ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ СВАРНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
ВЫЧИСЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ НА НАКЛОННОЙ ПЛОЩАДКЕ
|
На рис. 2.2 показана призма, расположенная в начале системы координат (хь ух, z^, полученная путем рассечения параллелепипеда с малыми ребрами dx^ dyx, dz1 наклонной плоскостью на две части. Из рисунка видно, что вертикальные грани x1, z1 и горизонтальная грань у1 имеют площади: |
|
dyi • dzi |
|
dF — dz1 dFy1 — 2 |
|
dxi |
|
dx1 dFzi ——1 |
|
dyi |
|
dFxi — |
|
(2.6) |
|
Рис. 2.2 Схема внутренних сил на наклонной площадке |
Будем считать, что на этих гранях уже заданы значения всех напряжений: Cxixi, Cxiyi, axizi на площадке площадью dFxi. ^yixi, Gyiyi, CTyizi на площадке плотттадью dFyi. Czixi, Cziyi, ^zizi на площадке площадью dFzi. Чтобы не затемнять рисунок, эти напряжения не показаны. (Однако если возникают малейшие сомнения, то их следует самостоятельно нарисовать в центрах перечисленных граней в виде векторов, идущих от центра соответствующей площадки.)
Ввиду малости размеров призмы, напряжения на ее гранях можно считать распределенными равномерно.
В центре наклонной грани призмы расположена система декартовых координат (x2, У2, z2), причем оси У2 и z2 лежат в плоскости этой грани, а ось x2 нормальна к ней. Следовательно, на-
ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
клонное сечение можно назвать x2. Площадь этой грани dFx2 можно легко вычислить, если учесть, что dFx1 является проекцией dFx2 на вертикальную плоскость:
,,, dFx1
dFx2 - 0OS(X,- Х2)• (2'7>
Требуется найти напряжения ox2x2, ox2y2, ox2z2, действующие на наклонной площадке dFx2.
Сначала целесообразно вычислить усилия, показанные на рис. 2.2 светлыми векторами. Из уравнений равновесия получим:
|
Nxi- |
Gxlxl |
* dFx1 + CTyixl |
* dFyi + Ozlxl |
* dFzi, |
|
|
Nyi- |
= Oxlyl |
* dFx1 + CTylyl |
* dFy1 + °ziy1 |
* dFzi, |
(2.8) |
|
Nzi - |
~ ®xlzl * |
dFx1 + CTylzl * |
dFy1 + °zizi * |
dFzi. |
Далее полученные усилия нужно спроектировать на оси координат (x2, y2, z2) и вычислить усилия Nx2, Ny2, Nz2 как суммы соответствующих проекций. Поделив эти усилия на площадь наклонной площадки dFx2, получим искомые напряжения. Но в этих вычислениях будет фигурировать много косинусов различных углов между координатными осями. Для сокращения целесообразно ввести сокращенные обозначения этих косинусов:
|
оси |
Xl |
У1 |
2i |
|
X2 |
h |
mi |
|
|
У 2 |
12 |
m2 |
^2 |
|
Z2 |
h |
тз |
tt3 |
С учетом этих обозначений можно записать:
Nx2 = Nx1 ' l1 + Ny1 ' m1 + Nzi ' n1,
Ny2 = Nx1 ' l2 + Ny1 ' m2 + Nz1 ' n2, (2.9)
Nz2 = Nx1 ' l3 + Ny1 ' m3 + Nz1 ' n3.
Перейдем к напряжениям. Для этого силы N;, действующие на площадке x2, нужно поделить на площадь этой площадки dFx2. Кроме того, для сокращения формул сразу учтем, что:
(Fk. - г (Fk _ m (fk _ n
dFx2 ^ dFx2 1, dFx2 Щ.
