СВАРОЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ И НАПРЯЖЕНИЯ
ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
В условиях плоского напряженного состояния будет находиться тонкая пластинка под действием сил в ее серединной плоскости при условии, что ее поверхность свободна от внешних сил и распределение температуры не зависит от направления, нормального к ее серединной плоскости. Поместим координатную плоскость хоу в серединной плоскости пластины, а ось z направим по нормали к этой плоскости. При принятых условиях ozz = 0 и, используя выражения (3.7),
1 + Р
|
2G[ |
|
а (Г-Т0)]; |
dw. (х
dz 1 — 2р ^ . 1 — 2р
® = ^XX ~f‘ еуу г ^ZZI
О получим:
из условия огг
|
1 |
|
р |
|
Р |
|
а(Т Т0) ■ |
|
(3.60) (3.61) |
|
(fixX ~Ь вуу) 1 |
|
е„ = |
|
1 — р |
|
1 — р |
|
« = 4«(Т-Т0) + (ехх + еуу). |
|
1 — Р v и/ 1 1 — р При этом для компонентов напряжения (3.7) будем иметь: 2 G |
|
[ехх + цеуу — (1 + р) а (Г — 70)]; №уу “Ь №хХ ( ( Д р) а (Т 7'о)], |
|
і —р 2G |
|
(3.62) |
|
УУ ' 1 — р ' УУ Хху — Gyху Уравнениями равновесия в силу |
|
'-'гг — Az — "0/2 — 0 |
|
будут: |
|
дОхх дх дхху |
|
дх. |
|
ху |
|
0; |
|
+ |
|
ду |
|
(3.63) |
|
да. |
|
^ = 0. |
|
дх |
|
ду |
|
Подставив в эти уравнения выражения компонентов напряжения (3.62), получим уравнения Дюгамеля—Неймана: Н Р д |
|
(ди. dv __________ “аГ + W) 0; )- |
|
А и + |
|
1 — р дх |
|
_ 2 4^ а 4~ (Т — Т0) = 0; |
|
1 — р |
|
дх |
|
. . 1 + р д 1 — р ду |
|
ди. dv дх ду |
|
2-т^“Ж<7'-7’"> = 0- |
Компоненты перемещения, полученные решением этой системы, должны удовлетворять граничным условиям. Аналогично изложенному в предыдущем параграфе система уравнений Бельтрами в этом случае сведется к одному уравнению
Л (охх 4- оуу) - Ь 2а (1 + ц) G Д (Т — Т0) = 0. (3.65)
Последнее вместе г уравнениями равновесия (3.63) определяет составляющие напряжения, которые должны удовлетворять условиям на поверхности:
охх1 + гхут = 0; 1
гху1 + оуут = 0, 1 (3’6Ь)
если поверхность пластины свободна от внешних сил. Для решения конкретных задач здесь также можно использовать два метода:
Первый метод
Предположим, что существует такая функция
U = Фі — Т1г что имеют место равенства:
d2U. d2U. д*и /0
°УУ ~ у Хху — ■ л у. д.. • (3.67)
”хх — ду2 у ”уу — дх2 у ху — дхду '
При этом уравнения равновесия будут удовлетворены тождественно, а уравнение (3.65) примет вид
ДДф1-Д[Д7’1-£а(Т-7о)] = 0. (3.68)
Отсюда имеем, что если функция Г] удовлетворяет уравнению
Пуассона
Д7 = Еа (Т - Т0), (3.69)
то функция ф| должна быть бигармонической
ДДфі = 0. (3.70)
Как только найдены функции Тх и (рг решением уравнений (3.69), (3.70), напряжения определятся по формулам (3.67). Эти напряжения должны удовлетворять условиям на поверхности (3.66). По формулам (3.62) для деформаций имеем:
=ехх 1°хх — №уу + Еа{Т— Го)];
|
(3.71) |
= єуу = - Д t°уу — №хх + Еа(Т— Г,,)];
dv, ди __ тху дх ду G
Перемещения найдутся интегрированием уравнений Коши (3.71).
