МНОГОСЛОЙНЫЕ СВАРНЫЕ КОНСТРУКЦИИ И ТРУБЫ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВЫХ РЕЖИМОВ МНОГОСЛОЙНЫХ ОБОЛОЧЕК НА СТАЦИОНАРНЫХ И ПЕРЕХОДНЫХ РЕЖИМАХ

Приведена математическая модель и исследованы тепловые ре­жимы многослойной конструкции. Численное моделирование на сеточном процессоре гибридной вычислительной машины показало, что многослойная оболочка в заданных условиях не может быть за­менена монолитной с эквивалентными теплофизическими свойствами.

Определению температурных полей в многослойных конструкциях посвящены многочисленные исследования, выполненные в СССР и за рубежом. Тепловым расчетам многослойных конструкций посвяще­на работа [6]. Согласно литературным данным для числа слоев п, большего 3—5, в случае переменных граничных условий и перемен­ных теплофизических характеристик приближенные аналитические методы решения линейных задач дают чрезвычайно громоздкие реше­ния. Нелинейные задачи с зависящими от температуры теплофизи­ческими характеристиками, граничными условиями и источниками тепла можно решить только численными методами при реализации решений на аналоговых, цифровых или гибридных вычислительных машинах (АВМ, ЦВМ и ГВМ) [2, 3].

При математическом моделировании тепловых режимов много­слойных оболочек возникает несколько вопросов, связанных с поста­новкой задачи и интерпретацией результатов численных решений прямых и обратных задач для многослойных и эквивалентных им в тепловом отношении однослойных (монолитных) оболочек.

1. Какова форма математической модели, адекватной исходной физической модели?

2. Можно ли, пользуясь некими эффективными, эквивалентными теплофизическими характеристиками для монолитных оболочек, рассчитать тепловые режимы для многослойных оболочек? То есть, можно ли, пользуясь тепловой моделью монолитной оболочки, полу­чить температурное поле многослойной оболочки? Какова погреш­ность решения при переходе к эквивалентной монолитной оболочке?

3. Если эквивалентные в тепловом отношении теплофизические характеристики и граничные условия существуют, каким путем они могут быть определены по исходным данным, заданным для много­слойной конструкции?

Ниже дана попытка ответить на поставленные вопросы, имея следующие исходные данные по многослойным оболочкам. Для ме­талла: число слоев п, толщина слоя 6м, коэффициент теплопровод­ности Хм, удельная объемная теплоемкость Сум = смРм, качественные и количественные характеристики поверхностей контактов (чистота поверхности, статистические характеристики величин, от которых

зависят термические сопротивления контактов Rk= 1 Для кон­тактов: толщина слоя (зазор) Ьк, W, cvk, качественные или количест­венные, детерминистские или статистические характеристики слоев материалов, которые относятся к контактирующим поверхностям, их называют «контактными слоями». В исходные данные, как обычно, входят значения коэффициентов и членов уравнений, характеризую­щие граничные и начальные условия однозначности поставленной тепловой задачи.

В общем виде математическая модель нестационарного темпера­турного поля в многослойной оболочке для г-го слоя металла имеет вид

(і)

Для одномерной задачи запись ведем в прямоугольной системе координат. Другие ортогональные системы координат дадут несколь­ко иную форму записи уравнения (1) и последующих выражений. Выбор схемы численного метода (величина интервалов пространства и времени, схема учета нелинейностей и др.) зависит от системы коор­динат, что учтено в нашем случае.

Для г-го контактного слоя запишем

-іг (*-* -£-)—Сук Чг+=°- (2>

Сравнение уравнений (1) и (2) показывает, что формально слой метал­ла и контакта имеют одинаковые математические модели.

В местах сопряжения слоев металла и контакта зададим условия идеального контакта

Т пм = Т пкі (3)

На внешних поверхностях многослойной оболочки могут быть за­даны граничные условия

Математическая модель (1) — (8) записана в предположении, что К (х), Cv (х), qt (х). Вместо (1) — (4) может быть записано одно урав­нение для неоднородной оболочки.

д дх

(9)

где X, Cv, Qv могут быть не только кусочно-разрывными функциями от х, но и функциями т, Т, т. е. задача может быть не только линейная с переменными коэффициентами, но и квазилинейная или нелинейная.

В зависимости от формы математической модели (ММ) выбирается метод ее исследования. Часто метод или средство решения предопре­деляет также форму ММ и, что самое важное, точность решения. Практически даже для монолитных оболочек нелинейная задача с пе­ременными граничными, начальными условиями и qv (х, т, Т) при­ближенными аналитическими методами не может быть решена [2, 3].