Если подставить значения сил из (2.8) в (2.9) и поделить на dFx2, выражения для напряжений примут вид:
ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
^x2x2 ЛТ1 (°x1x1 * ^1 ^y1x1 * m1 +®z1x1 * n)*11 ^
dFx2 y
+ (cx1y1 *1 + cy1y1 ,m1 + cz1y1 *n1) *m1 + (cx1z1 *1 + cy1z1 ' m1 + cz1z1 *n1)*n1;
_ Ny2 _
^ x2y2 _ лт? _ (Cx1x1 * ^1 ^ ^y1x1 * m1 ^ ^z1x1 * n1) * ^2 ^ dFx2
+ (cx1y1 * ^1 + cy1y1 * m1 + cz1y1 * n1) * m2 + (cx1z1 * ^1 + cy1z1 * m1 + cz1z1 * n1) * n2;
^ x2x2 _ лті _ (^x1x1 * ^1 ^ ^«1x1 * m1 ^ ^z1x1 * n1) * ^3 ^ dFx2
+ (cx1y1 *1 + cy1y1 *m1 + cz1y1 *n1) *m3 + (cx1z1 *1 + cy1z1 ' m1 + cz1z1 *n1)*n3-
Задача решена. Но чтобы привести эти формулы к обычному для литературы виду, сгруппируем косинусы, вынося за скобки напряжения.
°x2x2 = °x1x1 •12 + Vy1y1 ■ m1 + °z1z1 • + Vy1x1 + °x1y1) ' ^1 ' m1 +
+ (^y1z1 + ®z1y1) • m1 • n1 + (°x1z1 + °z1x1) • n1 • ^1 ;
CTx2y2 = CTx1x1 • ^1 • ^2 + CTy1y1 • m1 • m2 + CTz1z1 • n1 • n2 +
+ (°x1y1 • ^1 • m2 + °y1x1 • m1 • У +
+ (<Sy1z1 • m1 • n, +Oz1y1 • n1 • m2) + (CTx1i1 • І1 • n2 + °z1x1 • n • U; (2.10)
CTx2z2 = CTx1x1 • h • k + ay1y1 • m1 • m3 + CTz1z1 • n • n3 +
+ (°x1y1 • h • m3 + ^«1x1 • m1 • У +
+ (^y1z1 m1 n + ^z1y1 n •m)+(^x1z1 n + ^z1x1 n •y.
Для плоского напряженного состояния из формул (2.10) следует исключить все напряжения с индексами z1, z2 и косинусы n3, 13 и m3:
CTx2x2 ~ax1x1 '12 + CTy1y1 ' ml + (CTy1x1 +CTx1y1) ' ^1 ' m1;
CTy2y2 = CTx1x1 '12 + CTy1y1 ' m^ + (CTy1x1 + CTx1y1 ) ' ^2 ' m2;
CTx2y2 = CTx1x1 ' ^1 ' ^2 + CTy1y1 ' m1 ' m2 + (CTx1y1 ' ^1 ' m2 + CTy1x1 ' m1 ' 12);
CTy2x2 = CTx1x1 ' ^2 ' ^1 + CTy1y1 ' m2 ' m1 + (^x1y1 ' ^ m + ^«1x1 ' m2 ' 11).
Формулы для oy2y2 и CTy2x2 получаются из формул для ax2x2 и ax2y2 простой заменой 11, m1 на 12, m2 и наоборот. Из двух последних формул (2.11) видно, что CTx2y2 = CTy2x2.
Запись формул в виде (2.10) и (2.11) удобна при вычислениях на компьютере. При ручном анализе формулы (2.11) целесообразно привести к более понятному виду. Обозначим нормальные напряжения через стг, касательные — т^, 11 — cos0 (рис. 2.3):
11 = cos(0); mj = sin(0);
12 = - sin(0); m2 = cos(0).
|
|
|
Рис.2.3 Схема вычисления напряжений на наклонной площадке в двумерном случае |
Тогда формулы (2.11) приводятся к виду:
°х2 = ст*1 • cos2 0 + СТуі • sin2 0 + тхіуі • sin20; CTy2 = CTxi • sin2 0 + CTyi •cos2 0 - Txiyi • sin 20;
|
(2.12) |
|
yl |
|
• cos20-- |
|
sin20. |
|
2 |
|
^x2y2 ^xlyl |
Большинство практических инженерных задач двумерны. В частности, задачи о концентрации напряжений обычно решаются в полярных или криволинейных координатах. Если нужно оценить суммарное поле напряжений от двух концентраторов, то приходится сначала в каждой задаче привести по формулам (2.11) напряжения к единой глобальной системе координат, а затем суммировать одинаковые компоненты напряжений. Поэтому на практике обычно нужны не формулы (2.11), а формулы (2.12). Чтобы их не запоминать, следует самостоятельно освоить их получение из условий равновесия треугольного элемента, изображенного на рис. 2.3.
