Физическая оптика

Спектральные разложения в оптике

Метод спектральных разложений. Периодические функции. Ряд Фурье. Дис­кретный спектр. Спектральные амплитуды и фазы. Непериодические функ­ции. Интеграл Фурье. Сплошной спектр. Отрицательные частоты. Ком­плексная запись. Косинус-преобразование Фурье. Примеры. Связь между дли­тельностью импульса и шириной спектра. Спектр гармонического колебания. Дельта-функция и ее свойства. Дельтаобразный импульс. Полная и неполная спектральная информация. Спектральная плотность. Равенство Парсеваля.

Н •. Т!

Наряду с временным описанием модулированных колебаний и волн в оптике широко применяется альтернативный — спектральный метод. Познакомимся с этим методом, который базируется на математической теории рядов и инте­гралов Фурье.

Метод спектральных разложений. Основная идея спектрального описа­ния состоит в том, чтобы представить некоторую функцию времени (например, электрическое поле световой волны) в виде суммы гармонических колебаний разных частот

ОО

Е(г) = costJn* + bn sin Vnt). (Д4.1)

n=0

Набор частот шп и амплитуд ап, Ьп образуют спектр процесса E(t). Если изве­стен спектр, то можно восстановить временнбй ход процесса по формуле (Д4.1). Поэтому оба способа описания процессов (временнбй и спектральный) вполне эквивалентны. Однако по способу записи информации они существенно отли­чаются. В частности, возможен случай, когда сложной функции времени соот­ветствует простой спектр (рис. Д4.1, а) или наоборот (рис. Д4.1, б).

Разложение в спектр не только удобная математическая операция. Во мно­гих случаях оно осуществляется как реальное физическое явление. Классиче­ский пример такого рода — знаменитый опыт Ньютона, в котором стеклянная призма разлагает белый солнечный свет на семь основных цветов: красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый (рис. 1.6). Прибо­ры, действие которых основано на спектральном разложении света (призмы, решетки и т. п.) давно и широко применяются в экспериментальной оптике.

Периодические функции. Ряд Фурье. Дискретный спектр. Пусть некоторая функция времени /(£) является периодической, т. е. удовлетворяет условию

m = f(t + nT), (Д4.2)

где t — произвольный момент времени, п — любое целое число, Т — период функции f(t). Типичный вид периодической функции показан на рис. Д4.2.

Предположим, что функция /(<) кусочно-непрерывна и ограничена. Тогда, согласно теореме Дирихле, она может быть представлена в виде ряда

пппп

I 1 1 г 1 1

а.) б)

Рис. Д4.1. Временное и спектральное описание процессов

/№ = у + ^2(a„cosu)nt +0nsmu)nt),

n=l

где

Ряд (Д4.3) называется рядом Фурье, а коэффициенты а„ и /3„ — коэффици­ентами Фурье функции /(і). Индекс “п” в формуле (Д4.3) нумерует частоты wn составляющих функцию f(t) гармонических колебаний (“гармоник”). Как видно из формул (Д4.4), эти частоты разделены одинаковыми интервалами Aw = 2п/Т и образуют эквидистантную последовательность.

Нетрудно убедиться в правильности формул (Д4.4) для коэффициентов Фу­рье. Для этого достаточно умножить равенство (Д4.3) на coswmt или sin wmt, где m = 1,2,..., и проинтегрировать полученные соотношения по периоду функции /(t) от —Т/2 до Т/2. В математике доказывается единственность раз­ложения (Д4.3). Тем самым математическая задача разложения периодических функций на гармонические колебания полностью решена.

Спектральные амплитуды и фазы. Пользуясь известными тригономе­трическими формулами, можно переписать ряд (Д4.3) несколько иначе:

ОО

/(*) = ^ /п COS(unt - (fin), (Д4.5)

n=l

где коэффициенты /„ и (р„ называются соответственно спектральными ам­плитудами и фазами функции f(t). Они связаны с коэффициентами Фурье соотношениями

ап = /п cos ifin, f3n = fn sin (fin,

(Д4.6)

fn = Д*п + @b 4>n = arctg(/3„/an).

