СВАРОЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ И НАПРЯЖЕНИЯ

ИСТОЧНИКИ НЕПРЕРЫВНОГО ДЕЙСТВИЯ

Точечный источник непрерывного действия

Возьмем бесконечно большое теплопроводящее тело и в его точке о, с которой совместим начало координат, в момент t = О поместим точечный источник интенсивности q, действующий не­прерывно в промежутке времени 0 «£ т С t. Обозначим его ин­тенсивность в промежуточный момент т через q (т). Температур­ное поле точечного источника непрерывного действия можно полу­чить наложением полей элементарных мгновенных источников, заполняющих интервал (0, /). Действительно, температурное поле мгновенного точечного источника с теплосодержанием dQ = — q (т) dr, помещенного в точке п в момент т, определится по формуле (2.3), если туда вместо t подставить время действия этого источника (/ — т). Суммируя температурные поля всех таких эле­ментарных источников, вносимых в точку о за период от т = О до т = t, получим температурное поле точечного источника не­прерывного действия:

Т (R t) = [______ <7 (т) dx п 4a (t—т)

J r. v Г4.ТТа (і — 1

су [4яа (t — т)]'

Для источника постоянной интенсивности будем иметь:

т^ = -^Ьггт<<2J>

Введя новую переменную

11 = 4a (t — т) ’ (2'8)

где при изменении т в пределах от 0 до t переменная ц изменяется в интервале

R2

получим

4>.я3/2 R J V-n

3L

4 at

R2

Вместо того чтобы интегрировать отдо оо, можем интегриро-

R2

вать от - щ до нуля, а затем от 0 до оо. При этом получим

Первый из этих несобственных интегралов равен У л, а второй

равен

где функция Ф называется интегралом вероятности Гаусса [102], который может быть представлен также в виде сходящегося бес­конечного ряда

(2.10)

(2.11)

Этот результат позволяет сделать следующие выводы:

а) температура в самом источнике бесконечна и вместе с уда­лением от него быстро падает в начальный момент процесса на­грева;

б) вместе с возрастанием времени действия источника кри­вые Т (R) становятся более пологими, приближаясь в пределе при t = оо к гиперболе

и, следовательно, температурное поле при длительном действии источника постоянной интенсивности стремится к предельному стационарному состоянию.

Температурное поле точечного источника в бесконечном тепло­проводящем теле можно использовать для изучения температур­ного поля, возникающего при сварке толстых пластин. При до­статочно большой толщине пластины ее можно рассматривать как полубесконечное теплопроводящее тело. Совместим коорди­натную плоскость хоу с граничной плоскостью полубесконеч - ного теплопроводящего тела, которую будем считать теплонепро­ницаемой.

Если в начале координат поместим точечный источник с ин­тенсивностью q, то температурное поле, вызываемое этим источ­ником в этом полубесконечном теле, можно рассматривать как часть температурного поля в бесконечном теплопроводящем теле при условии, что не будут нарушены условия на граничной пло­скости. Для этого достаточно полубесконечное тело продолжить в направлении г<0ив соответствующей точке о плоскости z = — —0 поместить источник такой же интенсивности q. Тогда гра­ничные условия не будут нарушены и температурное поле в полу­бесконечном теле с точечным источником с интенсивностью q на теплонепроницаемой граничной плоскости z = 0 будет яв­ляться частью температурного поля в бесконечном теле с точеч­ным ИСТОЧНИКОМ удвоенной МОЩНОСТИ 2(7 в плоскости 2 = 0.

Линейный источник непрерывного действия

Аналогично предыдущему, температурное поле линейного источника непрерывного действия С интенсивностью <7! (т) в мо­мент времени t можно найти суммированием температурных полей мгновенных линейных источников, заполняющих весь промежуток времени (0, і). При этом в соответствии с формулой (2.5) получим:

і г2

?1 СО dt _ Ла (/ х) 4nk(t — т)

В случае линейного источника постоянной интенсивности qt будем иметь:

(2|2>

о

Если ввести новую переменную

— г2

^ 4а (/ — т) *

то (2.12) примет вид

= & Ї (2.13)

гя

4at

Имея в виду, что

j -^rdu = Ei(u)

л конечном виде не берется [102], называется интегрально пока­зательной функцией, в нашем случае получим

4

В соответствии с этим (2.13) примет вид

[-£,(—£)]• <2Л4>

I С ЛII иметь в виду, что

гг

Е, (- и) = е-“ 2 (- l)ft + Я». (2-15)

ія«і<—гг~^;

1U I” '1 cos JL 1 1 2

U = Ue^;

Ф2 < я2,

то ясно, что при длительном действии линейного источника по­стоянной мощности qx температура па конечных расстояниях стре­мится к бесконечно большим значениям, а температурное поле стремится к плоскорадиальному полю линейного источника и удовлетворяет уравнению Лапласа для двумерной области с осевой симметрией

ЛГ=-Г1г('-^) = 0- <216>

Решением этого уравнения будет

2 пк

которое и определяет предельное температурное состояние.

Температурное поле линейного источника используется для изучения температурных полей, возникающих при сварке тонких пластин. Если из теплопроводящего тела вырезать пластину малой толщины h двумя плоскостями, нормальными к оси г, и в его эле­мент hdxdy в момент t = 0 ввести Q калорий тепла, то источник с интенсивностью

„ __ dQi __ 1 dQ /п 1 q-j

У1 ~йГ ~ ~h ~df (2Л8>

создаст температурное поле по (2.14) при условии, что граничные

h

плоскости z = ± - g - пластины непроницаемы для тепла.

Плоский источник непрерывного действия

Если плоский источник с интенсивностью q2 действует непре­рывно в течение промежутка времени (0, і), то создаваемое им температурное поле, аналогично предыдущему, можно найти сум­мированием температурных полей плоских источников мгновен­ного действия С интенсивностью <72 (т)> заполняющих весь проме­жуток (0, t). В соответствии с (2.6) будем иметь

Т (.х, О = [ —q;(т) d - е~ 40 (<-т) (2.19)

J су V4яа (t — т)

В случае источника постоянной мощности получим

t _

Т (х, і) = Ц=- f (t — ту-We ^40 (<~т) йх, (2.20)

су у 4тса g

т. е. температурное поле плоского источника непрерывного дей­ствия с постоянной интенсивностью в пределе при t —> оо стре­мится к стационарному линейному полю, удовлетворяющему урав­нению Лапласа для одномерной задачи

^ = 0, (2.21)

решением которого будет

Т(х, оо) = С-^х.

Температурное поле, создаваемое плоским источником непрерыв­ного действия, используется при изучении температурных полей, возникающих при сварке встык тонких стержней и узких полос.