Физическая оптика

Световые волны в линейной изотропной среде

Дисперсия и поглощение света в линейной изотропной среде. Факты, под­тверждающие теорию дисперсии Лоренца. Методы изучения дисперсии и по­глощения света. Оптическая спектроскопия. Распространение светового им­пульса в диспергирующей среде.

Рассматривается распространение света в линейной однородной изотропной среде. Обсуждаются явления дисперсии и поглощения света. Анализируется распространение светового импульса в диспергирующей среде.

Дисперсия и поглощение света в линейной изотропной среде. Вза­имодействие света с линейной изотропной средой приводит к двум основным физическим эффектам: уменьшению фазовой скорости света в среде и погло­щению света. Выше мы рассмотрели эти эффекты, используя представление о среде как ансамбле гармонических осцилляторов (см. лекцию 7). Обсудим те­перь явления дисперсии и поглощения света на языке модели сплошной среды.

Оптические свойства линейной изотропной среды можно охарактеризовать комплексным показателем преломления (см. лекцию 18). Введем действитель­ную и мнимую части комплексного показателя преломления среды п с помо­щью формулы

п = п! — in". (19-1)

Подставив (19.1) в (18.31), получим следующее выражение для волнового чи­сла:

к = к' - ik", (19.2)

где параметры

к1 = ип'/с, к" = ит"/с (19.3)

имеют смысл действительной и мнимой частей волнового числа. Для того что­бы выяснить физический смысл этих величин, представим себе, что световая волна падает нормально на границу среды. В этом случае световую волну в среде можно записать в виде

Е = ехр[г(ш£ — kz)} 4- к. с, (19-4)

или, с учетом (19.2),

Е = if ехр(—k"z) exp[i(wt - к'z) - I - к. с. (19.5)

Из формул (19.1)-(19.5) следует, что мнимая часть показателя преломления определяет затухание световой волны, а действительная часть — скорость рас­пространения света в среде. А именно, записав фазовую скорость света в виде Уф = со/к', получим

Поскольку п' = п'(и), фазовая скорость зависит от частоты света. Это явление носит название дисперсии. Из (19.5) вытекает также закон поглощения света в среде (закон Бугера):

I = Ioexp(-dz), (19.7)

где коэффициент поглощения 6 определяется формулами

S = 2k" = W'/c. (19.8)

Используя формулу (18.32), можно выразить показатель преломления п' и ко­эффициент поглощения света 8 через комплексную диэлектрическую проница­емость среды є:

п'(ш) = Rеу/є(ш), (19.9)

8(и>) = —2(и/с)Іт/є(й). (19.10)

Здесь и — частота световой волны, с — скорость света в вакууме.

Вычислим показатель преломления и коэффициент поглощения света, ис­пользуя выражение для e(w), полученное в модели Лоренца. Введем обозначе­ние

и>р = /47г Ne2/m (19.11)

и перепишем формулу (18.57) в виде

£М = 1 + "а Ш}т • г - (19.12)

Uq - и2 + гиТ

Параметр <др имеет размерность частоты и называется “плазменной” частотой. Выделяя действительную и мнимую части є, преобразуем выражение (19.12) следующим образом:

u2(u% — и2 — га;Г)

= 1 + (Ы2-Ц;2)2+а,2Г2- (19ЛЗ)

Пусть среда является достаточно разреженной, т. е. величина N достаточно

мала. Тогда, как видно из (19.11) и (19.12), величина є мало отличается от единицы:

є = 1 + д, |д| < 1, (19.14)

следовательно, п = у/є и 1 4- д/2. В этом приближении

1 о>?(а>п — и2}

= 1+2Н^>™ <19Л5>

и2и2Т! с

5= (и2 - и2)2 + Ы2Г2 • (19-16)

Рассмотрим область частот вблизи резонанса, когда |ш-ыо| <Сшо - Полагая Uq — U2 РЗ 2uo(Uq — и), получим

<5(ю)

л

о'-лА

и

тс (шо — ш)2 + Г2/4'

Итак, формулы (19.17), (19.18), полученные с помощью модели Лоренца, опи­сывают дисперсию и поглощение света в разреженной линейной изотропной среде. Заметим, что выражение для коэффициента поглощения (19.18) совпа­дает с выражением (7.20), полученным выше для ансамбля осцилляторов. В частном случае Г = 0 формула для показателя преломления (19.15) переходит в формулу (7.47).

Обычно в оптике имеет место соотношение Г < шо. Типичные зависимо­сти 6(и>) и п'(си) для этого случая показаны на рис. 19.1. Как видно из этого рисунка, спектральная линия поглощения имеет ширину порядка Г, ее центр расположен на частоте ujq, форма линии лоренцева. Показатель преломления п'(ш) заметно отличается от единицы лишь вблизи полосы поглощения. Ниже мы будем обозначать показатель преломления буквой п (без штриха).