57
Второй метод
■Введем потенциал термоупругих перемещений для рассматри
ваемого случая:
|
dF дх |
|
dF dy |
|
(3.72) |
|
V = |
Подставив последние в первое из уравнений (3.64), получим
|
д dx |
|
+ .? A. F — 2 l — цдх |
|
±±^а-?-(Т — Т0) = 0 |
|
1 — р |
|
дх |
|
ИЛИ |
|
а AF (1 + р) a - i—(T Т0) = 0. |
|
дх^ К4 г п" дх Интегрируя последнее, имеем AF = а (1 + р) (Т - Т„) + ft (у). Аналогичная операция со вторым из уравнений (3.64) даст AF = а (1 + р) (Т — Т0) + /2 (х). Сравнивая (а) с (б), получим /х (У) = /а (х) = 0 и, следовательно, функция F должна удовлетворять уравнению Пуассона AF = а (1 + у)1(Т - То). (3.73) Если функция F найдена как решение уравнения (3.73), то деформации определяются по формулам: - d2F. - __ D2F еУУ~ ду2 d2F |
|
(а) (б) |
|
VXX |
|
‘ дх2 Уху = 2 |
|
(3.74) |
|
дхду ’ е2г = AF = a(l +ц)(Т—Т0), а для напряжений формулы (3.62) дадут: d*F |
|
охх = —2 G |
|
ду2 ’ а*2 1 х = 2G • ^ at/ * о„ = 0. |
|
Оуу = — 2 G |
|
(3.75) |
|
Так как на функцию F не наложено граничных условий, то в общем случае компоненты напряжения (3.75) не будут удовлетворять заданным условиям на поверхности. Например, если поверхность |
пластины свободна от усилий, а формулы (3.75) для компонентов напряжения в точках поверхности дают значения:
|
;<о) |
|
-<о> Jyy > |
|
г(0) 1*У > |
то для той же пластины приходится решать обычную задачу теории упругости при заданных на поверхности компонентах напряжения:
|
— о(0) Vxx 7 |
-<0) -<0)
Jyy 7 *ХУ
Эта задача решается при помощи функции напряжений ф, удовлетворяющей уравнению
д д ф = О,
через которую компоненты напряжения определяются по формулам:
|
-> а2ф гг ------------ —— • т - . УУ дх2 ’ ху |
|
Д2ф |
|
(3.76) |
|
°хх ~ ду2 ’ |
|
дхду |
|
При этом искомые составляющие напряжения определяются по формулам: охх = Охх + охх = (Ф — 2 GF); Оуу = Оуу + Оуу = (ф — 2GF); Хху = їад +Хху=- (Ф - 2СГ), а для деформаций получим: |
|
(3.77) |
|
d2F дх2 a2f |
|
к ~И‘ |
|
)+ at/2 ) at/2 |
|
ехх = |
|
1-і |
|
ах2 агф |
|
ду2 й2ср |
|
(3.78) |
|
+ |
|
‘'да |
|
УУ ' |
|
■уу |
|
ах2 |
|
и в соответствии с (3.60) Єгг = f^ir(e« + eW) = — Д (“ГФ — ‘F)‘ Если, в частности, примем Ф = 2GF, то получим: ОXX = Оуу — — 0^ = 0; 1 lnn d2F о г &F I с - d2F — £ (2G ду2 2рС ^ J AF = а(Т — Т0) |
|
1 + р. вуу = Вц = К (Г 7’0), YjCJ/ == 6, т. е. в этом случае имеет место нестесненное всестороннее температурное расширение. Рассмотрим пример. |
Возьмем полосу большой длины, имеющую ширину h и толщину б, малую по сравнению с h. Пусть эта полоса свободна от внешних сил. Начало координат поместим в центре тяжести среднего по длине поперечного сечения. Ось ох совместим с геометрической осью полосы, а ось г — с направлением перпендикуляра к ее плоскости. Рассмотрим простейший случай, когда температура зависит лишь от у, т. е.
Т-Т0 = Т(у).
