Физическая оптика

Интерференция света

Интерференционные явления в оптике. Опыт Юнга. Интерферометр Май­кельсона. Интерференция монохроматических волн. Интерференция немоно­хроматического света. Интерференция случайной световой волны. Многолу­чевая интерференция. Интерферометр Фабри-Перо. Собственные моды и до­бротность лазерного резонатора.

Лекция посвящена интерференции света. Описаны опыты по наблюдению интерференции. Обсуждается физическая природа явления. Излагаются осно­вы теории интерференции. На примере интерферометра Фабри-Перо рассма­триваются особенности многолучевой интерференции. Сделана оценка доброт­ности лазерного резонатора.

Интерференционные явления в оптике. Если при наложении двух све­товых пучков интенсивность света на экране оказывается не равной сумме ин­тенсивностей, а периодически меняется от точки к точке, образуя систему тем­ных и светлых линий, то говорят, что имеет место интерференция света.

Принцип наблюдения интерференции иллюстрирует рис. 11.1. Два однород­ных световых пучка сводятся на экране и образуют систему темных и светлых линий — интерференционную картину. Подобный опыт можно осуществить, используя пучки лазерного света. Опыт показывает, что в пределах темных полос на экране два световых пучка практически полностью гасят друг друга. Коротко, интерференцию света можно определить как явление, в котором

свет + свет = темнота.

Интерференция света весьма тонкое физическое явление, которое редко на­блюдается в обыденной жизни. Так, из опыта хорошо известно, что если комна­та освещается двумя лампочками, то освещенность в любой точке равна сумме

освещенностей, создаваемых каждой лампочкой отдельно. Этот эксперимен­тальный факт, который можно назвать законом сложения интенсивностей, имеет место для независимых источников света (ламп, свечей и т. п.). Оказы­вается, однако, что возможны ситуации, когда закон сложения интенсивностей нарушается. Так бывает, если накладываются пучки света, исходящие из од­ного и того же источника, но прошедшие разные оптические пути. Опыт пока­зывает, что при определенных условиях наложение таких пучков дает распре­деление интенсивности света в виде чередующихся темных и светлых полос — так называемую интерференционную картину.

Интерференция как волновое явление. Если допустить, что свет представляет собой волну, то явление интерференции легко объяснить. В са­мом деле, если складываются две одинаковые сферические волны, то в неко­торых точках пространства колебания усиливают друг друга, в то время как в других точках, напротив, колебания взаимно гасятся. Это легко наблюдать в опыте с волнами на поверхности жидкости (рис. 11.2). В плоскую стеклянную кювету налита вода. С помощью специального вибратора два вертикальных стержня с шариками на концах периодически касаются поверхности воды, воз­буждая волны. Наложение волн дает интерференционную картину, которую можно наблюдать на экране, используя просвечивающее кювету стробоскопи­ческое освещение, синхронизованное с колебаниями вибратора.

Опыт Юнга. Можно ли наблюдать интерференцию в в оптике? Положи­тельный ответ на этот вопрос был получен в опыте Юнга (1801 г). Схема опыта показана на рис. 11.3. В этом опыте свет от источника S проходил через ма­ленькое отверстие в экране Qi, затем падал на экран Q3 с двумя маленькими отверстиями, разнесенными на некоторое расстояние. Прошедший через отвер­стия свет падал на экран Q3, где и наблюдалась интерференционная картина.

Как видим, схема опыта Юнга очень похожа на схему наблюдения интер­ференции волн на поверхности воды. Если свет, испускаемый отверстиями в экране Q2, представляет собой волны, то на экране Q3 должно наблюдаться чередование темных и светлых полос, т. е. интерференционная картина.

Опыт подтвердил это предположение. Сначала Юнг пропустил солнечные лучи в темное помещение и на их пути расположил два экрана: темный с двумя точечными отверстиями и белый (на некотором расстоянии позади первого). По обе стороны от яркой линии на белом экране он увидел две темноватые полоски, что привело к решению повторить опыт. На этот раз в качестве источника света он использовал спиртовую горелку, добавив в ее пламя небольшое количество поваренной соли для получения яркого желтого излучения натрия. На экране возникла картина из регулярно расположенных темных полос (рис. 11.3, б).

Ьу'ЛУ'

Т' 1 К'J! ‘ -' // /

«2

б)

Рис. 11.3. Опыт Юнга. Схема опыта (о), фрагмент наблюдаемой интерференционной картины (б)

Опыт Юнга явился первым убедительным доказательством того, что на­ложение света может образовать темноту. Наблюдение интерференции в опы­те Юнга послужило экспериментальным доказательством волновой природы света.

Задачи теории интерференции. Теория интерференции должна, с одной стороны, дать детальное описание результатов опыта Юнга и других ин­терференционных опытов, а с другой стороны, объяснить, почему при наложе­нии пучков света от независимых источников интерференция не наблюдается, а имеет место закон сложения интенсивностей. Забегая вперед, укажем, что последнее связано со сложной, случайной структурой светового поля, созда­ваемого обычными (нелазерными) источниками света. Свет таких источников образуется в результате наложения огромного числа элементарных сфериче­ских волн, испускаемых независимыми осцилляторами (атомами) и вследствие этого сильно отличается по своей структуре от идеальной гармонической вол­ны. Поэтому в теории интерференции мы будем использовать представление о случайном световом поле и методы статистического описания световых по­лей. Развивая теорию интерференции, мы придем к важному понятию коге­рентности света.