Нормальная и аномальная дисперсия. В зависимости от зна­ка производной дп/дш выделяют две области частот: область нормальной дисперсии, где показатель преломления возрастает с ростом частоты света (дп/дш > 0), и область аномальной дисперсии, где показатель преломления уменьшается с ростом частоты (дп/дш < 0). Как видно из рис. 19.1, область нормальной дисперсии расположена за пределами полосы поглощения, следо­вательно, она совпадает с областью прозрачности вещества. Значительно более узкая область аномальной дисперсии, напротив, расположена вблизи центра линии, т. е. там, где поглощение света максимально.

Спектр атомарного водорода 400 500 000 700

і__________________________________________ ___ і________ і__

Спектр натрия 500 600 700

I III I I I I 1 11

Спектр молекулярного иода Рис. 19.2. Примеры оптических Спектров

Силы осцилляторов. Реальные атомы обладают, как правило, не од­ной, а несколькими спектральными линиями поглощения (рис. 19.2). Если обо­значить частоты и ширйны этих спектральных линий соответственно через ujj и Tj, то выражение (18.57) для комплексной диэлектрической проницаемости среды можно обобщить следующим образом:

ґ і 4тгiVe2 v— ft

єИ = 1 + ТТ^гу

j 3 j

где параметры fj характеризуют относительные интенсивности различных спектральных линий и называются силами осцилляторов.

Обычно силы осцилляторов нормируют таким образом, чтобы их сумма бы­ла равна числу электронов на внешней электронной оболочке атома. Для ато­мов щелочных металлов, имеющих на внешней оболочке один электрон, усло­вие нормировки имеет вид

E/i = L

3

Например, для двух D-линий натрия силы осцилляторов равны

/(3251/2 - 32Р1/2) = 0,325,

Их сумма близка к единице, а вклад всех остальных переходов пренебрежи­мо мал. Дисперсия и поглощение паров натрия вблизи D-линий показаны на рис. 19.3. Экспериментальные данные о параметрах спектральных линий раз­личных атомов имеются в справочниках (см., например, [2-4]).

Показатель преломления плотных сред. Теория дисперсии, из­ложенная выше, предполагает, что на атом воздействует только поле световой волны, а влиянием полей, создаваемых соседними атомами, можно пренебречь. Очевидно, что такой подход применим лишь для достаточно разреженных сред, в которых атомы расположены на больших расстояниях друг от друга. Если же расстояния между атомами невелики, то создаваемое ими поле может быть соизмеримым со световым полем. Это обстоятельство требует внести в теорию соответствующую поправку. Здесь мы обобщим теорию дисперсии на случай сред произвольной плотности.

Как известно из электродинамики, эффективное поле, действующее в среде, отличается от внешнего поля Е на величину, пропорциональную поляризации среды Р, а именно

Дэфф — Е + —Р. (19.19)

Делая замену Е на Д, фф в модели Лоренца (18.47), получим уравнение

х + Гх + и$х= ~Д»ФФ - (19.20)

Из (19.19), (19.20) вытекает следующее уравнение для поляризации среды

Р — Nex:

-* л -* Nf -* 47г

Р + ГР + <4Р=— Р+^-Р). (19.21)

т 3 /

Рассмотрим световую волну элементарного вида — плоскую монохроматиче­скую. Подставив (18.19) и (18.20) в (19.21), получим соотношение между ком­плексными амплитудами поляризации и поля:

(wg - J1 + ішГ)Р = — (?+ ~v . (19.22)

т 3 /

Из (18.28) и (19.22) следует уравнение для оптической восприимчивости

(19.23)

т

а из (18.32), (18.56) и (19.23) — уравнение для показателя преломления

п2 - 1 4irNe2

(19.24)

п2 + 2 Зтп Шц — ш2 + гыГ

Итак, уравнение (19.24) учитывает то обстоятельство, что поле внутри среды отличается от поля падающей световой волны. Дополнительное поле в сре­де возникает за счет ее поляризации, т. е. за счет смещения зарядов по дей­ствием света. В предельном случае сильно разреженной среды, когда показа­тель преломления мало отличается от единицы, формула (19.24) переходит в формулу (18.57). В области прозрачности материала, определяемой условием |ш — wo| 2> Г, формула (19.24) приобретает вид

n’-l 4wNe2 1 (19 25)

п2 + 2 Зтп

и называется формулой Лоренц-Лоренца.

Факты, подтверждающие теорию дисперсии Лоренца. Классическая теория дисперсии Лоренца объясняет, по крайней мере качественно, целый ряд оптических эффектов. В частности, она правильно предсказывает зависимость показателя преломления от плотности среды и частоты света.

