СВАРОЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ И НАПРЯЖЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Во всем последующем будем рассматривать однородное тер­мически изотропное тело. Механические и теплофизические ха­рактеристики такого тела остаются соответственно одинаковыми во всех точках и направлениях при равномерной для всего тела температуре.

Пусть в это тело в некоторый момент времени вводятся источ­ники тепла. Они могут быть распределены непрерывно по всему телу или по его отдельным зонам. Выделяемое этими источниками тепло в силу теплопроводности будет постепенно распростра­няться по этому телу. Задача заключается в том, чтобы найти сово­купность значений температуры во всех его точках в любой после­дующий момент времени, т. е. найти температурное поле.

Обозначим через W (х, у, z, t) интенсивность этих источников, т. е. количество тепла, которое создается источниками в единице объема за единицу времени. При этом в элементе объема da> за промежуток времени dt совокупностью этих источников будет выделяться тепло

dQi = Wda> dt. (1.1)

В последующем не будем учитывать превращение механической энергии, возникающей в процессе деформации, в тепловую, т. е. будем рассматривать несвязанные температурные задачи дефор­мируемого тела [ 13 ]. При этом часть dQ2 тепла dQi останется в са­мом элементе, а другая часть dQs уйдет наружу через его поверх­ность, причем

rfQi = dQz + dQ3. (1.2)

Найдем сначала dQz. Предположим, что в точках рассматривае­мого элемента происходит повышение температуры в единицу дт

времени на - щ-. Тогда в объеме do за время dt будет аккумули­ровано тепло

dQ2 = cy~-d(bdt, (1.3)

где Y —■ удельный вес материала в кГ/см3; с — удельная теплоем­кость, т. е. количество тепла, необходимое для повышения тем­пературы единицы веса материала на 1°С.

Найдем теперь часть теплоты, уходящей из элемента. Для этого познакомимся сначала с некоторыми понятиями.

В нагретом теле. в данный момент времени существуют точки, имеющие одну и ту же температуру Т (х, у, z, t). Через эти точки можно провести поверхность, которая называется изотермической поверхностью. Проведя аналогичные поверхности через другие точки того же тела с одинаковыми в тот же момент времени тем­пературами, получим семейство изотермических поверхностей. Кратчайшим расстоянием между данной изотермической по­верхностью и бесконечно близкой к ней будет расстояние по нор­

мали. Направление нормали п к изотермической поверхности вместе с тем будет направлением наиболее интенсивного изменения температуры. Если возьмем две соседние изотермические поверх­ности Тх и Т2, расстояние по нормали между которыми беско­нечно мало и равно Ап, то средняя интенсивность изменения тем­пературы между ними

7 —Г2 _ АТ А п А п

Предел этого отношения, т. е.

АТ дТ

1 ini - т— = ,

Діг-4-O А« дп

называется градиентом температуры

т&т=%. (1.4)

Таким образом, в каждой точке температурного поля можно построить вектор, направление которого совпадаете направлением нормали к изотермической поверхности в той же точке, а его абсо­лютная величина равна относительному изменению температуры в том же направлении. За положительное направление этого вектора примем направление роста температуры. Совокупность таких векторов образует поле температурного градиента, которое вполне определяется семейством изотермических поверхностей. Величина —grad Т называется удельным перепадом температуры.

Удобно ввести понятие вектора теплового тока q в данной точке температурного поля, направление которого совпадает с направлением переноса тепла, а абсолютное значение равно интенсивности переноса тепла, т. е. количеству тепла, проходя­щему в единицу времени через единицу поверхности, выделенную около рассматриваемой точки и нормальную к направлению по­тока. Перенос тепла или поток тепла всегда происходит из области повышенных температур в область пониженных температур. Поэтому вектор q и вектор grad Т должны иметь прямо противо­положные направления. Опыт показывает, что интенсивность пере­
носа тепла или плотность теплового потока пропорциональна удель­ному перепаду температуры, т. е.

<7 = - Xgrad7 (1.5)

где X — коэффициент теплопроводности в калі см-сек-°С.

Рассмотрим теперь в той же точке элемент поверхности dS, нормаль к которой образует угол |3 с направлением градиента Т. Количество тепла, проходящее через этот элемент в направлении нормали к нему представится

dQ = —X (grad Т cos р) dS = —Я, gradn Т dS. (1.6)

Но по теореме Гаусса—Остроградского [50] для объема со, огра­ниченного поверхностью S, имеем

J J"(S) grad<--т dS = Ш«») div (grad« Г)d(0 = J J J to» A Tdc°.

где Л — оператор Лапласа.

Таким образом, для той части тепла, которая уходит из эле­мента, имеем

dQs = —X AT dio dt. (1.7)

Подставив (1.1), (1.3), (1.7) в (1.2), получим

(1.8)

или

%

где a =— коэффициент температуропроводности.

Уравнение (1.8) называется дифференциальным уравнением теплопроводности Фурье. Оно связывает изменения температуры в данной точке в зависимости от изменений времени и координат с мощностью источников, т. е. приводит искомую функцию Т (х, у, z, t) в соответствие с требованием закона сохранения энергии, выражением которого в данном случае является равен­ство (1.2). Искомая функция обязательно должна удовлетворять этому дифференциальному уравнению. Но этого недостаточно для однозначного определения температурного поля, так как остаются неучтенными начальное распределение температуры, от которого отсчитываются ее изменения в последующие моменты времени, и влияние внешних условий на характер температурного поля, передающееся через граничную поверхность рассматривае­мого тела. Таким образом, искомая функция должна удовлетворять как дифференциальному уравнению (1.8), так и начальным и гра­ничным условиям.

Во многих случаях источники тепла внутри тела отсутствуют и тепло подводится к нему извне через его поверхность или часть этой поверхности, начиная с момента времени / — 0. В каж­дом таком случае температурное поле в последующие моменты

времени будет удовлетворять однородному дифференциальному уравнению

= (1.9)

и соответствующим начальным и граничным условиям. При не­прерывном подводе тепла постоянной интенсивности через по­верхность тела в зависимости от его размеров может наступить момент времени, когда устанавливается неизменное во времени стационарное температурное поле, удовлетворяющее уравнению Лапласа

ДТ = 0. (1.10)