Условия неидеального контакта с тепловыделением на границе (8а), (86) вытекают из граничных условий III рода и уравнения (2). Если положить

Сук = 0; АТк = , Rk = , «к = = ~б— , (10)

кк кк ок нк

то для "Кк = const из (2) получаем граничные условия III рода или IV рода (8а), (86). Если считать, что (1) — (7) заданы, то задача о тепловом режиме многослойной оболочки с Rr сводится к задаче о неоднородной многослойной оболочке. Поэтому необходимо сформу­лировать требования к теплофизическим характеристикам слоя, от­ражающего в тепловом отношении Rk или а к - Ниже показано, что моделью (1) — (7) можно пользоваться, если заданы б к, Xк, Cvk• Для получения конкретных значений считаем, что контактный слой — слой воздуха (что необязательно).

Обычно теплофизические характеристики контакта заданы в виде Rk, (м2К) (Вт) [9]. Теплоемкостью контактного слоя пренебре­гают.

Задавшись А, воздуха при какой-нибудь температуре из рабочего диапазона температур, по формуле (10) определяем бк. Тогда ММ имеет вид (5) — (7), (9). Ниже показано, что для многослойных обо­лочек из сталей 12ХГНМФ или 16ГНМ (16ГНФБ) при Rk [9], типич­ных для таких материалов и давлений, которые возможны в интере­сующих нас многослойных оболочках, теплоемкостью воздушной прослойки, толщиной б к = Rk ■ А, к, ^к = ^ воздуха можно действи­тельно пренебречь.

Таким образом, процесс нестационарной теплопроводности в многослойной оболочке описывается уравнением (9), но Су (х) для контактных слоев может равняться нулю. Величины Rk, б к, Xк можно задавать детерминистским или вероятностным (статистическим, сто­хастическим) методами. Физически правильнее задавать Rk статисти­чески, так как микро - и макронеоднородности, шероховатости, высту­пы и впадины на поверхностях контактов имеют случайный характер.

Специальные численные эксперименты, проведенные при Rk, заданных статистически и детерминистически, показали, что коли­чественные изменения, связанные с различным заданием Rk (при сред­них значениях RK = 6 • 10_< м2 • К/Вт) сравнительно невелики для конкретных тепловых задач по прогреву оболочки многослойного корпуса реактора с п = 70.

Реальные оболочки могут иметь более ста слоев металла, поэтому не только натурный тепловой, но и численный эксперимент по иссле­дованию нестационарных тепловых режимов сложен, требует значи­тельных затрат средств и времени. Методические численные экспери­менты для многослойной оболочки проведены при сравнительно не­большом числе слоев п = 5. Для реальной задачи, когда п = 70, численные исследования проведены с учетом обоснованных в мето­дических исследованиях допущений и упрощений ММ и вычислитель­ной схемы.

На рис. 1 показана тепловая схема многослойной оболочки (а), схема электрической модели (расположение узлов по Т схеме «узлы внутри») и схемы разбивки слоя металла при уменьшении интервалов пространства h = бм, бм/З, бм/5, Исходные данные при решении ме­тодических задач: п — 5, Хм = 57,4 Вт/(м-К), 1 Шк = 1830 Вт/(м2-К), бм= 0,004 м, Cvm = 2175 кДж/(м3 К). Задание а-ц = 1/Дк. равного 1830 Вт/(м2 К), эквивалентно заданию термического сопротивления слоя воздуха толщиной бк = 2 • 10—5 м при при Хк = 0,036 Вт/ (м-К), Сук =0,85 кДж/(мя-К).

Теплофизические характеристики металла и воздуха приняты постоянными, хотя методы решения позволяли учитывать их измене­ние во времени от координат и температуры. Задача решена для гра­ничных условий 1 рода в относительных температурах

0= /’ ~_Г'Г ' (Ц)

max min

Tm = 100 %, Tm = о %, гнач = о %.

Такое задание краевых условий и теплофизических характерис­тик позволяет четко выявить влияние интересующих нас факторов и избежать влияние краевых условий (qA, дв, <*а, «б. Та, Т'б) (рис.1) и зависимостей X (Т), Сг (Т).

■ Исследовалось влияние следующих факторов: теплоемкости воз­душной прослойки перехода от многослойной оболочки к монолитной с эквивалентным коэффициентом теплопроводности А, э, величин ин­тервалов пространства h и времени бт в численных решениях на АВМ, ЦВМ и ГВМ, схемы задания начальных и граничных условий.