Рефракция. Зависимость показателя преломления от плотности среды описывается формулой Лоренц-Лоренца. Эта формула удобна для эксперимен­тальной проверки. Обозначим плотность вещества буквой р. Так как р ~ N, то из (19.25) следует, что величина

Ш) I <*«>

не должна зависеть от плотности. Параметр г, определяемый формулой (19.26), называется удельной рефракцией вещества. Опыт показывает, что для многих веществ (воздух, кислород, водяной пар и др.) удельная рефракция действи­тельно почти не зависит от плотности. Этот вывод подтверждается данными, представленными в табл. 19.1 и 19.2. Как видно из этих данных, даже при кон­денсации пара в жидкость удельная рефракция, как правило, изменяется всего на несколько процентов, в то время как плотность вещества изменяется при­мерно в тысячу раз. Таким образом, зависимость показателя преломления от плотности вещества, предсказываемая теорией Лоренца, хорошо согласуется с экспериментальными данными.

Нормальная дисперсия. Теория Лоренца предсказывает, что про­зрачные оптические материалы должны обладать нормальной дисперсией:

т. е. показатель преломления должен увеличиваться с ростом частоты света. В частности, на границе среды короткие волны должны преломляться сильнее, чем длинные. Это действительно наблюдается во всех прозрачных средах (воз­дух, вода, стекло и т. п.). В качестве примера можно привести опыт Ньютона (рис. 1.6), в котором стеклянная призма разлагает белый солнечный свет на цветные компоненты, причем коротковолновое излучение (фиолетовый цвет) преломляется призмой сильнее, чем длинноволновое (красный цвет).

Аномальная дисперсия. Существование аномальной дисперсии, пред­сказываемое теорией Лоренца, также подтверждается экспериментом. Как видно из рис. 19.1, аномальная дисперсия имеет место в узкой полосе частот вблизи центра линии поглощения. Поэтому ее экспериментальное наблюдение представляет собой довольно трудную задачу.

Схема демонстрационного опыта показана на рис. 19.4. Пучок белого света от дуговой лампы пропускается через пламя натриевой горелки, затем прохо­дит через призму с вертикальным преломляющим ребром и проецируется на экран. Сначала на экране видна яркая горизонтальная радужная полоска. По мере разогрева горелки и увеличения плотности паров натрия в желтой части спектра на экране все отчетливее проступает узкая темная полоса. Эта полоса соответствует спектральной линии поглощения атома натрия.

В хорошо прогретой натриевой горелке устанавливается пространственное распределение плотности паров, характеризуемое вертикальной неоднородно­стью. При этом пары натрия начинают действовать на проходящий через них пучок света подобно призме с горизонтальным преломляющим ребром. В итоге края радужной полоски вблизи полосы поглощения загибаются и расходятся

S7I

Рис. 19.4. Схема опыта по наблюдению аномальной дисперсии света в парах натрия. Справа показана картина, наблюдаемая на экране

один вверх, а другой вниз, как показано на рис. 19.4. Такая деформация спек­тра на экране и интерпретируется как проявление аномальной дисперсии (см. рис. 19.1 и 19.4).

Дисперсия в области низких частот. Рассмотрим дисперсию раз­реженной газообразной среды (п — 1 4С 1) в пределе низких частот (ш u>q). В этом случае, исходя из формулы (19.25), нетрудно получить следующее при­ближенное выражение для показателя преломления:

п - 1 = А(1 + В/А2), (19.28)

где А — длина световой волны, А и В — постоянные.

Формула (19.28) носит название дисперсионной формулы Коши. Экспери­ментальные измерения показывают, что она хорошо описывает дисперсию га­зов в видимой и инфракрасной областях спектра. Значения постоянных Л и В в дисперсионной формуле Коши для различных газов представлены в табл. 19.3. Сопоставление рассчитанных по этой формуле и наблюдаемых значений пока­зателя преломления воздуха дано в табл. 19.4.

Водород. Оценим параметры А и В для водорода. Используя формулы (19.15), (19.11), (19.28) и полагая Г = 0, о; «С и>о, получим

А = 2тг JVa0, В = Ajj,

где

Є2 27ГС

а° = zr~21 *о =----------------------------------------------------------- ,

mu>Q и>0

N — число атомов в единице объема, ао — поляризуемость атома на нулевой частоте, и>о — собственная частота колебаний электрона в атоме, е — заряд электрона, т — масса электрона, с — скорость света. Согласно модели ато­ма Бора (см. дополнение 9), величину и>о можно оценить по формуле hu>o = є, где є = те*/2ft2 = 13,6 эВ и ft — постоянная Планка. Отсюда для величины Ао получаем оценку: Ао = 10~5см. При этом ао = 0,7 х 10_24см3. При нор­мальных условиях N = Nq = 2,7 х 1019 см~3. Следовательно, А = 1,2 х 10~4, В = 10“10 см2. Результаты измерений подтверждают эти оценки (табл. 19.3).

