СВАРОЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ И НАПРЯЖЕНИЯ
УРАВНЕНИЕ БЕЛЬТРАМИ—МИТЧЕЛЯ
Кроме уравнений равновесия и условий на поверхности должны быть выполнены уравнения совместности деформаций (3.5). Последние, выписанные через компоненты напряжения, называются уравнениями Бельтрами—Митчеля. Выведем эти уравнения с учетом температурных членов в предположении, что деформации остаются упругими. Для этого продифференцируем первое из уравнений (3.11) по х:
|
1—2р дх2 |
л ди »----------- 1 д2е 2оХ1+>1 а2 р _ Го) _ о (3 ] 8)
|
дх |
1 — 2р дх2
и выразим все входящие сюда члены через компоненты напряжения. Из соотношений (3.7) имеем:
о = о„ + <,т + е„=20 ТУ (Г-Г,)] =
= Мі(1.У 1«-3»(Г-ГЛ. (3.19)
43
|
откуда |
|
(3.20) |
|
с=жтШг+3“<7'-7’»>- |
Продифференцируем уравнения (3.11) по х, у, z и сложим. Это даст
Де= с(1 М-0 А(Т-То). (3.21)
і р
Из (3.19) имеем
Л о = 2°i _ 2р~ IД е — За Д (7* — Тд)]
или, учитывая (3.21), получим
Ао = ?1У ~Н MT-TJ,
откуда
Да„4сЦМ-£)С д(Т_То) (3 22)
1 [А
Далее, имея в виду (3.19), из первого соотношения (3.7) получим
|
ди Ж |
|
ра |
|
(3.23) |
|
2(1 +р )G |
|
2 а |
|
а (Г — Т0). |
|
Подставив в (3.18) выражения (3.20), (3.23) с учетом (3.22), получим первое уравнение Бельтрами—Митчеля. Аналогично получим еще два уравнения, которые в совокупности можно представить в виде: . , 1 д2о. 2 clG (1 - J - р) . ,гр гр ч. АР^+Тл7Т7жТ+ 1_р А(Т-Т0) + |
|
(3.24) |
1 + р дх2 + 2а G-
I 1 д2а
A Gyy Ч' J + ц ду2 -
+ 2а G-
-(Т-Т0)=о - гасо + р) д(Т_То) + -(Т— Т0) = 0;
|
Д (Т— Т0) + |
|
аа |
|
1 —р |
|
1 д2с 2aG(l+p) |
|
1 Ч р дг2 |
д2
+ 2аС-А^(Т-Т0) = 0.
Получим остальные три уравнения Бельтрами. Для этого сначала продифференцируем первое из уравнений (3.11) по у, а второе — по х и сложим. При этом получим
л _l dv > і 2 _ 4a (1 I p) d2 ,rp j, ч _ Q
ду ' dx )' l — Zy. дхду 1 — 2р, дх dy ' 0■'
|
Аналогично получим еще два уравнения. Имея в виду (3.20) и 1 - ЯЙ. ГГ Л2 2aG^r(T — To) = 0-, |
|
1 1 + li |
дхду 1 |
|
1 1 |
a2o . |
|
H-P |
dxdz ‘ |
|
. 1 111.. |
a2a. |
|
А Хху АТИ А Ти |
|
2а G |
|
дх ду &0ійг(7'-7'«)=с’ |
|
(3.25) |
|
(Т— Т0) = 0. |
|
ду дг |
|
Кроме трех уравнений равновесия и условий на поверхности компоненты напряжения должны удовлетворять шести уравнениям Бельтрами (3.24) и (3.25). |
