ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ СВАРНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
ВНУТРЕННЕЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ ОТВЕРСТИЕ
Задача решается в той же системе эллиптических координат (3.4). Но контур выточки описывается уравнением:
|
(3.19) |
и = и0 = const.
На рис. 3.9 показана бесконечная пластина с отверстием, контур которого описывается эллиптической координатой и0 = л/16. Растягивающие усилия Px вызывают в сечениях, удаленных от выточки, равномерно распределенные напряжения ax = p.
Острота концентратора (t/р) связана с координатой и0 формулой
— = cth2(u0). (3.20)
Р
|
|
На основании формулы (3.20) гиперболические функции, описывающие контур выточки, это:
(3.21)
|
Рис. 3.9 Мелкая эллиптическая выточка: и0 = я/16; t = ch(u0) |
Если полуширина пластины b » t, и толщина ее d, то параметр p можно определять по формуле
Р = 2■ (b-t)• d • (3.22)
Функция напряжений для бесконечной растянутой пластины с эллиптическим отверстием имеет вид:
|
(3.23) |
F = ^-{1 + ch(2и) + 2A ■ и + C ■ e и • sh(и) + [-ch(2u) -1 + 8
+ 2B ■ e~2и + 2C ■ еи ■ sh(^] ■ cos(2u)},
где постоянные интегрирования, определенные из граничных условий:
A = -1 - ch(2u0);
|
B = - |
Є2и0 3 е4и0
Т" + 4
4 ’ (3.24)
C = 1 + е2и0.
Для распределения напряжений у Нейбера есть только две формулы:
(3.25)
(о„ )и-и0 = ' [sh(2uo) -1 - е2и0 • cos(2u)];
|
p ch(2u) |
|
eu° ,2u |
|
(e2u° - 3) ■ |
|
(°v )v =я/2 = Р + |
|
1 + |
|
к=- |
|
-1 + 2 |
|
(3.27) |
|
к/2 ґ 2 sh2(u) le2 (3.26) Формула (3.25) позволяет вычислить напряжение, которое растягивает контур выточки рис. 3.9 (u = u0) в любой его точке (0 < v < л/2). Формула (3.26) дает распределение максимальных нормальных напряжений в минимальном сечении (v = ±л/2; x = 0; °v = °x = °1). Обе формулы позволяют определить коэффициент концентрации напряжений: К )v-л/2; u-U0 |
|
+ ch(u0) ■ cth(u) |
|
■я. |
|
cth(u) |
|
Рис. 3.10 Зависимость коэффициента концентрации напряжений от остроты мелкой внутренней выточки |
Эта формула очень проста, и ее следует помнить для оперативной приближенной оценки коэффициентов концентрации напряжений у дефектов сварных соединений.
На рис. 3.10 эта формула представлена в виде графика. Сопоставляя его с рис. 3.7, можно видеть, что с увеличением t/p коэффициент концентрации напряжений растет быстрее, чем у внешней выточки.
Кроме того, полезно запомнить, что для круглого (t = p) отверстия любого радиуса в большой (b » p) детали при растяжении из формулы (3.27) следует, что k0 = 3.
Но формулы для напряжений au Нейбер не приводит. Однако путем дифференцирования функции напряжений (3.23) в соответствии с формулами (3.11) можно получить для минимального сечения (x = 0) следующие выражения:
|
х3 +х |
(ф2 - ф-3)н------ н 1
ф
(3.28)
вц = Р ■А -[-х3 +Х'(ф2 +Ф + 1)-ф2 - ф],
где:
|
фЧі, |
|
ф |
А = -
(ф-1) .(ф2-1)>
|
(3.29) |
|
Ц -1 |
|
У1 = |
|
Х = |
|
Тц2 |
|
+ Ф2 -(2ц1 +1) |
|
Ц1 +ф2 |
|
у края эллиптического отверстия с t/p = 5 при растяжении |
|
Рис. 3.12 Распределение жесткости напряженного состояния в минимальном сечении у эллиптического отверстия при растяжении |
Как видно из последней формулы, у1 отличается от координаты у рис. 3.9 тем, что она отсчитывается от контура отверстия в минимальном сечении вглубь материала и отнесена к радиусу кривизны эллипса в минимальном сечении.
Распределение напряжений в минимальном сечении у эллиптического отверстия остротой t/p = 25 при растяжении пластины в направлении оси x показано на рис. 3.11.
Общий характер эпюр напряжений ax, ау, az и стг аналогичен характеру эпюр, приведенному на рис. 3.6. Но коэффициент концентрации напряжений существенно больше.
Заметим, что жесткость напряженного состояния достигает максимума на расстоянии примерно 3р от поверхности отверстия. Наиболее жесткое состояние материала всегда находится под поверхностью надреза, и в этом месте обычно зарождаются хрупкие трещины.
На рис. 3.12 зависимость жесткости напряженного состояния от координаты показана в более широком интервале изменения координаты y1.
Видно, что при у1 > 3р жесткость напряженного состояния Г| уменьшается. На расстоянии 50р = 2t от края отверстия г| уже мало отличается от ее предельного значения 1,125. Поэтому можно утверждать, что возмущение напряжений в растянутой пластине практически полностью затухает на расстоянии размера (2t) этого отверстия от его края.