Дисперсия в области высоких частот. Как видно из рис. 19.1, в пределе высоких частот излучения показатель преломления любой среды стремится к единице. Полагая n2+2=3Hw>w0.no формуле (19.25) получим

п2 = 1-^, (19.29)

иг

где частота шр, называемая плазменной частотой, определяется формулой

(19.11) : ojp = у/4ж Ne2/т. Здесь ей тп — заряд и масса электрона, N — число атомов в единице объема среды.

Оценим частоту шр, взяв в качестве N величину, характерную для конденси­рованных сред: N = 1022 см-3. Полагая е = 4,8 х 10_1° СГСЭ, т = 9,1 х 10-28 г, получим оценку Лр = 2жс/и>р = 0,3 мкм. Итак, плазменная частота для кон­денсированной среды лежит в ультрафиолетовом диапазоне.

Для рентгеновской области, где и> шр, по формуле (19.29) получаем сле­дующую оценку:

n = 1 — S, S С 1,

согласно которой показатель преломления среды близок к единице. Иначе го­воря, в рентгеновской области среды почти не обладают дисперсией.

Опыт подтверждает этот результат. Рентгеновское излучение проходит че­рез вещество и границы раздела сред, почти не испытывал отражения и пре­ломления. Физически это связано с тем, что инерция электронов не позволя­ет им отслеживать слишком высокочастотные колебания электромагнитного поля. Амплитуда вынужденных колебаний электронов в таком поле оказы­вается весьма мала, излучение и вещество взаимодействуют очень слабо. От­метим в этой связи, что указанное обстоятельство сильно осложняет созда­ние устройств рентгеновской оптики, аналогичных обычным призмам, линзам, зеркалам. В частности, сложно создать резонатор для рентгеновского излуче­ния — один из главных элементов рентгеновского лазера.

Форма спектральной линии. Формы спектральных линий реальных атомов и молекул отличаются большим разнообразием. Известны, однако, слу­чаи, когда наблюдаемая в эксперименте спектральная линия имеет простую лоренцеву форму. Такова, например, линия комбинационного рассеяния света в жидком азоте, показанная на рис. 19.5. Эта линия соответствует колебаниям ядер атомов в молекуле азота; она имеет частоту 2326,5 см-1 и полную шири­ну по полувысоте 0,058 см-1. Данная линия примечательна тем, что она имеет идеальную лоренцеву форму в динамическом диапазоне четырех порядков по величине сигнала. '

Итак, главным аргументом в пользу классической модели Лоренца явля­ется то, что предсказания этой модели хорошо согласуются с эксперименталь­ными фактами. Другой аргумент состоит в том, что эта модель находит свое подтверждение в квантовой теории. Квантовая теория показывает, что при не слишком сильных световых полях (когда можно пренебречь изменением засе­ленностей квантовых уровней энергии под действием света) динамика диполь­ного момента атома действительно описывается уравнением классического ос­циллятора. Таким образом, основной постулат модели Лоренца оказывается обоснованным. Подробнее о соотношении классической и квантовой моделей атома см. в дополнении 10.

Методы изучения дисперсии и поглощения света. Оптическая спек­троскопия. Зависимости коэффициента поглощения и показателя преломле­ния от длины волны света несут в себе ценную информацию о структуре и свойствах атомов и молекул, а также механизмах взаимодействия частиц в среде. Получение и анализ этой информации составляют предмет оптической спектроскопии. О том, насколько важны спектральные измерения в физике, красноречиво говорит тот факт, что именно спектроскопические исследования излучения нагретых тел и атома водорода сыграли решающую роль в возник­новении квантовой механики.

Простой способ измерения зависимости показателя преломления от длины волны был предложен Ньютоном и носит название метода скрещенных призм. В этом методе пучок белого света пропускается сначала через призму с верти­кальным преломляющим ребром, затем через призму с горизонтальным прело­мляющим ребром и образует на экране цветную изогнутую полоску (рис. 19.6). Расположение и форма этой полоски дают информацию о зависимости п(А) для материала обеих призм.

Наиболее чувствительные методы измерения дисперсии основаны на приме­нении спектрального прибора (призмы или дифракционной решетки) в сочета­нии с интерферометром. При этом исследуемое вещество помещается на пути одного из лучей интерферометра. Схема измерений показана на рис. 19.7, а. Типичная интерференционная картина, наблюдаемая в подобной схеме, пока­зана на рис. 19.7,5. На этой картине полосы интерференции вычерчивают в определенном масштабе зависимость п — 1 от А, т. е. дают непосредственно кривую дисперсии. Интерференционные методы особенно удобны для исследо­вания дисперсии вблизи полос поглощения вещества.

Схема измерения спектра поглощения света включает в себя источник све­та, спектральный прибор, исследуемый объект и систему регистрации излу­чения. Работу схемы можно продемонстрировать на установке, показанной на рис. 19.8. В этой установке луч света дуговой лампы проходит через стеклян­ную кювету с водой, затем через призму и падает на экран. В исходном по­ложении на экране видна яркая радужная полоска, в которой представлены все цвета спектра. Если теперь добавить в кювету раствор какой-либо погло­щающей свет жидкости (например, раствор марганцовки), то часть спектра на экране замещается темными линиями, которые и соответствуют спектральным линиям поглощения вещества.

