Социально-экономическая статистика

Показатели вариации

Средние величины не дают исчерпывающей характеристики ста­тистической совокупности. Разные совокупности могут иметь оди­наковые средние. Поэтому необходимо дополнительно измерить степень колеблемости признака. Колеблемость, многообразие, изме­няемость величины признака у единиц совокупности называются ва­риацией.

Измерение вариации в статистике имеет важное значение, по­скольку дает возможность оценить степень воздействия на данный признак других варьирующих признаков, установить, например, какие факторы и в какой степени влияют на доходы населения, урожайность пшеницы и т. п. Определение вариации необходимо при организации выборочного наблюдения, построении статисти­ческих моделей, разработке материалов опросов и во многих дру­гих случаях.

Вариация существует в пространстве и во времени. Под вариаци­ей в пространстве понимается колеблемость значений признака по отдельным территориям. Например, плотность населения по регио­нам России в 1998 г. колебалась от 0,02 чел. на Таймыре до 326 чел. в Московской области.

Объективно существует также вариация во времени. Под ней под­разумевают изменение значений признака в различные периоды (или моменты) времени. Так, со временем изменяются урожайность сель­скохозяйственных культур, поголовье скота и т. д.

По степени вариации можно судить о многих сторонах процесса развития изучаемых явлений, в частности об однородности сово­купности, устойчивости индивидуальных значений признака, ти­пично средней, о взаимосвязи между признаками одного и того же явления или между признаками разных явлений. Статистические по­казатели, характеризующие вариацию, широко применяются в прак­тике, например для контроля за ходом производственных процессов, устойчивости урожайности сельскохозяйственных культур тех или иных сортов или одного и того же сорта в определенных почвенно­
климатических условиях. На основе показателей вариации в стати­стике разрабатываются другие показатели — тесноты связи между явлениями и их признаками, оценки точности выборочного на­блюдения.

Показатели вариации делятся на абсолютные и относительные. К абсолютным относятся размах вариации, среднее линейное откло­нение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Относи­тельные показатели вычисляются как отношение абсолютных пока­зателей вариаций к средней арифметической (или медиане). Относительными показателями являются коэффициенты осцилля­ции, вариации, относительное линейное отклонение.

Размах вариации (R) показывает, насколько велико различие меж­ду единицами совокупности, имеющими минимальное и максималь­ное значения признака. Его рассчитывают как разность между наи­большим (Агтах) и наименьшим (у*Гтт) значениями варьирующего признака, т. е. R = Хтлх - Xmin

Однако данный показатель имеет существенный недостаток. Его величина всецело зависит от крайних значений признака, он не учитывает всех изменений варьирующего признака в пределах сово­купности. Поэтому в изучении вариации нельзя ограничиться опре­делением одного лишь ее размаха.

Недостатком размаха вариации является и то, что он зависит от аномальных явлений. Поэтому следует очистить совокупность от аномальных наблюдений, прежде чем определить величину размаха вариации.

Другим показателем вариации служит среднее линейное отклоне­ние (}). Оно вычисляется как средняя арифметическая из абсолют­ных значений отклонений jc( от х (взвешенная или простая в зависи­мости от исходных условий) по следующим формулам:

У, |.yf - —х

1Х =—------ (простое среднее линейное отклонение),

п

1. x =—yv (взвешенное среднее линейное отклонение).

/ J І

Поскольку сумма отклонений значений признака от средней ве­личины равна нулю, необходимо все отклонения брать по модулю, на что указывают вертикальные линии в числителе формул.

Среднее линейное отклонение дает обобщенную характеристику степени колеблемости признаков совокупности. Однако чаще всего в статистической практике используют дисперсию (а2) и среднее квадратическое отклонение (о).

Данные показатели нашли также свое широкое применение в международной практике учета и статистического анализа, в част­ности в системе национального счетоводства.

Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений ин­дивидуальных значений признака от их средней величины и вычис­ляется по формулам простой и взвешенной дисперсий (в зависимо­сти от исходных данных):

У(х-хУ a2 —L. (простая дисперсия),

П

У(х --*)•/ о2= - - Л--—- (взвешенная дисперсия).

/ Ji

Дисперсия есть средняя величина квадратов отклонений. Если извлечь из дисперсии корень второй степени, то получится среднее квадратическое отклонение (а):

oJZh-y

а= izfc-*)•//

1 I/, '

Среднее квадратическое отклонение — это обобщающая харак­теристика размеров вариации признака в совокупности. Оно выра­жается в тех же единицах измерения, что и признак (в метрах, тоннах, рублях, процентах и т. д.).

Расчет дисперсии и среднего квадратического отклонения может быть упрощен следующим образом:

п п п п п

=72-х2.

Это означает, что дисперсия признака равна разности между сред­ней из квадратов признака и квадратом его средней величины.

Между средним линейным и средним квадратическим отклоне­ниями существует следующее примерное соотношение:} = 0,8 • ст, если фактическое распределение близко к нормальному.

Среднеквадратическое отклонение (а) всегда больше среднего линейного отклонения (£).

Среднеквадратическое отклонение играет важную роль в анали­зе рядов распределения. В условиях нормального распределения су­ществует следующая зависимость между величиной среднего квад­ратического отклонения и количеством наблюдений:

• в пределах х± 1а располагается 0,683, или 68,3% количества наблюдений;

• в пределах х ± 2о — 0,954, или 95,4% количества наблюдений;

• в пределах х ± За — 0,997, или 99,7% количества наблюдений.