Когерентность света. Исторически понятие когерентности света воз­никло в связи с интерференционными опытами. Было выяснено, что появление интерференционной картины в опыте Юнга зависит от того, какой свет па­дает на экран Qi с двумя точечными отверстиями. Если это свет точечного источника, каковым является маленькое отверстие в экране Qi (рис. 11.3), то интерференция есть. Если же это свет от протяженного источника или свет, рассеянный матовой пластинкой, то интерференции нет. Когерентностью и бы­ла названа способность света давать интерференционную картину.

Ясно, что когерентность связана со структурой света. Ниже мы увидим, что когерентный свет — это свет, структура которого близка к плоской или сфе­рической гармонической волне. Иначе говоря, это свет с высоко упорядоченной структурой. В противоположность этому некогерентный свет, т. е. свет, не способный давать интерференцию и подчиняющийся закону сложения интен­сивностей, имеет структуру хаотически модулированной волны.

Интерферометр Майкельсона. В конце XIX в. американский физик Аль­берт Майкельсон выполнил серию важных оптических экспериментов. Наибо­лее известны его опыты по измерению скорости света (см. ч. I), а также опыты по интерференции света, проведенные на специально созданном приборе, полу­чившем позднее его имя. На интерферометре Майкельсона был проведен знаме­нитый опыт, показавший, что скорость света относительно поверхности земли одинакова в направлении движения Земли по ее орбите и в перпендикуляр­ном направлении. Убедительность и высокая точность экспериментальных ре­зультатов Майкельсона позволили установить важный физический принцип — принцип постоянства скорости света, согласно которому скорость света оди­накова во всех направлениях и не зависит от движения источника. На основа­нии этого принципа Альберт Эйнштейн создал теорию относительности.

Схема интерферометра Майкельсона показана на рис. 11.4. Интерферометр работает следующим образом. Пучок света от монохроматического источни­ка направляется на светоделительную пластину, где делится на два пучка — прошедший и отраженный — примерно одинаковой интенсивности. Пройдя не­которые расстояния, эти пучки попадают на зеркала, отражаются ими в обрат­ных направлениях и вновь падают на делительную пластину. Пластина снова частично отражает и частично пропускает свет, в результате чего образуется пучок света, представляющий собой смесь пучков, прошедших через разные плечи интерферометра. Этот пучок света наблюдается на экране. Двигая одно из зеркал интерферометра в направлении падающего на него светового пуч­ка, можно изменять оптическую разность хода лучей и наблюдать изменение интерференционной картины.

Светоделительная пластина представляет собой плоскопараллельную сте­клянную пластину, покрытую с тыльной стороны тонкой пленкой серебра. Пленка серебра настолько тонка, что она частично отражает и частично про­пускает свет. Таким образом, пластина играет роль полупрозрачного зеркала.

Интерференция монохроматических волн. Пусть источник света на­правляет в интерферометр Майкельсона плоскую монохроматическую свето­вую волну вида

Ео = Aq cos(u>t — kz). (11-1)

Обозначим через Ди Т коэффициенты отражения и пропускания света (по ин­тенсивности) делительной пластинкой. Пренебрегая поглощением света в пла­стинке, можно записать

R + T= 1. (11.2)

Так как амплитуда А плоской монохроматической волны связана с ее интен­сивностью I формулой (см. ч. I)

(п'3)

коэффициенты отражения и пропускания света делительной пластинкой по амплитуде световой волны будут равны, соответственно, л/R и л/Т.

На пути от источника света до плоскости наблюдения световая волна де­лится на две волны, причем каждая из этих двух волн по одному разу про­пускается и по одному разу отражается делительной пластинкой. В итоге на выходе интерферометра образуется световая волна вида

Е = VRTAo [cos(cj£ - kl) + cos(u>t — W2)], (11-4)

где 11 и I2 — длины плеч интерферометра, или

Е = A cos(wf — kl), (11-5)

где

A = 2VrTA0cos{6/2), / = (іі+і2)/2. (11.6)

Величина 6 имеет смысл разности фаз волн, прошедших разные плечи интер­ферометра:

27Г

6 = *Д, Д = її -12, к = —. (11.7)

Л

Полагая

R = T = 1/2 (11.8)

и используя формулы (11.3)—(11.7), интенсивность света в плоскости наблюде­ния можно представить в виде

1= ^r0(l + cos<5), (11.9)

где lo — cAq/8tt — интенсивность световой волны на входе интерферометра.

Если одно из зеркал интерферометра Майкельсона, установленное на са­лазках, смещается на расстояние Az, то разность хода лучей изменяется на

Д = 2Дz, а разность фаз 6 — на 2лД/Л. На рис. 11.5 показана зависимость ин­тенсивности света I на экране наблюдения от S для случая падающей плоской монохроматической волны. Из рисунка видно, что в максимуме при

интенсивность прошедшего света I становится равной интенсивности падаю­щего света /о - Иначе говоря, при условии (11.10) интерферометр Майкельсона полностью пропускает падающую на него плоскую монохроматическую свето­вую волну. Напротив, в минимуме при

<5 = (2т + 1)тг, т = 0,1,2,... (11-11)

интенсивность прошедшего света оказывается равной нулю. Это означает, что падающая плоская волна полностью отражается назад в источник.

Отсюда следует, что интерферометр Майкельсона может служить филь­тром, пропускание которого зависит от длины волны, или селективным по дли­нам волн отражателем света. В этой последней роли он часто используется для селекции мод в лазерах.