Лазерная спектроскопия. Идеальным источником света для спек­троскопии является узкополосный перестраиваемый лазер. При использова-

нии такого источника отпадает необходимость спектральных приборов и схема измерений становится предельно простой: она содержит лазер, исследуемый объект и систему регистрации.

Разрешающая способность лазерного спектрометра определяется шириной спектра излучения лазера. При исследовании узких спектральных линий разре­шающая способность достигает величин порядка 108. В качестве примера мож­но привести спектр комбинационного рассеяния в жидком азоте, показанный на рис. 19.5. Этот спектр получен с помощью непрерывного перестраиваемого лазера на растворе красителя. Лазер на красителе (родамин 6Ж в этиленгли - коле) накачивается излучением аргонового лазера. Мощность излучения пере­страиваемого лазера составляет 200 мВт, ширина спектральной линии излуче­ния менее 40 МГц, область плавной перестройки длины волны от 570 до 620 нм. Отметим, что лазеры подобного типа обладают рекордно узкими линиями гене­рации в видимой области спектра (до 10 кГц) и являются одними из наиболее перспективных с точки зрения применения в спектроскопии высокого разре-

шения. Управление частотой излучения лазера на красителе осуществляется с помощью дисперсионного элемента (призмы или дифракционной решетки), вставленного в резонатор лазера (рис. 19.9).

На лекции демонстрируется лазер на красителе родамин 6Ж. В качестве накачки используется излучение второй гармоники (0,53 мкм) лазера на алю - моиттриевом гранате с неодимом. Система работает в квазинепрерывном ре­жиме с частотой повторения импульсов около 10 Гц. Луч лазера на краси­теле направляется на экран. Вращением микрометрического винта медленно перестраивают резонатор лазера. При этом хорошо заметно изменение цвета лазерного луча от желто-зеленого до оранжевого.

В инфракрасной спектроскопии применяют перестраиваемые лазеры других типов, а также параметрические генераторы света — специальные устройства для управления частотой света, основанные на эффектах нелинейной оптики (см. лекции 8, 22 и 23).

Помимо стандартной схемы, в лазерной спектроскопии применяют ряд дру­гих методов, основанных на специфических свойствах лазеров и лазерного из­лучения. Например, одним из самых чувствительных методов спектроскопии в настоящее время является метод внутрирезонаторной лазерной спектроско­пии. В этом методе кювету с исследуемым веществом помещают внутрь резо­натора лазера и измеряют мощность излучения как функцию длины волны. Другим высокочувствительным методом является оптико-акустическая спек­троскопия. В этом методе лазерный импульс проходит через кювету с иссле­дуемым веществом, в котором часть излучения поглощается. Атомы или моле­кулы, поглотившие свет, переходят в возбужденное состояние. Поскольку это состояние термодинамически неустойчиво, частицы быстро возвращаются в ис­ходное невозбужденное состояние, отдавая избыток энергии в поступательные степени свободы. В результате под действием лазерного импульса происходит быстрый локальный нагрев поглощающей среды и ее расширение, сопровожда­ющееся возникновением звуковой волны. Иначе говоря, поглощение импуль­са света сопровождается небольшим “щелчком”. Этот щелчок улавливается чувствительным микрофоном, встроенным в кювету. При изменении частоты излучения лазера сигнал с микрофона описывает спектр поглощения.

Существуют и другие методы лазерной спектроскопии, среди которых от­метим уже упоминавшиеся в нашем курсе методы фурье-спектроскопии (см. лекцию 11) и спектроскопии смешения (см. лекцию 17), а также методы не­стационарной (импульсной) спектроскопии (см. лекцию 7) и методы, основан­ные на явлениях нелинейной оптики. Следует отметить, что лазерная спек­троскопия быстро прогрессирует и находит новые интересные применения в таких областях как физика, химия, биология, медицина, контроль окружа­ющей среды. Методам и применениям лазерной спектроскопии посвящены книги [1; 5; 11; 13; 14].

Распространение светового импульса в диспергирующей среде. До

сих пор мы предполагали, что свет, распространяющийся в среде, имеет струк­туру плоской монохроматической волны. Теперь обобщим рассмотрение на слу­чай светового сигнала произвольного вида. Пространственную структуру поля будем по-прежнему моделировать плоской волной.

