Сварные конструкции. Расчет и проектирование

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ СТЕРЖНЕЙ ФЕРМЫ АНАЛИТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

Усилия стержней фермы определяются по правилу РОЗУ: разрез фермы; отбрасывание одной части; замена стержней силами; условия равновесия отрезанной части.

Разрезы производят методами вырезания узла и рас­сечения фермы. В месте разреза к стержням прикладывают неизвестные силы и направляют стрелки от сечений. Рас­тягивающие усилия считают положительными. Допустим,
что после решения уравнений статики искомое неизвест­ное усилие имеет отрицательный знак. Эго указывает на то, что знак усилия первоначально был выбран непра­вильно. Стержень оказывается не растянутым, а сжатым.

Определение усилий в стержнях ферм методом выре­зания узлов удобно в следующих случаях: 1) в узле схо­дятся два стержня (рнс. 8.2, а), при этом усилия находят нз уравнений VX-0, 0; 2) в

узле сходятся три стерж­ня, два из них являются продолжением один дру­гого (рнс. 8.2, б), усилие в третьем стержне оп­ределяют проектирова­нием всех сил на на­правление, перпендику­лярное х; 3) в узле сходятся несколько стержней, при этом все усилия, кроме двух, уже найдены какими-либо другими приемами.

Нели в узле сходятся два стержня и отсутст­вуют внешние нагрузки, то усилия в обоих стерж­нях равны нулю. Спрое­цируем все силы на вер­тикаль откуда

Л=0 (рис. 8.2, в), из условия.2*=° следу­ет, что /V,—0.

Если в узле сходятся три стержня при условии, что два являются продолжением одни другого (рис. 8.2, г) и в узле отсутствует внешняя нагрузка, то усилие в третьем стержне равно 0. Проецируем силы на направление у, перпендикулярное стержням / и 2,

= 0. (8.2)

Убеждаемся в правильности того, что продольное усилие в третьем стержне jV»=0.

Легко показать, что в системе, изображенной на рис.

8.2, д, усилия во всех стержнях, кроме ОТ и 0Ґ, равны

нулю, рассмотрите равновесие узлов 4', 4, 3, 3' и т. д., а в системе на рис. 8.2, е усилия в стержнях 00', 11', 22', 33', 44', O’!', 3'4‘, Ґ2, 23' равны нулю при заданных ус­ловиях нагружения.

При определении усилий в стержнях фермы методом ее рассечения (рис. 8.3, а) необходимо составить уравнения равновесия в виде

2М, = 0; УМг = 0; = (8.3)

где /', 2 и g — момеитные точки.

Точки называют моментными, если они определяются пересечением двух из перерезанных стержней фермы.

Моментная точка /' лежит на пересечении стержней 1'2‘ и 1'2; точка 2 — на пересечении 1'2 и 12; точка g — на пересечении 12 и /'2'.

Если рассматриваемые разрезанные стержни парал­лельны, например стержень 0! и O'1' (рис. 8.3,6), то мо­ментная точка g перемещается в бесконечность. При этом

статические уравнения равновесия следует написать в форме

2Л1, = 0; 2^1 = °: 2У' = °* (8-4)

Каждое уравнение содержит одно неизвестное, так как остальные неизвестные усилия образуют относительно моментной точки моменты, равные нулю.

Определим усилия в стержнях фермы (рис. 8.3, в) с параллельными поясами.

Вследствие симметрии фермы и нагрузки опорные реакции равны между собой:

А = В = 3,5Р.

Разрезаем третью панель фермы (разрез III—III). Пишем условие равновесия отрезанной левой части фермы, нагруженной реакцией Л, силами Р и усилиями стержней 7 3', 23 и 23' в виде 2^т'=^;

3,5P-3d-P3d-P2d-Pd-23h = 0, (8.5)

откуда

М = 4,5^, (8.6)

где Mt— момент сил, расположенных слева от разреза, относительно точки У при учете фермы как сплошной балочной системы

Напишем условие ^Мх=0:

TOC o "1-5" h z 3,bP'2d-P2d-Pd+2,3'h = 0; (8.7)

2'3'------- -¥г = — «j, (8.8)

где М| — момент сил, находящихся слева от разреза от­носительно точки 2.

Напишем условие 2^=^:

3,5/> — Р—Р—Р + 23' sina = 0; (8.9)

23' = -^iiL = 0,5 , (8.10)

sin a ’ stua ’ ' '

где Q,,, — поперечная сила от сил, расположенных слева от разреза при рассмотрении фермы как сплошной балоч­ной системы.

Производим подобные разрезы по второй и первой панелям.

Подобным же образом находим усилия в остальаых стержнях поясов и раскосов.

Усилия в стойках находим методом вырезания узлов. Вырезаем узел 0'. Тогда

= —= 0, (8.11)

откуда

0'0 = — Р. (8.12)

Вырезаем узел /. В этом узле нет сил, поэтому из ус­ловия 2К=0 находим 11'=0.