1~ ^зазора = ^воздуха = °.°366 Вт/<м • Ъ.'» -18ряіс; J-2c;<-3 о:

5 — 6 с; Я — 21 с; 7 — 33 с; 8 — 41 сі 9 — ^металла = ^,4.

Задание граничных условий 1 рода — «толчок» 100 % на одной из поверхностей — является предельным случаем, так как эквивален­тен заданию q или а, стремящемуся к бесконечности. Температурные поля, полученные при граничных условиях 1 рода, дают картину мак­симально возможных ошибок, связанных с изменением интересую­щих нас величин. Эквивалентный эффективный коэффициент тепло­проводности Хэ должен дать возможность получить при расчете мо­нолитной оболочки такое же температурное поле, как в многослойной оболочке. Из условия единственности решения прямых задач тепло­проводности следует, что нельзя найти такие значения Х^, которые позволили бы получить одинаковые поля. Речь идет о получении зна­чений Хэ, которые дадут близкие по значениям температурные поля на некоторых режимах работы оболочек с учетом числа слоев, соот­ношений термических сопротивлений слоев контактов и металла. В работах [7, 8] рассматриваются эффективные теплофизические ха­рактеристики, позволяющие на нестационарных режимах получить в монолитной оболочке температурное поле для многослойной оболоч­ки. В [8] показано, что в каждой конкретной задаче можно получить эквивалентные постоянные Хч, Суд, которые с определенными по ве­личине (часто весьма значительными) ошибками позволяют получить «эквивалентное» температурное поле.

В работе 13] рассмотрен вопрос о работе многослойной конструк­ции. Анализ температурных полей многослойных теплоизоляционных оболочек [3] показал, что от порядка расположения слоев существенно вависят температурные поля. Следовательно, при прочих равных условиях, зная только Хм, &м, Rk, нельзя построить эффективные Хэ, Cvэ - Для этого необходимо знать порядок расположения слоев и краевые условия. Таким образом, эффективные Хэ, Суэ можно по­строить, решая инверсную задачу [9] по температурному полю много­слойной оболочки, однако следует для этого иметь эксперименталь­ное или расчетное температурное поле этой многослойной оболочки. После решения инверсной задачи, которая дает X (х) (для одномер­ного случая) или X (х, у, z) (для ортотропной трехмерной задачи), мож­но усреднить А, и получить Хэ. На рис. 2 даны значения Хэ, полученные по полям прямых задач, рассчитанных на АВМ и ЦВМ численным методом для пятислойной пластины. Как видно, при граничных ус­ловиях 1 рода, когда крайние слои многослойной оболочки (рис. 1) выполнены из металла, Хэ в этих слоях равно X металла; затем теку­щие постепенно приближаются к Хэ на стационарном режиме. Зна­чение эффективного коэффициента теплопроводности для стационар­ной задачи А. эст определяется для одномерной задачи, исходя из эле­ментарного соотношения

h I

Rtx = Rtm + ^ Rtk, (12)

і і

где к, I — число слоев металла и контактных прослоек соответ­ственно.

Из условия (12) следует, что

------- 1—5г 1 (13)

Л-п/г Лт/

а из (13)

Ь-м^к (S

2j °м + °м 2j к і

Если 6 М, б К, ^М) ^к — const и число слоев п велико, TO I S Ми 3 ^ п — 1) и выражение имеет вид

ч ХМХК (6М + 6К) а

э~ Ми + Уї • ( }

В нашем случае Хэ определено по выражению (15).

Эффективную объемную теплоемкость монолитной оболочки, эк­вивалентной в тепловом отношении многослойной, можно задать рав­ной объемной теплоемкости металла Сум. Специальные расчеты пока - вали, что теплоемкостью воздушной прослойки зазора в контакте при п = 5, когда Rk = 1860 м2К/Вт, можно пренебречь. Численный

Рис. 3. Кривые распределения температуры по толщине монолитной и много­слойной оболочек для различных моментов времени:

а — 1, 5 — 1 с; г, в — 2 с, 8, 7 — 5 с; 4, 8 — 9 с; б — 1, 4 — 13 с; 2, 5 — 21 с; 3, в — 41 с. Многослойная оболочка, численный метод, неявная схема, ^К~^К' Т — схема элек­

тромодели 1—4 (а); 1—3 (б). Многослойная оболочка, приближенный аналитический метод решения задачи с Xg, Cgg [4], кривые 5—8 (а), 4—6 (б).

эксперимент позволил выявить влияние следующих факторов на точ­ность определения нестационарных температурных полей.