В случае расходящегося падающего излучения разность хода двух волн за­висит от угла падения (рис. 11.6). В этом случае на экране наблюдения возни­кает интерференционная картина, состоящая из чередующихся темных и све­тлых колец, концентричных с осью симметрии системы. Смещение какого-либо из зеркал приводит к изменению диаметра колец.

В случае параллельного падающего пучка света, но слегка наклоненных зеркал интерферометра или делительной пластинки интерференционная кар­тина состоит из параллельных полос, которые сдвигаются в перпендикулярном полосам направлении при изменении разности хода лучей Д.

Интерферометр Майкельсона можно использовать для абсолютного изме­рения длин световых волн. Для этого нужно подсчитать число N максимумов, возникающих на экране наблюдения при смещении подвижного зеркала интер­ферометра на известное расстояние Az. Тогда длина волны

Mj

R

б)

Рис. 11.7. Интерферометр Майкельсона (а) и его эквивалентная схема (б). Пунктиром показано положение референтной плоскости

А = 2 Az/N.

Эта техника использовалась для очень точных измерений длин волн излучения лазеров.

Референтная плоскость. Нарис. 11.7, а показана упрощенная схема интерферометра Майкельсона, а на рис. 11.7,5— эквивалентная схема, в ко­торой вместо зеркала Mi введена так называемая “референтная плоскость”, занимающая место изображения зеркала Мі в длительной пластинке.

Из рис. 11.7, б видно, что для анализа работы интерферометра Майкельсона достаточно рассмотреть интерференцию волн, отраженных референтной плос­костью R и зеркалом Мг - Иначе говоря, возникает задача об интерференции волн, отраженных гранями плоскопараллельной пластинки.

Полосы равного наклона. Пусть плоская монохроматическая све­товая волна падает на плоскопараллельную пластинку, обе грани которой ча­стично отражают свет (рис. 11.8). Подсчитаем оптическую разность хода лучей Д, отраженных передней и задней гранями пластинки.

Обозначим толщину пластинки h, угол падения света а, угол преломления 0, показатель преломления материала пластинки п. В силу закона Снеллиуса

sin а = п sin 0.

Так как фазовый набег световой волны в среде пропорционален показателю преломления п (см. ч. IV), Искомая разность хода лучей есть

Д = 2АВп - AD.

Из рис. 11.8 видно, что

AD = ACsvaa, АС = 2АВ sin 0, AB = h/cosa. (11.15)

Д - 2/m cos /3. (11.16)

Формулы (11.13), (11.16) показывают, что разность хода лучей, отраженных гранями плоскопараллельной пластинки, зависит от угла падения света на пла­стинку (“угла наклона”). Поэтому при падении на пластинку расходящегося светового пучка образуется интерференционная картина, называемая “полосы равного наклона”. В частности, в случае осесимметричного лазерного пучка интерференционная картина имеет вид системы концентрических колец. Эту картину можно наблюдать с помощью интерферометра Майкельсона, исполь­зуя в качестве источника света гелий-неоновый лазер (рис. 11.6).

Полосы равной толщины. Если одно из зеркал в интерферометре Майкельсона (рис. 11.7, а) слегка отклонено так, что плоскости зеркал М и Мг не являются взаимно перпендикулярными, то референтная плоскость R (напомним, это плоскость, занимающая место изображения зеркала М в де­лительной пластине) и зеркало будут не параллельны друг другу, образуя кал бы грани клиновидной пластинки.

Картина отражения параллельных световых лучей от граней клина пока­зана на рис. 11.9. Разность хода лучей в этом случае приближенно описыва­ется той же формулой (11.16), где h — толщина пластинки в том месте, где происходит отражение света. Так как величина h меняется вдоль клиновид­ной пластинки, получающаяся интерференционная картина получила название “полосы равной толщины”.

На лекции демонстрируется работа лазерного интерферометра Майкельсо­на. Схема интерферометра показана на рис. 11.4. В качестве источника света используется гелий-неоновый лазер. Интерференционная картина наблюдается на экране или потолке аудитории. Одно из зеркал демонстрационного интерфе­рометра установлено неподвижно, второе — закреплено на салазках и может перемещаться вдоль светового луча на расстояние около 20 см. Подвижное зер­кало смонтировано в специальной карданной оправе и может поворачиваться вокруг двух взаимно перпендикулярных осей, лежащих в вертикальной плоско­сти. С помощью интерферометра демонстрируются картины “кольца равного наклона” и “полосы равной толщины”. Для увеличения линейных размеров интерференционной картины оба интерферирующих луча направляют на спе­циальную отражательную пластинку, а затем пропускают через рассеивающую линзу с небольшим фокусным расстоянием (5-10 см). Для стабилизации интер­ференционной картины используется специальная следящая система.

Кольца Ньютона. Интерференционную картину типа “полосы равной толщины” можно наблюдать с помощью стеклянной пластинки и линзы. Если плотно прижать выпуклую поверхность линзы к пластинке и направить на эту систему параллельный пучок света, то лучи, отраженные пластинкой и поверх­ностью линзы, будут интерферировать, образуя систему интерференционных линий в виде концентрических темных и светлых колец (“кольца Ньютона”).

Вычислим радиусы интерференционных колец. В данном случае разность хода интерфирирующих лучей есть Д = 2h, где h — расстояние от поверхно - сти линзы до пластинки. Из рис. 11.10 видно, что h = R — /R2 - г2, где R — радиус кривизны поверхности линзы, г — расстояние от точки касания линзы и пластинки до светового луча. Полагая г<й, получим приближенное вы­ражение Д = г2/R. Радиусы светлых колец определяются условием Д = шА, где А — длина световой волны, m = 0,1,2,... . Таким образом, для радиусов колец Ньютона получаем выражение

rm = VmRX, т = 0,1,2,.... Этот результат можно проверить экспериментально.