Полоса при этом будет находиться в условии плоского напряженного состояния. Функция Тг в этом случае не будет зависеть от х и для нее из (3.69) получим
|
ЕаТ, |
дъТг toy2
или
Тх = Еа J dy J Т(у) dy. • (3.79)
Функцию напряжения можно взять в виде
Ф = СіУ3 + С2у2. (3.80)
Тогда формулы (3.67) дадут:
|
(3.81) |
°хх — ЬСху + 2С2 — ЕаТ (у)-, ®УУ ~ тху — 0.
Постоянные интегрирования Су и С2 будут найдены из уравнений равновесия внутренних сил в поперечном сечении полосы. Так как полоса свободна от внешних сил, то эти уравнения напишутся в виде:
Л/2 А/2
f oxxdy = 0 J axxydy = 0,
—Л/ 2 - A/2
отсюда, имея в виду (3.81), получим:
А/2
= 1 T(y)dy,
—Л/2 Л/2
j yT(y)dy
—А/2
и из (3.81)
Л/2 Л/2
охх = ^У } yT{y)dy + -^~ j T(y)dy-aET(y). (3.82)
—А/2 —Л/2
Для деформации по (3.78) будем иметь:
ехх = - g - (6 СіУ + 2 С2);
= 4" (— 6М-СіУ — 2(хС'г) + а (1 фр)Г; егг = — - g - [бС^ + 2Ca — Да (1 + р)Г].
Перемещения будут найдены путем интегрирования уравнений Коши:
-§- = ТГ («С.»+2СЛ
|
(3.83) |
-0- = 4"(—6|іСі!/—2цСа) + о(1 + іі)Т(й;
а« . dv _____
а<Г + ах •
При этом будем иметь:
а = (6Ctf + 2С2) + h (у) + Бй
v = —g - (3СіУ2 - f - 2Сгу) + (x) - j - а (1 + (т) f Т (у) dy - j - D2. Третье из уравнений (3.83) примет вид
^-+Ш+Ш = о,
|
откуда |
|
бСхх |
f2(x) — A
/і {У) = —А
и, следовательно,
|
f2 (х) = Ах |
SCjX2 . а
F 1 ^3»
/і («Л = — Ay + D.
|
2х |
Таким образом, перемещения определяются по формулам:
а— g (ЗСіУ + С2) Ау-- Di,
v = —£ (ЗСіУ* + 2С2у) + Ах - Щ - + а (1 + (і) J T{y)dy + U2.
Отбрасывая члены, не влияющие на относительные деформации, получим:
U — - Jf {ЗСіУ + С2У,
v = —Н - (3Clf/2 + 2Сгу) - + а (1 + |л) J Т (у) dy.
Рассмотрим частный случай. Пусть Тх = Аху + Вх. В этом случае:
Тх = Еа J dy J (Ду + Вх) dy = Еа (-І - Ду3 + ~ Ду2 + Муу + Л7!.);
Фі= Ду3 + С2у3.
Формулы (3.67) дадут:
^ (Фі — ті) = 6ДУ + 2С2 — £а (Ду + Д); оуу = 0.
Для определения постоянных Сх и С2 имеем уравнения: j axxdF = 0; j oxxydF — 0.
<F) <F)
которые дают:
ДаДі ^ _______ ДаВі
Д — с I 2 — о
и, следовательно,
т. е. в этом случае полоса совершенно свободна от напряжений. Для деформаций формулы (3.78) дают:
ехх = 4" (6ДУ + 2Д) = Т (ЕаАіУ + ЕаВі) = « <АУ + Д) = ;
™ бо. dtf о.
ew— V*» дх + ду ’
и = dxT + /у (у) + 2а* (Ду + Д) + /у (у);
и = а (4 Ду2 + Ду) + U (х) >
где
h (У) = — Д + Д; fa (х) = Л* — - і аД*г + Da.
Отбрасывая члены, не влияющие на относительные деформации, получим:
и = ах (Аху + ВхУ,
v = а (4 Ду2 + Ду) — 4 aAix%-
Таким образом, в этом случае полоса, оставаясь свободной от напряжений, оказывается искривленной. Ее ось, когда перемещения и их производные малы (п. 1, гл. 3), обращается в параболу, а поперечные сечения остаются плоскими.
