Дифференциальное уравнение процесса
Рассмотрим тело произвольной конфигурации, которое имеет мощность источника W(r). В начальный момент времени т = 0 тело имеет температуру t0
*L='o. (2.61)
и вносится в среду, температура tc(т) которой изменяется во времени; теплообмен тела со средой подчиняется закону Ньютона (2.24). Задача состоит в определении температуры тела в любой момент времени. Температурное поле такого тела описывается дифференциальным уравнением (2.10)
vh+W=cpBt_'
X X дт
граничным условием (2.24) и начальным условием (2.61).
Приведём эту систему уравнений к иному виду, применив ко всем членам системы уравнений следующую операцию:
Рассмотрим сначала (2.10):
|
V |
|
Используем теорему Грина |
J V~rdV = J gradtdS
s
|
|
и преобразуем первый член (2.62), при этом будет использовано граничное условие (2.24):
|
|
Тогда
По определению
|
|
где Р - полная мощность источников тепла в теле; t - средняя объёмная
температура тела.
В этих преобразованиях предположено, что коэффициенты а, Л, с не зависят от температуры. Используем полученные результаты и перепишем (2.62) в виде
dtv, . Р(т)
|
(2.63) |
|
|
— + m„ts = m0tc (т) + ——, dt С
С = cpV, m
Если предположить, что поле температур в теле равномерное, то tv=ts= t, и уравнение (2.63) примет вид
Система уравнений (2.61) и (2.64) полностью описывает температуру тела с равномерным полем температур.