Диагностическая интерферометрия. Интерференционная карти­на, наблюдаемая с помощью интерферометра Майкельсона, весьма чувстви­тельна к различным малым возмущениям, таким как механическое смеще­ние зеркал, изменение состава, температуры и плотности среды, через кото­рую проходят световые лучи. Поэтому интерферометр можно использовать для различных точных измерений. Например, с помощью интерферометра можно измерить механическое смещение порядка длины световой волны, т. е. около 10-4 см. При необходимости точность измерения может быть повышена еще на несколько порядков. Такие точные измерения используют, например, в сейсмо­логии для регистрации движений земной коры.

Интерференция немонохроматического света. Характер интерферен­ции существенно зависит от спектрального состава света. Анализ этой зависи­мости мы начнем с рассмотрения простого случая интерференции двухчастот­ного излучения.

Предположим, что на вход интерферометра Майкельсона поступают две плоские монохроматические световые волны с частотами од и ш2. Считая, для простоты, амплитуды волн одинаковыми, запишем входной сигнал в виде

Ео = А0 cos(wif - kz) + А0 cos(o>21 — k^z). (11.18)

Здесь k и ki — волновые числа, связанные с длинами волн соотношениями

Aji == 27г/Аі, fc2 = 27г/А2. (11.19)

Так как интерферометр представляет собой линейную систему, каждая из мо­нохроматических волн проходит через него независимо от другой волны и дает интерференционную картину, описываемую формулами (11.4)—(11.9). Это по­зволяет записать интенсивность света I на выходе интерферометра в зависи­мости от разности хода лучей Д = ^ — 12 следующим образом:

/ = ^7о(1 + cosJj) + ~/0(1 + cosJ2), (11.20)

где

/о = сАІ/8ж, <5i = ki Д, 62 = А2Д,

или

I = lo + lo cos kA cos хА, (11.22)

где

k = (ki+ *а)/2, х = (*i - *2)/2. (11.23)

На рис. 11.11 показаны зависимости интенсивности света I на выходе интер­ферометра Майкельсона от разности хода лучей Д для случаев, когда на вход интерферометра поступают плоские монохроматические волны: одна волна на частоте (а), одна волна на частоте и>2 {б), пара волн на частотах и <д2 (в). Распределение “в” есть сумма распределений “а” и “б”.

Из рисунка видно, что немонохроматичность света приводит к зависимости видности интерференционной картины от разности хода лучей. Для двухча­стотного излучения эта зависимость периодична: видность максимальна при Д = 0, затем она уменьшается, потом снова возрастает и т. д.

Определим характерную разность хода лучей До, при которой происхо­дит первое “смазывание” интерференционной картины (рис. 11.11, в). Из фор­мулы (11.22) следует, что условие, определяющее До, есть cos хД = 0 или {fa - А:2)До = тг, откуда

До = */{fa ~ fa), (11.24)

или

где 8v = ui — г/2 — спектральная ширина излучения, v = 1/А — частота в обрат­ных сантиметрах. Например, если Ai = 0,5 мкм, А2 = 0,4 мкм, то До = 1 мкм.

Итак, в случае интерференции немонохроматического света в интерферо­метре Майкельсона период интерференционной картины определяется средней длиной волны, а видность интерференционных полос меняется при изменении разности хода лучей. При этом характерная разность хода лучей, при кото­рой происходит “смазывание” интерференционной картины, обратно пропор­циональна спектральной ширине излучения.

Видность интерференционной картины. Для характеристики контрастности интерференционной картины вводят параметр, называемый видностью, и определяемый формулой

7=/max Jmin; (П26)

МП ах "I" -'mill

где /тах) 7min — значения интенсивности света в соседних максимуме и мини­муме интерференционной картины.

Параметр 7 может быть измерен экспериментально или вычислен теорети­чески, исходя из той или иной модели световой волны. В общем случае без­размерный параметр 7 лежит в области 0 < 7 < 1. При этом случай 7=1 соответствует плоской монохроматической волне, которая дает наиболее кон­трастную интерференционную картину (см. формулу (11.9)). Для двухчастот­ного излучения, используя формулу (11.22), получаем Jmax = /0(1 + cosxA), Лпіп = Дэ(1 - cosxrA), откуда

7 = cosxA. (11.27)

Таким образом, для немонохроматического излучения видность интерференци­

онной картины зависит от разности хода лучей: 7 = 7(Д). Используя (11.27), можно переписать (11.22) в виде

/ = /о[1 + 7(Д) cos &Д]. (11.28)

Интерференция случайной световой волны. Как мы уже отмечали выше (см. ч. И), наиболее адекватной моделью излучения нелазерного источ­ника света является модель случайной световой волны. Рассмотрим особен­ности интерференции случайного светового поля на примере интерферометра Майкельсона.

В общем случае напряженность поля световой волны есть векторная слу­чайная функция пространственных координат и времени

E = E(f, t). (11.29)

Описание такого поля представляет собой весьма сложную задачу. Мы на­чнем рассмотрение с более простого случая, а именно рассмотрим одну из де­картовых компонент поля Ё в некоторой фиксированной точке пространства г = const. В этом случае поле описывается скалярной функцией времени

Е = E(t), (11.30)

т. е. представляет собой случайное колебание. Модель (11.30) удобна для описа­ния светового поля, если последнее представляет собой линейно поляризован­ную плоскую немонохроматическую волну. Рассчитаем картину интерференции случайного светового поля вида (11.30) на примере интерферометра Майкель­сона.