В действительности на практике почти не встречаются отклонения,

которые превышают ± Зс. Отклонение За может считаться максималь­но возможным. Это положение называют правилом трех сигм.

При расчете относительных показателей вариации базой для срав­нения служит средняя арифметическая. Эти показатели вычисляют­ся как отношение размаха среднелинейного отклонения или средне­квадратического отклонения к средней арифметической. Чаще всего они выражаются в процентах или относительных величинах и опре­деляют не только сравнительную оценку вариации, но и дают ха­рактеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 0,3, или 30% (для распределений, близких к нормальному). Различают сле­дующие относительные показатели вариации (V):

коэффициент осцилляции (VR)

Коси =4-100%;

.Г

линейный коэффициент вариации (Vd):

к;шнаар=4юо%;

х

коэффициент вариации Квар: квар=|іоо%.

Например, имеются следующие данные об урожайности и по­севных площадях зерновых культур.

Рассчитаем относительные и абсолютные показатели вариации:

1) х= ^ J ~J = 3424:200 = 17,12 ;

и

2) Л =*,-*. =24- 10= 14; К = 14 ; 17,12 = 0,8177;

7 jc шах nun ’ осц * ’ ’

- УЬ

3) 'і.-1 =461,36:200 = 2,3068; Клинвар = 2,3068:17,12= 0,1347;

/ . //

4) о,2 = Ї2 - (х)2 = 60512 :200 -17,122 = 302,56 - 293,09 = 9,45 ;

5) ах = V<М5 = 3,082; Кмр = 3,082:17,12 = 0,18 .

Это означает, что данная совокупность является однородной. Следует подчеркнуть, что коэффициент осцилляции по своей вели­чине может быть больше единицы. Что касается линейного коэф­фициента вариации и коэффициента вариации, то они всегда мень­ше единицы.

Помимо количественных признаков могут быть альтернативные (признаки, которыми обладают одни единицы совокупности и не обладают другие). Примером таких признаков являются наличие бракованной продукции, ученая степень у преподавателя вуза, пол и национальность населения. Вариация альтернативного признака количественно проявляется в значении «ноль» у единиц, которые этим признаком не обладают, или 1 у тех, которые данный признак имеют.

Пусть р — доля единиц в совокупности, обладающих данным признаком; q — доля единиц, не обладающих данным признаком, причем р + q= 1. Альтернативный признак принимает всего два зна­чения — 0 и 1 с весами соответственно q и р. Исчислим среднее значение альтернативного признака по формуле средней арифмети­ческой;

_ p+Qq х - -=р.

Р + Я

Дисперсия альтернативного признака определяется по формуле

2 (l-pf Р + (0-pfq д2р + р2д

Р ”, ~ Рч*

Р + Я Р + Я

Таким образом, дисперсия альтернативного признака равна про­изведению доли на дополняющее эту долю до единицы число. Ко­рень квадратный из этого показателя, т. е. Jpq, соответствует сред­неквадратическому отклонению альтернативного признака. Предельное значение дисперсии альтернативного признака равно 0,25 при puq, равных 0,5.

Показатели вариации альтернативных признаков широко исполь­зуются в статистике, в частности при проектировании выборочного наблюдения, обработке данных социологических обследований, ста­тистическом контроле качества продукции.

Например, из 80 сельхозпредприятий 24 имеют собственные мо­локоперерабатывающие заводы. В этом случае дисперсия и средне­квадратическое отклонение рассчитываются следующим образом:

р = 24: 80 = 0,3; q— (80 - 24): 80 = 0,7;

а2 = м = о, з • 0,7 = 0,21; о* = Д2І = 0,452.

Если изучаемая совокупность состоит из нескольких групп, об­разованных на основе какого-либо признака, то помимо показате­лей общей вариации (общая дисперсия) определяют также вариа­цию признака под влиянием группировочного фактора (межгрупповая дисперсия о2) и вариацию признака под влиянием всех остальных факторов (внутригрупповые дисперсии а2).

Общая дисперсия ах2 измеряет вариацию признака во всей сово­купности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию:

о? =

Межгрупповая дисперсия (62х) характеризует различие в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака-факто­ра, положенного в основание группировки. Она рассчитывается по формуле:

где xt и и, соответственно групповые средние и частоты по отдель­ным группам;

б2х— межгрупповая дисперсия (дельта квадрат).

Внутригрупповая дисперсия (5,2) отражает случайную вариацию, происходящую под влиянием остальных факторов и независящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она исчисляется следующим образом:

£(*,-3?,)7,

X/* '

где ft — внутригрупповые частоты.

Существует закон, связывающий три вида дисперсии. Общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгруппо - вой дисперсий:

Средняя из внутригрупповых дисперсий ( о? ) определяется по формуле

Закон сложения дисперсий широко применяется при исчисле­нии показателей тесноты связи, в дисперсионном анализе, при оценке точности типической выборки и в ряде других случаев.

Доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии носит название эмпирического коэффициента детерминации (л2 — эта квадрат):

Этот коэффициент показывает долю, обусловленную вариацией группировочного признака, в общей вариации изучаемого призна­
ка. Корень квадратный из эмпирического коэффициента детерми­нации носит название эмпирического корреляционного отношения (ті):

Оно характеризует влияние признака, положенного в основание группировки, на вариацию результативного признака. Эмпирическое корреляционное отношение изменяется в пределах 0— 1. Если її = 0, то результативный признак изменяется только в зависимости от признака, положенного в основание группировки, а влияние про­чих факторных признаков равно нулю. Промежуточные значения оцениваются в зависимости от их близости к предельным значениям.