Сварные конструкции. Расчет и проектирование

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ НЕИЗМЕНЯЕМОСТЬ И СТАТИЧЕСКАЯ ОПРЕДЕЛИМОСТЬ ФЕРМ

Допустим, что простейшая ферма имеет закрепления, свойственные статически определимым системам, напри­мер одну неподвижную, а другую подвижную опоры Оп­ределим в этой ферме соотношение между количеством стержней и шарниров (рнс. 8.1, в).

Обозначим число стержней фермы через і (кроме стерж­ней, входящих в состав опорных закреплений), а число шарниров — через к.

На образование основной треугольной фермы требу­ются три стержня и три шарнира. Таким образом, коли­чество стержней, не входящих в состав оскозного тре­угольника, составляет (t—3), а количество шарниров, не входящих в состав этого треугольника,— (k—3).

Так как образование ферм производится из основного треугольника последовательным добавлением двух стерж­ней и одного шарнира, то

І—3 = 2(6—3),

откуда

/= 2ft—3. (8.1)

Эго является необходимым условием геометрически неизменяемой системы. Для простейших ферм оно яв­ляется не только необходимым, но и достаточным. Доста­точным оно является и для некоторых других типов ферм.

Класс статически определимых ферм, применяемых в практике, очень широк. Найдем условия статической оп­ределимости ферм.

Будем полагать, что фермы загружены лишь в узлах. При этом в элементах, имеющих шарнирные закрепления по концам, отсутствуют изгибающие моменты и попереч­ные силы. Единственным расчетным усилием в каждом стержне является продольная сила. Поэтому система, имеющая і стержней, обладает таким же числом неизвест­ных усилий.

Для каждого узла фермы могут быть написаны два ус­ловия равновесия для определения неизвестных усилий в стержнях ^]Х=0, VV'=0.

Если число узлов фермы равно k, то число уравнений равновесия равно 2к (рнс. 8.1, в).

Из указанных 2k уравнений должны быть определены все неизвестные усилия в стержнях, а также неизвестные реакции, приложенные в опорах.

Предположим, что ферма имеет, опорные стержни, реакции которых находятся из уравнений статики. При этом три уравнения должны быть использованы дія на­хождения неизвестных реактивных сил.

Фермы такого рода статически определимы, если ко­личество нх стержней равно (2k—3). Таким образом, не­обходимые условия геометрической неизменяемости совпа­дают с условием статической определимости ферм, имеющих три стержня в опорных закреплениях (одна опора — шар­нирно-неподвижная с двумя стержнями и другая — шар­нирно-подвижная с одним стержнем).

Однако возможны случаи, когда в части системы нахо­дится «лишний» с позиции неизменяемости стержень. При этом система в целом, несмотря на соблюдение условия (2k—3), оказывается системой изменяемой.

Если количество стержней фермы і превышает (2/г—3), то усилия во всех стержнях фермы не могут быть опреде­лены при помощи уравнений статики. В этом случае не­обходимо использовать уравнения упругих деформаций.

Системы ферм, изображенные на рис. 8.1, г, ж, з, ста­тически определимы; на рис. 8.1,5 — система статически неопределима, так как число стержней превышает (2k—3). Ферма, изображенная на рис. 8.1, е, также статически неопределима, так как она имеет одно лишнее закрепление в опоре.