Характеристики случайных световых колебаний. Пусть на­пряженность светового поля

Е = E(t)

есть стационарный случайный процесс. Напомним, что наиболее полной ста­тистической характеристикой произвольного случайного процесса x(t) явля-

ется многомерная плотность вероятности (см. дополнение 8). На практике, однако, чаще всего необходимы более простые характеристики, к числу кото­рых относятся: распределение вероятности w(x), среднее значение х, дисперсия сг2 = ((х-х)2), корреляционная функция В(т) = (x(t)x(t + T)) и спектр G(u>). В общем случае В(т) и G(w) — вещественные четные функции своих аргументов, связанные между собой преобразованием Фурье (“теорема Винера-Хинчина”, см. ч. II): -

ОО ОО

В(т) = Х - j G(w)eiuTdw, G(w) = і J B(r)e_*“'rdr. (11.31)'

Кроме того, функции w(x) и G(w) в общем случае неотрицательны. Корреляци­онная функция и спектр, в свою очередь, характеризуются временем корреля­ции тк и шириной спектра Aw, которые имеют смысл меры ширины распределе­ний В(т) и G(w). В общем случае параметры тк и Aw обратно пропорциональны друг другу:

Применительно к световому полю введем среднюю интенсивность

/ = (11.33)

корреляционную функцию

В(т) = (E(t)E(t + т)) (11.34)

и спектр G(w). Средняя интенсивность излучения I, спектр G(w) и ширина спектра Aw могут быть измерены экспериментально.

Часто можно рассматривать световое колебание E(t) как узкополосный слу­чайный процесс, для которого ширина спектра значительно меньше средней частоты колебаний:

Aw - С wq. (11.35)

В этом случае пелесообразно ввести комплексную амплитуду поля £{t), опре­делив ее формулой

£(*) = ^(ф^ + к. с. (11.36)

Подобно полю E(t) амплитуда €(t) является случайной функцией времени и, следовательно, характеризуется корреляционной функцией и спектром. Под­ставив (11.36) в (11.34), и учитывая стационарность случайного процесса E(t), приходим к требованию

(£{t)£(t + г)) = 0. (11.37)

Поэтому корреляционная функция комплексной амплитуды вводится форму­лой
где звездочка обозначает комплексное сопряжение. Будем считать величину Ь{т) вещественной. Тогда из (11.34), (11.36)—(11.38) следует, что

В(т) = ^Ь(т) cosuot. (11.39)

Средняя интенсивностьлздучения выражается через комплексную амплитуду поля следующим образом:

Т = -—^ {££*). (11.40)

Часто бывает удобно наряду с корреляционной функцией В(т) ввести безраз­мерную функцию — коэффициент корреляции —

R(t) = В(т)/В(0). (11.41)

Аналогичным образом коэффициент корреляции комплексной амплитуды есть

r(t) = Ъ(т)/Ь{ 0). (11.42)

Из (11.39), (11.41), (11.42) следует, что

R(t) = г(т) coswqt. (11.43)

Интерференция случайной световой волны в интерферо­метре Майкельсона. Предположим, что на вход интерферометра Май­кельсона (рис. 11.4) поступает случайное световое поле вида (11.30) со средней интенсивностью

I = - j-E2. (11.44)

47Г

В этом случае результирующее световое поле на выходе интерферометра мож­но представить в виде

Ep = ^RT[E(t) + E(t + r)], (11.45)

где

т = Д/с, (11.46)

А = h — І2 — разность хода лучей в интерферометре, с — скорость света, R и Т — коэффициенты отражения и пропускания света делительной пластинкой по интенсивности световой волны. Согласно (11.45), поле на выходе интерфе­рометра. пропорционально сумме входных полей, взятых в два разных момента времени. Эти моменты времени разделены между собой промежутком т, име­ющим смысл задержки одной из волн в интерферометре относительно другой, возникающей из-за различия длин плеч интерферометра.

В дальнейшем будем считать выполненным условие (11.8) и введем краткие обозначения

Е» = {Е + ЕТ). (11.48)

Так как поле Е случайно, поле Ер тоже будет случайным, следовательно, его можно охарактеризовать средней интенсивностью

с

47Г~

Подставив (11.48) в (11.49) и принимая во внимание, что для стационарного случайного процесса

1Р = - Е2. (11.49)

Е2 = Е2, ЕЕТ = В(т), В(т)/В( 0) = Я(т), (11.50)

получим

1р=Х-1 [1 + R(t)] (11.51)

или, в силу (11.43),

1Р = ^1 [1 + г(т) cosoioi"] • (11.52)

Итак, формула (11.52), полученная с использованием модели случайной свето­вой волны, выражает среднюю интенсивность света на выходе интерферометра Майкельсона /р через среднюю интенсивность входного пучка I, среднюю ча­стоту входного поля и>о, задержку т = Д/с, зависящую от разности хода лучей В интерферометре Д = Zi — І2, и коэффициент корреляции г(т) комплексной амплитуды поля.

