаживания сдвигается на одну точку вправо, по­том рассчитывается по той же формуле сглаженное значение для t + 1 члена, снова проводится сдвиг и т. д. В результате последова­тельного применения приведенной итеративной процедуры полу­чится п — (т — 1) новых сглаженных уровней.

Первый и последние р членов ряда с помощью данного алгорит­ма сгладить нельзя, поэтому их значения теряются.

Для отображения основной тенденции развития явлений во вре­мени применяются различные уравнения, полиномы разной степе­ни, экспоненты, логистические кривые и другие функции.

Полиномы имеют следующий вид:

• ПОЛИНОМ первой степени у, = й0 + й| Г,

• полином второй степени у, = й0 + Д, t + й2

• полином третьей степени у, = я0 + й[ г + а2 г2 + а3 /3;

• полином п-й степени у, = а0 + а{ t+ a2t2 +...+ ап Р.

Предполагаемой функцией, отражающей процесс роста явления,

может быть и экспонента:

У/ = ао а и™ У/ = йо (ai) b't+b2>’

где а0, а{, а2, ап — параметры полиномов;

t — условное обозначение времени.

В статистической практике параметры полиномов невысокой сте­пени иногда имеют конкретную интерпретацию характеристик дина­мического ряда. Так, параметр а{] трактуется как характеристика сред­них условий ряда динамики, параметры ах а2,а3 — изменение ускорения.

Выработано правило выбора степени полинома модели развития, основанное на определении величин конечных разностей уровней динамических рядов. Согласно этому правилу полином первой степе­ни (прямая) применяется как модель такого ряда динамики, у кото­рого первые разности (абсолютные приросты) примерно одинаковы; полиномы второй степени — для отражения ряда динамики с при­мерно одинаковыми вторыми разностями (ускорениями); полиномы третьей степени с примерно одинаковыми третьими разностями и т д.

Для полиномиальных моделей характерно отсутствие прямой связи между абсолютными приростами и приростами уровней рядов дина­мики.

В статистической практике обычно используют следующие фун­кции:

• линейную;

• параболическую;

• степенную;

• экспоненциальную простую (показательную) и производную от нее — логарифмическую линейную;

• сложную экспоненциальную и производную от нее — лога­рифмическую параболу;

• гиперболическую (главным образом для убывающих процессов);

• комбинацию их видов.

Для моделирования динамических рядов, проявляющих быстрое развитие в начале ряда и затухающее развитие к концу, т. е. тех рядов, которые характеризуются стремлением к некоторой предель­ной величине, применяются логистические функции. Логистичес­кую функцию часто записывают в следующем виде:

N - N 1 +а0е~а'г ‘ +а$-е~а''

где N — предельное значение функции;

е — основание натурального логарифма;

а0 и а{ — расчетные параметры функции.