Физическая оптика

Дифракция и фокусировка гауссова пучка

Параболическое уравнение. Приближение квазиоптики. Решение параболиче­ского уравнения. Распространение и дифракция гауссова пучка. Фокусировка гауссова пучка. Размеры фокальной области линзы. Критерий применимости приближения квазиоптики.

Параболическое уравнение. Приближение квазиоптики. Будем опи­сывать распространение света скалярным волновым уравнением

(Д13.1)

Рассмотрим распространение ограниченного светового пучка. Предположим, что пучок обладает осевой симметрией. Тогда для описания процесса распро­странения достаточно двух цилиндрических координат: расстояние вдоль оси пучка z и расстояние от оси пучка г. Запишем поле пучка в виде

E(r, z) = a(r, z) cos[u>t — kz + <p(r, z)],

где a(r, z), p(r, z) — действительные амплитуда и фаза волны в пучке. Форму­ла (Д13.2) выражает тот факт, что световая волна гармоническая, и ось пучка направлена вдоль оси z. Поле вида (Д13.2) с переменными амплитудой и фазой называется пространственно-модулированной или квазиплоской волной. Отме­тим сразу, что такое поле не является точным решением волнового уравнения (Д13.1), поэтому ниже речь пойдет о построении приближенных решений.

Для дальнейшего удобно перейти к комплексному представлению

E = ^A(r, z)e*u*-kz) + k. c.,

где A(r, z) — комплексная амплитуда поля. Комплексная амплитуда содержит в себе информацию как о действительной амплитуде, так и о действительной фазе волны и связана с ними соотношениями

A = a?%4>, a=|.4|, ip — arg.4.

Согласно (Д13.3)

(Д13.5)

(Діз.6)

Допустим, что

Тогда можно пренебречь слагаемым д2А/дг2 в формуле (Д13.6). Подставляя (Д13.5), (Д13.6) в (Д13.1), учитывая формулу Д2/<? — к2 и условие (Д13.7), получим для комплексной амплитуды волнового пучка уравнение

ял і

^ + ^ДхЛ = °, (Д13.8)

где

д2 д2

А± = дх2 + ’ (Д13.9)

Дх — оператор Лапласа по поперечным координатам пучка, к— 2ж/ — вол­новое число, Л — длина’световой волны. Уравнение (Д13.8) называется пара­болическим уравнением. ..

Приближение, в котором справедливо параболическое уравнение (Д13.8), называется приближением квазиоптики. Согласно (Д13.7) это приближение оправдано, если производная амплитуды световой волны дА/дг относительно мало изменяется на расстоянии порядка длины световой волны. Более удобный для практики критерий мы дадим ниже. Здесь же отметим, что решение па­раболического уравнения (Д13.8) во всяком случае не должно противоречить условию (Д13.7).

Решение параболического уравнения. Представим комплексную ам­плитуду волнового пучка в виде пространственного разложения Фурье по по­перечным координатам пучка х, у:

оо 2 оо

A(f, z)= J АДг) ехр (гxr) d2х, A%(z) = J A(f, z) ехр (-гхг)сРг.

—оо —оо

^ (Д13.10)

Здесь г — радиус-вектор в поперечном сечении пучка, х — поперечная компо­нента волнового вектора. В более подробной записи г

ОО

Л(х, у, z) = JJ АХх tXy (z) ехр [i{xxx + хуу) dxx dxy,

— ОО

2 00

A*.,xy(z)= JJ A(x, y,z)exp[-i(xxx +xyy)]dxdy.

Подставляя (Д13.10) в уравнение (Д13.8), получим следующее уравнение для фурье-амплитуды пучка АДг):

где х? = х2 + х2. Решение уравнения (Д13.12) имеет вид

Az(z) = A%(z = 0)exp (ixiz/2k). (Д13.13)

Формула (Д13.13) описывает преобразование пространственных фурье-ампли-

As(z = 0) — спектральная амплитуда волнового пучка в начальном сечении z = 0. Она выражается через начальное распределение комплексной амплиту­ды пучка A(r, z = 0) = Ао(г):

2 °° ■ ’

As(z = 0)=(^) / МПе-^г. (Д13.14)

— ОО

Подставляя (Д13.14) в (Д13.13) и далее (Д13.13) в (Д13.10), можно получить формулу, связывающую комплексную амплитуду пучка Ао(г) в начальном се­чении г = 0с амплитудой A(r, z) на произвольном расстоянии z:

ОО

A(r, z) = J Ao{f')H(r-r',z)cPr'. (Д13.15)

-оо

Здесь функция Н(г, z) называется функцией Грина свободного пространства и определяется формулой

я<?'г) = ^“р('^)' W1316)

где г2 = х2 + у2. Формулы (Д13.15), (Д13.16) дают общее решение параболиче­ского уравнения (Д13.8).