Используя (11.52), нетрудно рассчитать видность интерференционной кар­тины. В самом деле, согласно (11.52), при некоторой величине т интенсивность света в максимуме интерференционной картины есть

Лпах = ^I [1 + г(т)] , (11.53)

а интенсивность света в минимуме

Jmi„ = |/[l-r(T)]. (11.54)

Из (11.26), (11.53), (11.54) следует, что

7 = г(т). (11.55)

Итак, формула (11.55) связывает между собой видность интерференционной картины 7, определяемую формулой (11.26), и коэффициент корреляции ком­плексной амплитуды светового поля г(т), определяемый формулами (11.38), (11.42). Так как видность интерференционной картины может быть экспери­ментально измерена с помощью интерферометра Майкельсона, формула (11.55) дает рецепт прямого экспериментального измерения коэффициента корреля­ции комплексной амплитуды светового поля г(т).

Используя теорему Винера-Хинчина (11.31) и задаваясь той или иной мо­делью спектра излучения G(u>), можно теоретически вычислить функцию г(т). Пусть, например, спектр имеет прямоугольную форму, центральную частоту ujq и ширину Аш (рис. 11.12). Полагая

Go, ш ±и)о < Аш/2,

(11.56)

О, и> ± wo| > Aw/2 и используя формулу (11.31) для В(т), получим

В{т) = GqAu sinc(Awr/2) coswor, (11.57)

где

ЧІП 7*

sinc(a:) = —. (11.58)

X

Отсюда B(0) = G0Au, и для R(t) = В(т)/В(0) получаем выражение

R(t) = sinc(Awr/2) cosw0t. (11.59)

Наконец, сравнивая (11.59) и (11.43), находим

г(т) = sinc(AwT/2). (11.60)

Итак, модели спектра (11.56) соответствует коэффициент корреляции ампли­туды поля вида (11.60).

По формулам (11.60) и (11.52) можно рассчитать распределение интенсив­ности света в интерференционной картине. Это распределение имеет вид

/р = l [1 + sinc(Aoir/2) cosw0t] • (11.61)

/і

В частном случае монохроматического излучения, когда До; = 0, имеем sinc(Awr/2) = 1, и формула (11.61) переходит в формулу (11.9).

График функции /р(г), построенный по формуле (11.61) для случая малой, но конечной ширины спектра Аи> <С и>о, показан на рис. 11.13. Из рис. 11.13

и формулы (11.61) видно, что в случае немонохроматического светового поля

период интерференционной картины, наблюдаемой с помощью интерфероме­тра Майкельсона, определяется средней частотой излучения ujq. Что же ка­сается видности интерференционной картины, то она уменьшается с ростом задержки т = А/с, определяемой разностью хода лучей в интерферометре Л = її — І2- В качестве характерного (“критического”) времени т, разделяю­щего области хорошо выраженной интерференции и практического отсутствия
таковой (рис. 11.13), можно взять время тк, при котором видность интерфе­ренционной картины первый раз обращается в ноль. Согласно (11.55) и (11.60), время тк определяется условием Д<дтк/2 = 7г, откуда

Заметим, что, с точки зрения статистической модели поля, время тк харак­теризует ширину распределения г(т) и, следовательно, имеет смысл времени корреляции световой волны. Таким образом, формула (11.62) связывает между собой ширину спектра Аи> и время корреляции плоской немонохроматической волны тк. Соотношение (11.62) между этими параметрами, полученное нами для модели узкополосной световой волны с прямоугольным спектром, совпа­дает с общей формулой (11.32), вытекающей из теоремы Винера-Хинчина.

Проведенное рассмотрение позволяет сделать вывод о том, что интер­ференция немонохроматического света возможна лишь при достаточно ма­лой разности хода лучей. Критическая разность хода лучей, при которой еще может наблюдаться интерференционная картина, определяется формулой Дк = стк = 27гс/Дш или

(11.63)

где 6v — Аиі/2пс — спектральная ширина излучения, выраженная в обратных сантиметрах. Например, при ширине спектра излучения 5v = 1000 см-1 полу­чаем критическую разность хода лучей Дк = 0,001 см. Опыт подтверждает этот результат. Так, интерференция белого света наблюдается в тонких пленках, например пленке мыльного пузыря или пленке бензина на поверхности воды. Вследствие интерференции света и неоднородной толщины тонкие пленки при естественном освещении приобретают яркую цветную окраску.

Интерференционная картина “кольца Ньютона” при освещении белым све­том наблюдается лишь в непосредственной близости от точки касания линзы и стеклянной пластины, т. е. в области, где толщина воздушной прослойки и разность хода интерферирующих лучей достаточно малы (рис. 11.10). Если же использовать излучение с более узким спектром, например свет, прошедший че-

Рис. 11.14. Вид интерференционной картины “кольца Ньютона”, наблюдаемой при освещении белым (а) и окрашенным (б) светом

рез красный фильтр, то видность и размер интерференционной картины замет­но увеличиваются (рис. 11.14). Аналогичный результат дают опыты с тонким стеклянным клином, мыльными пленками и т. п.

Интерференция немонохроматического света в интерферометре Майкельсо­на возможна лишь при условии, что оптические длины плеч интерферометра с высокой точностью совпадают. Для выравнивания длин плеч в оригиналь­ной конструкции интерферометра использовалась специальная компенсацион­ная пластина (рис. 11.15). В лазерном интерферометре Майкельсона нет необ­ходимости в компенсационной пластинке, так как интерферирующее излучение имеет узкий спектр и допустимая разность хода лучей достаточно велика. На­пример, для гелий-неонового лазера, используемого в лазерном' демонстрацион­ном интерферометре Майкельсона, имеем So = 0,04 см-1 и Дк = І/Su = 25 см.

Таким образом, опыты по интерференции света подтверждают основные выводы теории, основанной на модели случайной световой волны.