С физической точки зрения интересующий нас процесс представляется сле­дующим образом. Зависимость показателя преломления от частоты света при­водит к тому, что различные спектральные компоненты поля при распростра­нении через среду приобретают разные фазовые набеги. Результат суммиро­вания колебаний, естественно, зависит от распределения фаз. Поэтому форма выходного импульса, вообще говоря, отличается от формы импульса на вхо­де. Иными словами, в процессе распространения в диспергирующей среде све­товой импульс деформируется. Следует ожидать, что эта деформация будет максимальной в резонансных условиях, когда частота света близка к частоте собственных колебаний среды. О том, что деформация светового импульса в резонансной среде действительно может быть значительной, говорят данные, представленные на рис. 19.10.

Другой пример — распространение светового импульса в прозрачном опти­ческом волокне. В этом случае резонансный эффект отсутствует, однако иска­жение импульса может быть значительным из-за большой длины волокна. От­метим здесь, что анализ искажений импульсов в волокнах представляет прак­тический интерес в связи с проблемой передачи информации по оптическому волокну, оценкой информационной емкости канала связи и т. п.

Итак, попытаемся рассчитать форму светового импульса на выходе линей­ной диспергирующей среды Евых (t), если известны форма входного импульса EBX(t) и комплексный показатель преломления среды п(ш) (рис. 19.11).

Как отмечалось выше, решение этой задачи сводится к разложению входно­го импульса в интеграл Фурье, описанию распространения через среду отдель­ной монохроматической компоненты поля и суммированию полей на выходе. Данный подход основан на том, что среда линейна и, следовательно, каждая световая волна распространяется в ней независимо от всех остальных.

Монохроматическая световая волна. Как показано выше, рас­пространение плоской монохроматической световой волны в линейной изотроп­ной диспергирующей среде описывается формулой

Ё = if ехр {г [ut — к(ш)г]} + к. с., (19.30)

где £ — комплексная амплитуда поля, к(и>) — волновое число, зависящее от частоты света и и связанное с комплексным показателем преломления среды п(и) соотношением

к(ш) = — п(ш). (19.31)

с

Узкополосный световой сигнал. Ограничим рассмотрение случа­ем узкополосного импульса, т. е. предположим, что ширина спектра импульса много меньше несущей частоты:

Aw « w0, (19.32)

как показано на рис. 19.12. На временном языке это означает, что импульс должен быть существенно продолжительнее периода световых колебаний

тр » Т0. (19.33)

Поскольку в оптике Т0 = 10“14-10-15 с, условие (19.33) выполняется для им­пульсов длительностью Тр > 10~13 с.

Итак, пусть на вход отрезка диспергирующей среды длиной z поступает узкополосный световой сигнал вида

E0(t) = + к. с. (19.34)

Сигнал на выходе среды ищем в виде

E(t) = + к. с. (19.35)

Разложим амплитуды £o(t) и £(t) в интеграл Фурье:

ОО

£0(*) = i - J £0(ш)еіші(Ь, (19.36)

— ОО

оо

£(*) = i - J £(ш)е^дш, (19.37)

—оо

Тогда процесс распространения света можно описать формулой

£{ш) = £o(w) ехр [-ik(u)z]. (19.38)

Спектральная амплитуда £о(и) выражается через комплексную амплитуду входного сигнала £o{t) с помощью обратного преобразования Фурье:

I

ОО

£о(ш)= j £o(t)e~iutdt. (19.39)

— ОО

Таким образом, поставленная задача, в принципе, решена. Исходя из того или иного вида амплитуды входного сигнала £o(f), по формулам (19.37)-(19.39) можно найти амплитуду сигнала на выходе диспергирующей среды. Формулы

(19.37) -(19.39) выражают три последовательных этапа решения: фурье-анализ входного сигнала, преобразование спектральной компоненты поля диспергиру­ющей средой, фурье-синтез сигнала на выходе.

Частотный коэффициент передачи и функция Грина дис­пергирующей среды. Результаты решения становятся особенно нагляд­ными, если выразить их в терминах общей теории линейных систем. Введем частотный коэффициент передачи диспергирующей среды

Х(ш) = ехр [—ik(w)z] Тогда формулу (19.38) можно переписать в виде

£{ш) = £0(ш)х(и>).

Подставив (19.41) и (19.39) в (19.37), получим формулу, которая непосредствен­но связывает между собой амплитуды выходного и входного сигналов:

(19.42)

где

(19.43)

Формула (19.42) носит название интеграла Дюамеля, а функция h(t), определя­емая формулой (19.43), называется функцией Грина данной линейной системы. Видно, что частотный коэффициент передачи и функция Грина связаны между собой преобразованием Фурье.

Модели диспергирующих сред. Используя условие узкополосности сигнала (19.32) и не конкретизируя закон дисперсии среды (19.31), можно раз­ложить волновое число в ряд Тэйлора по степеням частоты в окрестности точ­ки cjq:

(19.44)

Здесь частота ш отсчитывается относительно и>о, и введены обозначения

(19.45)

Учитывая то или иное число членов ряда (19.44), мы будем получать различные модели диспергирующей среды. Наиболее важны модель среды с дисперсией первого порядка

к(и>) = ко + и}к'0

и модель среды с дисперсией второго порядка

(19.47)

Рассмотрим каждую из этих моделей отдельно.