Распространение и дифракция гауссова пучка. Теперь конкретизиру­ем вид комплексной амплитуды пучка в плоскости 2 = 0. Положим

Ло(г) = А0ехр(-г2/2р1), А0 = const. (Д13.17)

Согласно (Д13.17) волновой фронт исходного пучка плоский, а распределение интенсивности в поперечном сечении имеет вид гауссовой кривой

7о(г) = Іо ехр(-г2/рі). (Д13.18)

Пучок такого вида называется гауссовым. Гауссова модель наиболее удобна для расчетов.

Поперечный размер пучка будем характеризовать радиусом (полушириной) по уровню интенсивности, равному е-1 максимальной интенсивности. Таким образом, согласно (Д13.18), радиус исходного пучка равен

ро = HWe-'M. (Д13.19)

Эта запись означает, что ро равен полуширине (радиусу) пучка по уровню интенсивности е-1 относительно максимума, а для сокращения использованы первые буквы английских слов “half width е-1 maximum”.

Рассмотрим теперь как будет меняться пучок в процессе распространения. Для этого подставим (Д13.16) и (Д13.17) в (Д13.15) и выполним интегрирова­ние. Получим

Формула (Д13.20) является основной и позволяет рассчитать характеристики пучка (волновой фронт, профиль интенсивности, радиус) в произвольной точ­ке г. Прежде чем написать соответствующие формулы, обратим внимание на то, что в формуле (Д13.20) фигурирует характерная длина, равная kpl. Назо­вем эту длину дифракционной длиной пучка и обозначим

kpl = 2Д.

По принятой в оптике терминологии величину

D = zjzA

называют волновым параметром, а обратную величину

-^ф = zjz

называют числом Френеля.

В соответствии с (Д13.20) действительные амплитуда а и фаза <р пучка равны

где обозначено

p(z) = poJl + (z/zn)2

R(z) = z(l + z2/z2), Полное электрическое поле

E(r, z) 2 Aop(z) x

Интенсивность излучения

Формулы (Д13.26), (Д13.27) выражают основной результат данного пункта. Они описывают электрическое поле и интенсивность гауссова светового пучка в произвольной точке с координатами г, г. Из (Д13.26), (Д13.27) следует, что в процессе распространения пучок сохраняет гауссову форму профиля интен­сивности, т. е. на любых расстояниях остается “гауссовым”. Радиус пучка p(z) монотонно увеличивается с ростом z (т. е. пучок расширяется — см. рис. Д13.1), а интенсивность, наоборот, уменьшается, так что полная мощность пучка оста­ется неизменной:

ОО

Рис. Д13.1. Дифракционное расплывание и трансформация волнового фронта гаус­сова пучка, распространяющегося в свободном пространстве: в — (kpo)~l — угол ди­фракционной расходимости пучка в дальней зоне, гД = кр2 — дифракционная длина пучка, ро — начальный радиус пучка, к = 2к/ — волновое число, А — длина волны

Покажем, что параметр R{z) в формулах (Д13.24)-(Д13.26) имеет смысл ра­диуса кривизны волнового фронта гауссова пучка в приосевой зоне. Для этого рассмотрим сферическую волну

Е = ——— ехр — А:Д)] + к. с., R = у/z2 + г2. (Д13.29)

R

В области, где

г2 » г2, (Д13.30)

справедливы приближенные формулы: Д«ги

const г2

Е=—— ехр[г(ші - kz - к—-)] + к. с. (Д13.31)

К 2 Н

Сравнивая формулы (Д13.26) и (Д13.31) видим, что параметр R(z) в (Д13.26) имеет смысл радиуса кривизны волнового фронта. Зависимость кривизны вол­нового фронта от пройденного гауссовым пучком расстояния z, вычисленная по формуле (Д13.25), показана на рис. Д13.2.

vR(z)

0,5

Рис. Д13.2. Изменение кривизны волнового фронта гауссова светового пучка при рас­пространении в свободном пространстве

Фокусировка гауссова пучка. Действие тонкой сферической линзы на световой. пучок математически можно описать с помощью комплексного ко­эффициента передачи Л(г), зависящего от поперечной координаты пучка г. А именно, можно написать

Лі (г) = А(г)А0(г)

где Ао(г) и Лі (г) — распределения комплексных амплитуд световой волны вдоль радиуса пучка г соответственно на входной и выходной поверхностях линзы. Так как линза не изменяет распределение интенсивности, а лишь ис­кривляет волновой фронт пучка, положим

Л(г) = ехр (ikr2/2f),

где к — волновое число световой волны, / — фокусное расстояние линзы. Формула (Д13.33) написана по аналогии с множителем exp(—ikr2/2R), описы­вающим кривизну волнового фронта в формуле (Д13.26). За радиус кривизны волнового фронта пучка, вносимой линзой, естественно принять ее фокусное расстояние. Знак “+” в показателе экспоненты в (Д13.33) соответствует вогну­той форме волнового фронта пучка, прошедшего линзу, т. е. описывает действие фокусирующей (выпуклой) линзы.