Фурье - спектроскопия. Проведенное рассмотрение показывает, что интерферометр Майкельсона можно использовать для прямого эксперимен­тального измерения корреляционной функции В(т) световой волны. Исполь­зуя теорему Винера-Хинчина, по измеренной функции В(т) можно вычислить спектр излучения

(11.64)

Такой метод измерения спектра получил название “фурье-спектроскопия”. Схему метода иллюстрирует рис. 11.16. На практике фурье-спектрометры ис­пользуют для исследования узких спектральных линий, а также спектральных линий инфракрасного излучения, анализ которых с помощью обычных диспер­сионных приборов (призмы, дифракционные решетки) встречает определенные трудности.

Многолучевая интерференция. Явление интерференции применяют на практике для диагностики оптического излучения — анализа структуры свето­вого поля, измерения спектра и т. п. При этом для увеличения резкости интер­ференционной картины часто используют принцип многолучевой интерферен­ции, когда в образовании интерференционного поля участвуют сразу несколько световых лучей. Рассмотрим основные особенности многолучевой интерферен­ции на примере интерферометра Фабри-Перо.

Предположим, что плоская монохроматическая световая волна падает на плоскопараллельную стеклянную пластинку, обе грани которой хорошо отра­жают свет (рис. 11.17). Частично проникая в пластинку, свет многократно отра-

жается от ее граней. При каждом отражении часть излучения выходит наружу, образуя набор плоских волн, которые интерферируют между собой. Вычислим основные характеристики возникающей при этом интерференционной картины.

Пусть R — коэффициент отражения, а Т — коэффициент пропускания све­та по интенсивности для каждой из граней пластинки. Характеристики обеих граней будем считать, для простоты, одинаковыми. Пренебрегая поглощением света, можно записать

T + R=l. (11.65)

Введем также коэффициенты отражения и пропускания света на гранях пла­стинки по амплитуде световой волны: р и т. Так как интенсивность света про­порциональна квадрату амплитуды волны, имеем

р2 =R, т2 = Т. (11.66)

Обозначив через Ао амплитуду падающей волны, а через А — амплитуду вол­ны, прошедшей через пластинку, можно записать

А = А0т2( 1 + p2eiS + р4е2іг + •••), (11.67)

где 5 — набег фазы световой волны за двойной проход через пластинку. В формуле (11.67) учтено, что первый прошедший луч дважды проходит через границы пластинки, второй — дважды проходит и дважды отражается на гра­ницах, третий — дважды проходит и четырежды отражается и т. д.

Используя формулу (11.16), фазовый набег (5 можно представить в виде 8 = к А, где к = 27г/А — волновое число, Д = 2/m cos /3 — оптическая длина пути, п — показатель преломления материала пластинки, h — ее толщина, /3 — угол преломления света в пластинке (рис. 11.8 и 11.17), связанный с углом падения а формулой

sina = nsin/3. (11.68)

Таким образом,

Атг

8 — — hn cos/3. (11.69)

Л

Обратим внимание на то, что в круглых скобках в формуле (11.67) стоит сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем

q = p2el (11.70)

модуль которого меньше единицы. Поэтому, пользуясь формулой

оо

1

£«“ = гг;. («■")

п=0

справедливой при |g| < 1, находим

т2

Используя эту формулу, для коэффициента пропускання света пластинкой Г(<5) = I/Iq = A/Aq2 получаем

или, в действительной форме,

~ 1 + F sin2(<5/2) ’ где учтено соотношение (11.65) и введена величина

F = ———

(1 — R)2 ’

называемая фактором резкости. Смысл этого термина ясен из рис. 11.18, на котором показаны зависимости Т(6) для двух разных значений параметра F. Видно, что фактор F непосредственно характеризует резкость интерференци­онной картины.

Насколько большой может быть величина F? Из формулы (11.75) видно, что фактор резкости тем больше, чем выше коэффициент отражения света на гранях пластинки. Для зеркальной поверхности коэффициент отражения мо­жет достигать величины R — 0,99. В этом случае фактор резкости F = 4 х 104, а функция пропускания пластинки (эталона Фабри-Перо) Т{8) представляет собой набор дискретных линий (рис. 11.19).

Плоскопараллельная пластинка как частотный фильтр. Из рисунка 11.19 видно, что плоскопараллельная пластинка с зеркальными граня­ми прозрачна для излучения некоторого дискретного набора частот и совершен­но не пропускает остальное излучение. Таким образом, плоскопараллельная пластинка представляет собой высокодобротный частотный фильтр. В этом качестве она используется, например, для селекции мод в лазерах. Вставляя в лазерный резонатор пластинку той или иной толщины (рис. 11.20), можно эффективно управлять шириной спектра лазерного излучения. В спектроско­пических экспериментах такие фильтры используют для калибровки длины волны излучения.

Интерферометр Фабри—Перо. Интерферометр Фабри-Перо предназна­чен для исследования тонкой структуры спектра оптического излучения. Схе­ма прибора показана на рис. 11.21. Его основным элементом является пара зеркальных пластинок, установленных параллельно друг другу на некотором расстоянии d. Так же как и в эталоне Фабри-Перо, в интерферометре исполь­зуется многолучевая интерференция света, позволяющая получать резкие ин-

терференционные картины. В отличие от эталона, в интерферометре преду­смотрена возможность изменения расстояния между пластинами для плавно­го изменения фазового набега S, определяемого формулой (11.69). В некоторых случаях с этой же целью используют систему напуска газа в пространство ме­жду пластинами. Изменяя давление газа, можно плавно изменять показатель преломления газа п и зависящий от него фазовый набег 6 (см. формулу (11.69)). Во избежание нежелательной интерференции лучей, отраженных задними по­верхностями пластинок, последним придают клиновидную форму.