Вырезаем узел 2'. При этом имеем

'£Y = — 22'-P = 0, (8.13)

откуда

22' = — Р. (8.14)

Легко показать, что распределение усилий в стержнях поясов сквозных ферм с параллельными поясами подобно распределению изгибающих моментов в балочных сплош­ных конструкциях. Нижние пояса растянуты, верхние сжаты при нагрузках, изображенных на рис. 8.3, в. Уси­лия в стержнях поясов возрастают от опор к середине

пролета.

Распределение усилий в раскосах сквозных ферм с параллельными поясами подобно распределению попереч­ной силы в балочной сплошной конструкции. Усилия в раскосах имеют наименьшую величину в середине пролета. Усилия возрастают от середины пролета фермы к ее опорам.

Перемещения узлов фермы от вертикальных нагрузок

определяют по формуле Мора:

(8.16)

где N — усилие в стержнях фермы от заданной нагрузки; NI — усилие в стержнях от единичной силы, приложенной

в узле, в котором определяется перемещение по направ­ленню искомого перемещения; 1( — длина /-го стержня; А — площадь его поперечного сечения; Е — моду г. уп­ругости.

ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА

Пример 1. Рассмотрим пример определения вертикального перемещения (прогиба) среднего ума фермы, изображенного на рис. 8.4, б. Примем, что площади сечений элементов поясов оди­наковы и равны Лп; площади сечений раскосов и стоек также оди­наковы и равны /4р, Расчет удобно расположить в форіе табл. 8.1. Так как система и нагрузка в ней симметричны, усилия следует вы­числять лишь для одной половины фермы.

На рнс. 8.4, в изображена та же ферма пол действием единич­ной силы, приложенной в среднем узле вертикально. Пользуясь методом РОЗУ, вычисляем усилия N в стержнях фермы от сил Р, усилия JVt в аналогичных стержнях от силы, равной единице. Реак­ция от нагрузок А~£=4,5 Г: реакция от единичной силы: А — = £=0,5

У Л/ЛУ, 54р<р 4.5РЛ

ЕА h? EAB £/4рsln*a' 1 '

Вертикальное перемещение среднего узла фермы равно удвоен­ному значению суммы, определенной с учетом деформаций одной половины фермы. Таким образом,

108Pd* . 9 Ph

In £і4р5

Первый член суммы — это величина прогиба, определяемого деформациями поясов, а, второй член — величина прогиба, опреде­ляемого деформацией решетки. Как видно из приведенного соотно­шения (8.18), деформации фермы зависят в очень большой степени от площадей сечений поясов и решетки.

Допустим, что (в частном случае) все площади сечений эле­ментов равны между собой A„—Af— А, тогда

, ( 108Pd3 , 9Ph 1

'-[-Г+ІйРЇГІ-їїл - <8Л9>

Очевидно, что влияние деформации поясов на прогиб в этом случае более значительно, нежели влияние деформации решетки. р

Обозначив ~ — <1 и поле гаинн в формулу (8.19), получим

TOC o "1-5" h z, ( I08pd* , 9Ph 1

{ IIі 1 sin»» ) F. A '

Приближенно примем, что 2А„ j = J, т. е. моменту инер­

ции поиеречиого сечения фермы, и d—//8. тогда

108<?/4 I gl* , 94dU

1 mbtJ sin» а ЕА — 75 EJ 1 sin3a£/l •

Интересно отметить, что прогиб сплошной балки (рнс. 8.4, г) от равномерно распределенной нагрузки составляет

. 5 qP____ 1 д Iі

384 EJ “77 EJ ‘

Таким образом, вертикальная составляющая прогиба фермы от сил Р, вызванная деформациями поясов, близка по величине про­гибу от равномерно распределенной нагрузки q в балке силошного сечения,

Если принять а=45°, т. е. ft=d и sina=0,7, то соотношение (8.19) примет вид

/=(108Pd -|- 23Pd) ~р. (8.?1)

Таким образом, деформация решетки увеличивает прогиб, вы­званный деформацией поясов, на 20%. Эта цифра верна в предполо­жении, что 4п=у4р, если /4п<4р, что часто бывает, то величина деформации раскосов на прогиб оказывается более значительной.

Пример 2. Рассмотрим в качестве примера определение верти­кального перемещения среднего узла фермы 4’, изображенного на рис. 8.4, д, в результате повышения температуры стержней нижнего пояса на /. Коэффициент температурного расширения металла а известен.

В формуле (8.16)

/=£

Л' / ■

величина - jr-j - представляет собой деформацию стержня; в данном

L П

случае она вызвана его нагревом. Обозначим сс blt. Температурные удлинения стержня

Ы, = oil,-. (8.23)

Поэтому формула (8.16) примет вид

f^atliNi. (8.24)

Ответ: f—8atd4h (8.25)

Пример 3. Определим горизонтальное перемещение точки 5'

вертикальной фермы от силы Р, приложенной в узле 1 (рнс. 8.4, с)

ЕА = consl.

Следует обратить внимание, что усилия N от силы Р во псех элементах, кроме 0! и 0'1, равны 0.

Ответ: ^ ( 5ft tg’ a + . (8.26)