Пусть слева на линзу, расположенную в плоскости z = 0, падает гауссов световой пучок с плоским волновым фронтом и комплексной амплитудой, опре­деляемой формулой (Д13.17). Тогда в соответствии с (Д13.32), (Д13.33), ком­плексная амплитуда пучка на выходе из линзы будет равна

2/ 2 /=>(*) = Ро

Как и для фундаментального гауссова пучка, электрическое поле и интенсив­ность излучения можно записать в виде (Д13.26), (Д13.27), однако для сфо­кусированного пучка параметры p(z), R(z), а выражаются теперь формулами (Д13.40), (Д13.41). Итак, фокусировка гауссова пучка полностью описана. На практике удобно записывать формулу для радиуса гауссова сфокусированного пучка в виде

Р (z) - Poi1 - z/f) + (г/крої, к - 2тг/А.

Обобщение этой формулы на случай пространственно-некогерентного падаю­щего пучка с радиусом ро и поперечным радиусом когерентности рко имеет вид

Р (z) = Poi1 - z/f)2 + (z/k)(1/Ро + !/Рко)-

Размеры фокальной области линзы. Как видно из формулы (Д13.40), минимальный радиус сфокусированного пучка (перетяжка) достигается в точ­ке 2 = zw, где

Таким образом, точка перетяжки пучка расположена немного левее фокуса. Согласно (Д13.41), в этой же точке обращается в ноль кривизна волнового фронта пучка. В точке перетяжки радиус пучка равен

р- = Ро~7тГгГГ^' (Д13‘45)

Л + (//2д)2

а в точке фокуса

Pt = P0 — - (Д13.46)

Z

Обычно в оптике хорошо выполняется условие

(f/za)2 « 1. (Д13.47)

Поэтому с хорошей степенью точности можно считать, что точка перетяжки пучка находится в фокусе. Радиус фокального пятна определяется формулой (Д13.46) или, с учетом (Д13.40),

Pf = kio (Д13.48)

Соответственно площадь фокального пятна

Sf = 7rpf2. (Д13.49)

По мере удаления от фокуса площадь поперечного сечения пучка S(z) = np2(z) нарастает и в точках

*1,2 = /±5 (Д13.50)

становится вдвое больше площади фокального пятна, т. е. ,

p2(Zl) = p2(z2) = 2 pi (Д13.51)

Величина Ь в формуле (Д13.50) определяется выражением

Л

kpl

и называется конфокальным параметром. Физический смысл этой величины — расстояние между плоскостями, расположенными симметрично относитель­но фокуса, на которых площадь поперечного сечения сфокусированного пуч­ка вдвое превышает площадь фокальной перетяжки. Общая картина фокуси­ровки гауссова пучка дана на рис. Д13.3. В заключение этого раздела рас­смотрим численный пример. Пусть Л = 0,5 мкм, / = 10 см, ро = 0,1 см. Тогда к = 2-к/Х = 1,3 х 105 см-1, и по формулам (Д13.40), (Д13.48), (Д13.52) получа­ем гд = 13 м, pf = 0,8 х 10~3 см, Ъ = 0,16 см.

Критерий применимости приближения квазиоптики. Опираясь на решения параболического уравнения, данные выше, можно показать, что усло­вие (Д13.7) выполняется в пределах пучка (г < р) для не слишком узких и

достаточно когерентных световых пучков, чьи характерные поперечные разме­ры (радиус р и поперечный радиус когерентности рк) значительно превышают длину световой волны:

Р, Рк » А. (Д13.53)

Для излучения тепловых источников, обладающего малым радиусом когерент­ности рк, условие (Д13.53), вообще говоря, выполняется не всегда. В то же вре­мя для когерентных лазерных пучков условие (Д13.53) как правило хорошо выполняется. Поэтому квазиоптическое приближение, существенно облегчаю­щее описание дифракционных эффектов, широко применяется на практике, и в первую очередь для решения задач лазерной оптики.