На лекции демонстрируется работа лазерного интерферометра Фабри-Пе­ро. В данном интерферометре использована жесткая конструкция, при которой положение зеркал фиксируется с помощью специального калибровочного коль­ца толщиной 5 мм. Предусмотрена возможность накачки воздуха с помощью резиновой груши.

В эксперименте на интерферометр направляется пучок света гелий-неоно­вого лазера, рассеянный линзой с фокусным расстоянием около 30 см. Из вы­ражений (11.68), (11.69), (11.74), (11.75) следует, что при фиксированной длине волны излучения Л, интерферометр характеризуется дискретным набором на­правлений в пространстве (углы а и /3 ), в которых он пропускает свет. Таким образом, в данной конфигурации наблюдается интерференционная картина ти­па “кольца равного наклона”.

На белой стене затемненной аудитории наблюдаются резкие яркие кольца света, разделенные широкими темными промежутками. Таким образом, наблю­даемая интерференционная картина совпадает с показанной на рис. 11.19. При накачивании воздуха резиновой грушей радиусы колец меняются (рис. 11.22).

3

Рис. 11.21. Схема интерферометра Фабри-Перо: 1 — входной пучок света, 2 — вы­ходной пучок света, 3 — зеркальные пластины, 4 — винт для юстировки зеркал, 5 — система напуска газа

Сравнивая между собой интерференционные картины, наблюдаемые с по­мощью интерферометра Майкельсона и интерферометра Фабри-Перо, можно сделать вывод, что многолучевая интерференция значительно увеличивает рез­кость интерференционной картины. Высокая резкость интерференции в интер­ферометре Фабри-Перо позволяет использовать его как спектральный прибор высокой разрешающей способности (см. лекцию 17).

Резкость интерферометра. Нарис. 11.23 показан фрагмент зависи­мости Т(6) для случая, когда ширина интерференционных максимумов соиз­мерима с расстоянием между ними, т. е. когда фактор резкости F не слишком велик.

Резкость интерференционной картины можно охарактеризовать отношени­ем расстояния между соседними максимумами к ширине отдельного максимума

Т = 2ж/є.

Величину Т называют резкостью интерферометра. Резкость можно определить экспериментально как отношение расстояния между соседними интерференци­онными кольцами к ширине отдельного кольца.

Пользуясь формулой (11.74) и предполагая, что

ЙИІ, F» 1, (11.77)

нетрудно показать, что

є = 4/VF, (11.78)

или, в силу (11.75), (11.77),

є = 2(1 - R). (11.79)

Из (11.76), (11.79) следует, что

JF = tt/(1 - R). (11.80)

Например, если R = 0,9, то Т = 30. Эту оценку можно проверить эксперимен­

тально.

Собственные моды и добротность лазерного резонатора. Лазерный резонатор, представляющий собой пару параллельных зеркал (рис. 11.24), мож­но рассматривать как вариант интерферометра Фабри-Перо, соответствующий параметрам

Я я

L

п = 1, а = 13 = 0. (11.81)

Пусть L — длина резонатора, R — коэффициент отражения зеркал по интен­сивности света. Оба зеркала будем считать, для простоты, одинаковыми. Из (11.69) и (11.81) следует, что

<5 = Ажг/Ь, (11.82)

где v = 1/Л — частота излучения, выраженная в см-1.

Согласно (11.74), максимумы пропускания интерферометра Фабри-Перо приходятся на значения 6, определяемые формулой

6т = 2жт, т = 1,2,3,.... (11.83)

Формулы (11.82), (11.83) выделяют дискретный набор частот

Vm-mLv, Дг/= 1/2 L, 771 = 1,2,..., (11.84)

на которых пропускание интерферометра Фабри-Перо достигает максимума. Частоты (11.84) можно назвать частотами собственных мод резонатора. Не­трудно показать, что для собственных мод на длине резонатора укладывается целое число полуволн. Таким образом, условие (11.83) фактически совпадает с фазовым условием самовозбуждения лазера (см. лекцию ,10), определяющим частоты лазерной генерации.

Добротность резонатора. Используя формулы (11.74) и (11.82), мож­но построить зависимость Т(и) — коэффициента пропускания интерферометра Фабри-Перо от частоты света. Характерный вид этой зависимости вблизи ча­стоты От одной из собственных мод резонатора при F > 1 показан на рис. 11.25. Обозначим ширину интерференционного максимума, показанного на рис. 11.25, через Ді/p. Эту величину можно назвать шириной спектральной линии опти­ческого резонатора. Далее можно ввести добротность резонатора, определив ее формулой

Q = v/Аі/р, (11.85)

где v = 1/А — частота света в обратных сантиметрах. Из формул (11.82), (11.79) следует, что Дг/р = є/4пЬ и

(11.86)

Отсюда

(11.87)

Итак, формулы (11.86), (11.87) определяют ширину спектральной линии и до­бротность оптического резонатора. В этих формулах L —длина резонатора, R — коэффициент отражения зеркал, А — длина световой волны.

Сделаем численную оценку. Полагая L = 50 см, А = 0,5 мкм, R = 0,9, полу­чим Av — 1/2L = 10~2 см-1, Аир = 3 х 10-4 см-1, Q = 6 х 107. Таким образом, оптический резонатор представляет собой высокодобротную колебательную си­стему.