ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ СВАРНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
ПЕРЕХОД К КОНТУРНОМУ J-ИНТЕГРАЛУ
В конструкциях дефекты могут иметь сложную форму. Кроме того, форма дефектных узлов конструкции может быть самой разнообразной. Поэтому для дефекта в конструкции действующее значение J-интеграла чаще всего находится на основе численных решений упругопластической задачи. В этом случае он вычисля - а ется как контурный интеграл по
|
Рис. 6.53 Контур интегрирования у вершины трещины и направления интегрирования по оси у |
произвольному контуру S, включающему вершину трещины и связанную с ней пластическую зону, как показано на рис. 6.53а.
|
|
|
(V) |
|
|
|
(S) |
|
(6.127) |
|
|
|
Считается, что нагрузка (, приложенная к контуру, не меняется при росте трещины. Этот интеграл берется в неподвижной системе координат х, у, показанной на рис. 6.53а. Второй интеграл берется по объему, |
В основе определения контурного интеграла лежит выражение (6.121), связывающее J с механическим потенциалом П. Перенося дифференцирование под знак интеграла, получим
заключенному внутри контура S, по которому берется первый интеграл.
Но поле напряжений и перемещений у вершины трещины описывается в подвижной системе координат X, Y, центр которой расположен в вершине трещины. Поле усилий q остается постоянным только в подвижной системе координат.
Связь подвижной системы координат с неподвижной системой дается формулами:
X = x - l; Y = y, откуда можно вычислить производные:
X = _ 0; dl, ;
it=+1,o;
dx
(6.128)
|
d dl |
|
d ' dl |
|
d dl |
|
d dX |
|
d dl |
|
d dx' |
|
d dX dX dl |
Используем оператор последней строки формул (6.128) для дифференцирования по длине трещины в формуле (6.127):
|
1 • |
f q ■4й • ds - . dV 1 |
-1. |
fa •4u • ds - • dV |
|
t |
J 4 4l j 4l (S) (V) |
t |
1 x 4 x 4 q I |
|
. (6.129) |
Докажем, что первая квадратная скобка в этом выражении равна нулю.
Если тело находится в равновесии, то согласно принципу возможных перемещений вариация механического потенциала 8П на возможных перемещениях равна нулю:
|
(6.130) |
8П = J 8w ■ dV - J q -8й ■ ds = 0,
|
(S) |
(V)
где 8w и 8й — вариации удельной энергии и вариации перемещений, которые могут быть заданы произвольно, но должны быть связаны друг с другом уравнениями теории упругости или теории пластичности (уравнения сплошности, равновесия, связи между деформациями и напряжениями, и т. п.). В частности, можно назначить:
8w =^W,§l; dl
8й = du -8l.
dl
Если эти значения вариаций подставить в уравнение (6.130) и сократить его на 81, то левая его часть не будет отличаться от первой скобки формулы (6.129). Следовательно, для тела, находящегося в равновесии:
|
|
(6.131)
Остается преобразовать первый интеграл, взятый по объему, в контурный:
|
|
(6.132)
|
|
Последнее равенство в (6.132) ясно из рис. 6.53б. Точки, в которых вычисляются w(xj) и w(x2), лежат на контуре. При увеличении у от ушіп до ушах в процессе интегрирования по у, точка х2 будет перемещаться по правой стороне контура против часовой стрелки, а точка х1 — по левой по часовой стрелке. Знак «минус» в контурном интеграле появится в связи с изменением угла между направлениями dy и ds при переходе контурного интеграла из одной половины контура в другую.
|
|
Остается только подставить последнее выражение (6.132) в (6.131). Тогда при единичной толщине получим:
(6.133)
Если получено распределение напряжений, деформаций и перемещений по сетке конечных элементов и намечен наиболее удобный для вычисления интеграла контур S вокруг вершины трещины, то используя формулу (6.133), нетрудно написать алгоритм для вычисления J-интеграла.
Условие прочности (отсутствие старта трещины) проверяют по формуле:
|
J < Jc, |
(6.134)
где Jc — вязкость разрушения этого материала, полученная экспериментально по ГОСТ 25.506-85.