1. Величина интервалов пространства h и времени 6т при чис­ленном решении тепловых задач многослойной и эквивалентной ей в тепловом отношении монолитной оболочки. Если речь идет об экви­валентных в тепловом отношении монолитных оболочках, то имеются в виду монолитные оболочки, в которых температурные поля «близки» к полям в многослойных оболочках, причем их «близость» оценивается разницами температур в установленных точках в заданное время. Критерием оценки обычно является максимальная ошибка в харак­терном для данной оболочки районе (поверхность, середина и др.)

max (з-ь Т“) = Уме (^Ь t) Тм Т)

М — монолит; MG — многослой; х — координаты, і = 1, 2, 3; X, Y, Z — в прямоугольной системе координат. Анализ численных решений и сравнение с данными приближенных аналитических ре­шений по [4, 5] для монолитных оболочек показал, что для металла и контакта можно брать км = Ьм и кк = 6#. Узлы в сеточных моде­лях при расчетах на АВМ и ЦВМ располагали внутри элементарного отрезка (Т — схема, «узлы внутри»),

2. Законы задания краевых условий. Показано, что специальные поправки, учитывающие «толчок» (Гптах = Ю0 %) в граничных усло­виях 1 рода, и уточнения в задании начальных однородных условий

(Ти = 0 %) [1, 10] не приводят к существенному повышению точности численных решений.

3. Теплоемкость слоя контакта (зазора, воздушная прослойка) меж­ду контактирующими поверхностями может не учитываться при задании RK в виде бь/Хь, когда Хь — 0,036 Вт/мК), и толщина воздушной прослойки (за­зора) равна долям миллиметра.

4. На нестационарных режимах многослойные оболочки имеют тем­пературные поля, которые никогда не совпадают с полями соответству­ющих эквивалентных монолитных оболочек, имеющих постоянные эк­вивалентные и эффективные %Э и Cvэ - Этот вывод тривиален, если задача теплопроводности с постоянными X,

Су имеет единственное решение. Од­нако многие исследователи делают многократные попытки получить Хэ и Суз без соответствующих ограни­чений на точность таких приближе­ний.

На рис. 3 дано сравнение двух полей, полученных на АВМ АП-600 (численный метод, неявная схема метода сеток) для многослойной оболочки (рис. 1) и эквивалентной монолитной оболочки (приближен­ное аналитическое решение по [7] при Хэ, рассчитанному по (15)). Как видно, по мере приближения к стационарному распределению температур (прямая линия) ошибки уменьшаются. На рис. 3 кривые изменения температуры показаны плавными кривыми, хотя они долж­ны иметь такой вид, как на рис. 4.

5. Стационарные распределения температур в многослойных обо­лочках могут определяться по зависимостям, полученным для моно­литных оболочек, когда qv = 0, при Хэ рассчитаны по зависимостям (12) — (15). Зависимость Т (х), полученная для монолитной оболочки, является приближенной, аппроксимирующей ломаную (кусочно­линейную) линию Т (х) (рис. 4) для стационарного распределения температур реальной многослойной оболочки. Реальное стационарное распределение можно получить в эквивалентной монолитной обо­лочке с учетом аффинного подобия температурных полей в монослое, для которого задан Хэ, и многослойной оболочке.

6. Значения Хэ, Cvэ и ад — XqICvq, полученные с помощью ме­тодов, аналогичных примененным в [7], позволяют получить темпера-' турные кривые только точек, в которых были установлены термопары в опытах, и для задач с аналогичными краевыми условиями. Для расчета других многослойных оболочек (различные п, Хм, Як) при изменениях по сравнению с опытами [7] краевых условий, значения

^э> яэ [7] могут оказаться непригодными, так как они дают большие погрешности в искомых температурах многослойной оболочки.

7. Для определения теплофизических характеристик многослой­ных оболочек можно применять методы решения нелинейных инверс­ных задач теплопроводности [3]. Существенным является выбор ис­ходной математической модели явления теплопроводности. Если мо­дель принята для монолитной оболочки с постоянными X, Cv, то ошибки в температурных полях на нестационарных режимах, по­лученные при Хэ, Суэ недопустимы.

8. Многослойные оболочки с произвольным расположением слоев при резких изменениях теплофизических свойств ПО СЛОЯМ X, Cv, Rk должны рассчитываться как неоднородные оболочки, а не монолит­ные с эффективными Хэ.

9. Расчеты многослойных оболочек на различных типах сеточных интеграторов АП-600, БУСЭ-70, ЭИНТ-5 и цифровых машинах по­казали, что аналоговые машины позволяют получить результаты с погрешностью не большей ±1 %, что вполне удовлетворяет инженер­ную практику расчета тепловых режимов многослойных оболочек, когда погрешности задания X, Су и Rk находятся в пределах ±5— 10 %.