МНОГОСЛОЙНЫЕ СВАРНЫЕ КОНСТРУКЦИИ И ТРУБЫ
ПЛОСКИЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ МНОГОСЛОЙНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТРУБ
Одна из главных особенностей, отличающих многослойные элементы от соответствующих однослойных, связана с их повышенной податливостью на сдвиг. Часто возникают существенные трудности при определении контактного давления, межслоевых нормальных и касательных напряжений в многослойных конструкциях. В связи с этим развитие эффективных аналитических методов исследования напряженно-деформационного состояния (НДС), определение контактной жесткости многослойных цилиндрических труб является одним из важных вопросов в данной проблеме.
В настоящей работе рассматривается феноменологический и дискретный подход к решению контактных задач для многослойных
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1. Многослойная труба при воздействии внешних силовых факторов. цилиндрических труб. Для описания их состояния предлагается применять уравнения обобщенной теории оболочек с конечной сдвиговой жесткостью *. ДИСКРЕТНЫЙ подход |
|
1. Постановка аадачи и исходные соотношения. Рассмотрим n-слойную цилиндрическую оболочку (рис. 1). Слои представляют собой тонкие цилиндрические оболочки с разными упругими и геометрическими характеристиками. Радиусы и толщины слоев обозначим через Ri и 2Ы соответственно, причем Ri - f - hi = Ri+i — Ы+i, Ri — hi = Ri j + hi-1 (I = 1 соответствует нижнему слою). Задача заключается в определении нормальных и касательных напряжений на поверхностях раздела слоев и деформированного состояния оболочки. Уравнения, описывающие ЭДС і-го слоя оболочки в случае плоской деформации, имеют вид: уравнения равновесия dNi 1 _ , „ dM, |
|
7г“5^ + Тг~<?і + 2У2“0’ |
|
0; |
|
соотношения упругости ^ = “й7 Ыг + Wt) ’ Mi = Di ' |
|
где Bi = 2£i7ij/(l — v?) — жесткость при сжатии (растяжении); Di = 1 2 r ' = - j - — цилиндрическая жесткость; Лі = 2k'Gihi — жесткость на сдвиг; Ей к', Gt, v; — модуль упругости, коэффициент и модуль сдвига, коэффициент Пуассона і-го слоя; vi, Wi — составляющие пе- * Пелех В. Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью,— Киев : Наук, думка, 1973.— 248 с. |
|
A' [ , 1 dWi Vi Qi Ai Г7i + Д. d(p Д. |
|
-~Qi + 2Y = 0, |
|
Лі |
|
(1) |
|
(2) |
ремещения точек срединнои поверхности; Yi — угол поворота нормального элемента
і т,+ + Tj J xf — Tj J qf — ql J qf + q{ ^
і і = j ’ * 2 =------------ 2--- ’ 1 = ---------- 2---------- ’ 2 =--------- 2--------
Предположим, что при деформировании оболочки все ее слои работают совместно без скольжения. Это означает, что напряжения и перемещения на поверхностях спая слоев должны удовлетворять условиям контакта (для і-го, (і - f 1)-го слоев)
xt = ti+i = xh qt = qi+i = Qu (2 = 1, ra—1). (4)
Задается изменение кривизны каждого слоя
d2wi
Wi + "v” = w*+* + - ф - - • (5)
Пусть рассматриваемая конструкция подвержена воздействию сосредоточенной нагрузки qt = Р0Ь (ф) (ф) — дельта-функция
Дирака). Предполагается, что касательные напряжения отсутствуют, т. е. тГ = тї+і = 0.
Определяющая система уравнений в данном случае имеет вид
<РЕ, _ _ dH, г? dF.
|
г + Fi = RiZi, |
і
dtpa Bi гіф
d2 wi R, 2_ „ dVi
-^T + Wi = — Ri Z{, (6)
і ( dv;
где /*; = + Wij — разрешающая функция.
Продольная сила, перерезывающая сила и изгибающий момент выражаются через функцию Fi следующим образом:
dF, D, dv;
N* = B#u ^ = - л7^.
Тангенциальное перемещение точек срединной поверхности определяется по формуле
2 dFi, D,
Vi = Sl4^ + RiVі + "ЛІГ'
где
И = Ві/Л'ь {Л - 1) = ДіДІ/Яі.
Параметр s? характеризует сдвиговую сопротивляемость оболочки.
2. Метод решения. Общее решение системы уравнений (6) строится с помощью преобразования Лапласа и представляется в виде интегралов типа свертки. Так, выражение для прогиба имеет вид
|
(r'i + 4) |
|
ф Sill ф —■ |
Wi (ф) = diti cos ф — (1 — cos ф) Rtdz, i +
— (r — 1) (1 — cos ф) d3ti 4- X
|
|
|
( |
|
|
|
Неизвестные константы dij; cfe.*; ^зд определяются из условий симметрии относительно плоскости <р = л/2 |
|
(В) |
при ф = л/2.
Подставляя выражения для dij, d-з, і в формулу для ил (ф) и вводя
обозначения
|
|
|
я/2 |
|
я/2 |
|
Я/2 |
|
О |
|
О |
|
О |
|
окончательно получаем следующую расчетную формулу для Wi (ф):
|
3. Определения межслойного контактного напряжения. Ограничимся случаем двухслойной конструкции. Выполнение условия контакта (5) приводит рассматриваемую задачу к интегральному уравнению Вольтерра второго рода относительно искомого межслойного контактного напряжения. Решая полученное уравнение с помощью интегрального преобразования Лапласа, находим в явном виде выражение для контактного давления между слоями
|
(И) |
q (ф) = Ct ch ац> + С2 sh аф + С36 (ф) - f С4,
где Сг, С2, С3, С4 — некоторые константы, определяемые через упругие и геометрические параметры оболочки и неизвестные константы Аи Л2, А3. Последние определяются из линейной алгебраической системы уравнений, полученной в результате подстановки (11) в (9).
Дискретный подход сопряжен со значительными математическими трудностями.
В качестве определяющего параметра, характеризующего сдвиговую податливость многослойных трубопроводов, предлагается отношение к = E/GMH модуля Юнга Е к модулю сдвига металлического пакета С? мн..
Как указывалось выше, определение контактной жесткости многослойных труб ведется на базе общей теории оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. Используя эту теорию, можно получить решение задачи об определении прогибов в монолитной трубе, подверженной действию двух диаметрально противоположных сосредоточенных нагрузок (рис. 2).
Как известно, оценка кольцевой жесткости обечайки сводится к определению максимальных перегибов кольца. Для рассматриваемой задачи максимальный прогиб определяется инженерной формулой вида
|
|
|
Wxany. — 9п |
|
Р Г (s2 + г2) 2 В 4 |
|
|
где
Сопоставление теоретических и экспериментальных жесткостных характеристик дает возможность установить зависимость
|
|
|
E/GMH = / (/г), |
|
W |
|
Рис. 2. Монолитная труба при воздействии сосредоточенных нагрузок. |
|
|
|
Рис. 3. Распределение радиального перемещения в зависимости от параметра податливости на сдвиг: |
|
гМОН ~ А'' |
|
*-Я/Чюн = 2,2 ;2-S/Gmh = = 40; 4 — |
где п — количество слоев. Численные расчеты показывают существенное влияние сдвиговой податливости к на величину радиального перемещения конструкции (рис. 3).