Среда с дисперсией первого порядка. Фазовая и групповая скорости света. Подставив (19.46) в (19.40), (19.43), (19.42), получим

h(t) = 6(t - k'0z) ехр (-ikoz), £(t) = £0{t - k'0z) exp (-ik^z),

где S(t) — дельта-функция и

E(t) = ^e£o{t — k'0z) exp [i(u)ot — koz)] - I - к. с.

Формула (19.48) показывает, что в среде с дисперсией первого порядка узко­полосный световой импульс распространяется без изменения формы, однако скорость распространения импульса

отличается, вообще говоря, от фазовой скорости света в данной среде:

Wq

V =

ко n(wо)

Синусоида несущей частоты как бы “протягивается” через медленнее бегущую огибающую импульса (рис. 19.13). Скорость перемещения огибающей импульса в диспергирующей среде, определяемая формулой (19.49), называется группо­вой скоростью света. Именно эта величина определяет скорость движения световой энергии.

Понятие групповой скорости можно пояснить на простом примере бигармо - нической световой волны

Е = Acos(wit — kz) + Acos(w2t - k^z).

В этом случае поле можно представить в виде

где F(t) = 2А cos(Aut), Aw = (wi - w2)/2, Ak = {k - к^)/2, w = (wi+W2)/2, к = (k + At2 ) /2. Формула (19.51) показывает, что распространение бигармони-

ческой волны также можно охарактеризовать двумя скоростями: фазовой ско­ростью Уф = ш/к и групповой скоростью нгр = Аш/Ак. При этом фазовая скорость характеризует движение фазового фронта несущей, а групповая — движение максимума огибающей (рис. 19.14).

Итак, групповая скорость света есть скорость движения огибающей светово­го импульса (волнового пакета, “группы” волн) в диспергирующей среде. Под­черкнем однако, что понятие групповой скорости отнюдь не универсально. Оно имеет смысл лишь для узкополосных световых сигналов, распространяющихся в прозрачных средах. В резонансных условиях, когда световой импульс сильно искажается и поглощается средой, понятие групповой скорости неприменимо.

Исходя из (19.31), (19.49), (19.50), нетрудно получить следующее соотно­шение:

^ <19-52>

1 Н—д— п ош

Поскольку понятие групповой скорости применимо лишь к областям нормаль­ной дисперсии, в которых комплексный показатель преломления среды дей­ствителен и дп/ди > 0 (см. рис. 19.1), из формулы (19.52) следует, что группо­вая скорость света, вообще говоря, меньше, чем фазовая:

Vrp <С 1/ф.

Это означает, что модуляция световой волны и световая энергия, перемещаются в диспергирующей среде медленнее, чем несущая. Для вакуума (n = 1) фазовая и групповая скорости света одинаковы и равны с.

Среда с дисперсией второго порядка. Дисперсия группо­вых скоростей. Особенность сред с дисперсией второго порядка заключа­ется в том, что в таких средах групповая скорость зависит от частоты света или, как говорят, имеет место дисперсия групповых скоростей:

Угр — ^гр(ш).

Это непосредственно видно из формул (19.47),(19.49), согласно которым

1 дк, //

— = а~ =к0 + к0ш. игр ди>

Дисперсия групповых скоростей приводит к своеобразным физическим эффек­там, таким как дисперсионное расплывание световых импульсов образование импульсов с устойчивой формой огибающей, повторяющей их частотный спектр
(“спектрон”) и т. п. Это же обстоятельство позволяет создать на основе оптиче­ского волокна устройства для управления длительностью световых импульсов, в частности, генераторы предельно коротких импульсов света.

Подставив (19.47) в (19.40), (19.43), получим

ОО

h(t) = ~ ехр (-ikoz) J ехр ^ шв - г'іц;2То^ du,

— ОО

где

в = t — k'0z, т0 = Jkg z. (19.53)

Используя интеграл Пуассона

°о

J e~ax2dx = /іг/а,

— ОО

находим явное выражение для h(t):

Ч0 = аф(-ад^^). (19.54)

У/2-KITq

Подставив (19.54) в (19.42), получим окончательно

ОО

£(t) = ехр {-ikoz) f £0(т) ехр _ lJ! l dr. (19.55)

'2тгіт0 J V ^~o 4> /

Формула (19.55) выражает комплексную амплитуду сигнала в среде через ам­плитуду входного сигнала.

Дальная зона. Спектрон. Из структуры выражения (19.55) видно, что область изменения переменной интегрирования ограничена длительностью входного импульса ти0. Отсюда следует, что на достаточно больших расстояни­ях z, таких, что

2

7Г, (19.56)

2tq 2k^z

выражение (19.55) упрощается и приобретает вид

£(t) = ехр (-ikoz) 6-Xp-^t. f £o(т) exp (~івт/т$) dr. (19.57)

/2тгіТп J

Интеграл в (19.57) представляет собой преобразование Фурье от комплексной амплитуды входного импульса. Учитывая (19.39), выражение (19.57) можно переписать как

£{t) = ехр {-ikoz) £о{и)ш-д/т2 (19.58)

/2тт$

или, раскрывая обозначение то, как

£{t) = ехр i-ik0z) 6ХР/^ ^°Z~ £oML=0/*"z, (19.59)

V ■‘"'«'"■о*

где параметр в определяется формулой (19.53). Условие (19.56) можно представить в виде

2 2ДИС,

где

Т2

_ _ иО

**ТТИГ

(19.61)

£дис — характерная дисперсионная длина. Расстояния z, удовлетворяющие условию (19.60), назовем дальней дисперсионной зоной или просто дальней зо­ной. Тогда полученный результат можно сформулировать следующим образом: в дальней зоне световой импульс приобретает устойчивую форму, определя­емую спектром входного импульса. Такой импульс получил название “спек - грон” [17].

Дисперсионное расплывание импульса. Обозначим через До; ширину спектра входного импульса; эта величина связана с длительностью входного импульса т„о формулой

ти0Асо = 2п. (19.62)

Из соотношения со = в/к0г между в и со в (19.59) следует, что если величи­на Дсо характеризует ширину распределения £о(^), то величина Ав — Acok0z характеризует ширину распределения £(t), т. е. имеет смысл длительности им­пульса. Поэтому длительность светового импульса в дальней зоне можно найти по формуле

t„(z) = Atok0z. (19.63)

Формула (19.63) показывает, что длительность импульса линейно возрастает по мере увеличения расстояния, пройденного импульсом в диспергирующей среде. Этот эффект называют дисперсионным расплыванием импульса. Его можно наблюдать в средах с дисперсией второго порядка или, иначе говоря, в средах, обладающих дисперсией групповых скоростей.

Эффект образования спектрона в дальней зоне и его дисперсионное рас­плывание можно пояснить с помощью простой аналогии. Представим себе, что на длинную дистанцию бегут спортсмены, каждый из которых поддерживает свою постоянную скорость бега. Тогда независимо от того в каком порядке и с какими интервалами во времени они принимали старт, найдется такое рассто­яние, пробежав которое на первую позицию выйдет самый быстрый бегун, на вторую — второй по скорости и т. д., а последним окажется самый медленный. Начиная с этого момента, порядок следования бегунов уже не будет меняться, а расстояния и временные интервалы между ними будут постепенно возрастать. Со световым импульсом в диспергирующей среде происходит то же самое, толь­ко роль бегунов играют спектральные компоненты света, распространяющиеся в среде с разными скоростями.

Импульс в дальней зоне

Рис. 19.15. Пример трансформации светового импульса в оптическом волокне

Другой аналог рассматриваемого явления — фраунгоферова дифракция световых пучков. Это явление, напомним, состоит в том, что в дальней ди­фракционной зоне формируется устойчивое угловое распределение поля, по­вторяющее угловой спектр пучка, а поперечные размеры пучка увеличиваются пропорционально пройденной дистанции.

Для оценок удобно переписать (19.63) в следующем виде, приняв во внима­ние (19.61), (19.62):

тя(г) — TaQZ / Zpftc-

Рассмотрим в качестве примера распространение светового импульса в опти­ческом волокне. Для оптических волокон в диапазоне длин волн около 1 мкм характерной является величина k0 =3х 10-28 с2/см. Поэтому, если начальный импульс имеет длительность тио = 10-12 с, то дисперсионная длина, опреде­ляемая формулой (19.61), составит величину гДИС = 5 м. Если же длина во­локна равна, например, 50 м, то импульс на выходе будет иметь длительность r„(z) = 10~п с, т. е. произойдет его десятикратное дисперсионное расплывание.

В случае прямоугольного входного импульса длительностью тио импульс интенсивности в дальней зоне будет иметь вид

I(t) = /щах 8ІПС2 [7T0/r„(,z)],

где в = t — k'0z, r„(z) — длительность выходного импульса, определяемая формулой (19.64), нормировочная интенсивность /тах не зависит от времени (рис. 19.15).

Инварианты распространения. Если диспергирующая среда явля­ется прозрачной (оптическое волокно), то в процессе распространения светово­го импульса его энергия

(19.65)

и спектр

S(u) = £{u>)2

остаются постоянными, т. e. являются инвариантами распространения. Инва­риантность спектра вытекает из (19.40), (19.41), поскольку для прозрачной сре­
ды |х(^)| = 1- Инвариантность энергии следует из инвариантности спектра и равенства Парсеваля, согласно которому

ОО ОО

j £(t)2dt=± J S(u)cLj.

—оо —оо

Разумеется, инвариантом распространения является также ширина спектра импульса Аи>.