Распределение спектральных амплитуд /п по соответствующим им частотам

о.',г гармоник называется спектром функции /(f). Спектр можно изобразить графически, откладывая по оси абсцисс частоты, а по оси ординат — спек­тральные амплитуды, как показано на рис. Д4.2, б.

Из нашего рассмотрения следует, что любой периодический процесс имеет дискретный спектр, т. е. спектр, состоящий из отдельных линий. Это важ­ное свойство периодических процессов. Вместе с тем, обратное утверждение справедливо не всегда. Только в том случае, если частотные интервалы ме­жду линиями кратны некоторому интервалу Аи> ф 0, соответствующий процесс является периодическим и имеет конечный период Т = 2ж/Аш.

Однако в оптике мы не имеем дела со строго периодическими процессами (хотя бы потому, что такие процессы бесконечны во времени). Поэтому важно обобщить спектральные представления и на непериодические процессы. Приме­ром такого процесса является излучение атома, которое затухает во времени и, следовательно, непериодично.

Непериодические функции. Интеграл Фурье. Сплошной спектр.

Рассмотрим некоторую непериодическую функцию времени /(f) и попытаемся найти ее спектр (рис. Д4.3). С математической точки зрения непериодическую

Рис. Д4.3. Непериодическая функция времени (а) и ее спектр (б)

функцию можно рассматривать как периодическую с периодом, стремящим­ся к бесконечности. Поэтому для спектрального разложения непериодической функции f(t) нужно перейти к пределу Т —► оо в формулах (Д4.3), (Д4.4). Та­кой переход возможен, если функция /(£) удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости

(Д4.7)

Используя выражение (Д4.4) для Ды, перепишем формулу (Д4.3) в виде

Теперь перейдем к пределу Т —► оо. При этом в силу формул (Д4.8) и (Д4.4) получаем

а0 = 0,

Т/2

Поскольку шп = п&ш, где Дш = 27г/Т, то в пределе при Т —> оо частотный интервал Дш стремится к нулю. При этом частота гармонических колебаний из дискретной переменной и>„ превращается в непрерывную переменную и>. По­этому, опуская индекс “п” в (Д4.9), введем новые обозначения

о(ш) = lim / f(t) coswtdt,

-Т/2

(Д4.10)

Т/2

Ь(и) = ^lim J f (t) sin wtdt.

-T/2

Наконец, переходя к пределу Т -» оо, Aw -» 0 в (Д4.8), заменяя предел суммы на интеграл и учитывая (Д4.9), (Д4.10), получаем

ОО

f{t) =

J [a(w) cos wi + b(uj) sin wi]dw, (Д4.11)

о

где

OO OO

a(w) = J f (t) cos u)tdt, 6(w) = J f(t) sin wtdt. (Д4.12)

—OO —OO

Интеграл (Д4.11) называется интегралом Фурье.

Формулы (Д4.11), (Д4.12) решают задачу о спектральном разложении непе­риодической функции времени. Выведем теперь несколько более компактных представлений для интеграла Фурье.

Спектральная амплитуда и спектральная фаза. Перепишем (Д4.11) в виде

ОО

f(t) = ~ J /(w) cos[wt - tp(w)]dw. (Д4.13)

о

Здесь f(oj) и <р(и>) называются соответственно спектральной амплитудой и спек­тральной фазой функции /(t)[18]. Пользуясь тригонометрической формулой

cos(q - 0) = cos a cos /З + sin a sin /З, (Д4.14)

преобразуем подынтегральное выражение в (Д4.13) и приравняем его подын­тегральному выражению в (Д4.11). Получим

/(w) cos[wt — </>(w)] =

= /(w) cos uit cos </> - I - /(w) sin u)t sin <p =

. = a(w) cos ut + b(w) sin ait. (Д4.15)

Приравнивая коэффициенты при функциях sin cut и coswt, находим связь ме­жду спектральными амплитудой и фазой с одной стороны и квадратурными компонентами а(ш) и Ь(ш) с другой:

а(и>) = f (ш) cos f(w) = у/а2(и>) + Ь2(ш),

Ь(ш) = f(w) sin <р(ш) = arctg

Обратим внимание на то, что непериодический процесс (в отличие от пери­одического) имеет сплошной спектр. Это следует из того, что спектральные характеристики процесса — а(и>) и b(to) или f(u>) и определяемые форму­лами (Д4.12) и (Д4.16) — являются непрерывными функциями частоты. Гра­фик спектральной амплитуды /(и>) имеет вид непрерывной кривой (рис. Д4.3). Таким образом, непериодическая функция — это суперпозиция гармоник, ча­стоты которых изменяются непрерывно.

Итак, по виду спектра можно судить о характере самого процесса. Напри­мер, из того, что спектр солнечного света сплошной (цвета плавно переходят один в другой, между ними нет промежутков), можно сделать вывод, что из­лучение Солнца — непериодический процесс.

Отрицательные частоты. Из формул (Д4.12), определяющих квадратур­ные компоненты а(и>) и Ь(ш), видно, что а(и>) — четная функция частоты, а Ь{ш) — нечетная: С

о(-ш) = о(щ), Ъ(—и>) = - Ь(ш). (Д4.17)

Поэтому (Д4.11) можно переписать в симметризованном по и виде:

ОО

/м-£/мо cos ut + b(uj) sin tot]cLj, (Д4.18)

— OO

где функции a{ui) и b(ui) определены фомулами (Д4.12).

В (Д4.18) мы впервые ввели отрицательные частоты, что позволило полу­чить более симметричную запись преобразований Фурье (см. (Д4.18) и (Д4.12), где все интегралы берутся теперь в бесконечных пределах). Подчеркнем, что отрицательные частоты введены формально математически. Содержание этого понятия полностью исчерпывается формулами

cos (—cot) = costot, sin(—wt) = — sinwi. (Д4.19)

Никакого иного смысла термин “отрицательные частоты” не несет. Разумеется, на самом деле (физически) отрицательных частот не существует, так же как нет отрицательных периодов гармонических колебаний. Отрицательные часто­ты введены математически для удобства. Фактически они фигурируют только на промежуточных этапах расчетов, а в окончательные формулы для измеря­емых физических величин никогда не входят.

Комплексная запись. Пользуясь формулой (Д4.15), перепишем (Д4.18) в виде

оо

f(t) = У /(w) cosM - ¥>(w)]dw.

— ОО

Теперь введем комплексную спектральную амплитуду

ЛМ = а(ш) - іЬ(ш). (Д4.21)

Пользуясь формулой Эйлера

= cos cut + і sinwt, (Д4.22)

выразим произведение fK(uj)e>ujt. Получим

/к(ш)егші = [а(ы) - ib(ui)](cosu>t + і sinujt) =

= a(u>) cos wt + b(u>) sinotf + i[a(u>) sinwi — b(u>) coswi]. (Д4.23) Обратим внимание на го, что действительная часть этого комплексного выра­

жения является четной функцией частоты ш, в то время как мнимая часть нечетной. Поэтому, интегрируя правую и левую части выражения (Д4.23) по частоте и в бесконечных пределах, получаем

W ОО

J du) = j [а(о>) cos tut + b(ui) sin ujtjduj. (Д4.24)

— OO —OO

В силу соотношений (Д4.18), (Д4.24)

OO

№ = ^ J (Д4.25)

Теперь найдем функцию ЛИ- По определению (Д4.21) и в соответствии с (Д4.12), (Д4.22) имеем

ОО ОО

ЛИ = / /(£) cos utdtt — г j f(t) sin ujtdt =

—OO —OO

OO

= J f (t)[cos uit - і sin uit}dt = J f(t)e lulidt. (Д4.26)

Суммируя результаты, запишем комплексные представления преобразований Фурье

■ j

f(t) = J ЛИ<И<И /x(w) = J те Ш<Л. (Д4.27)

Для упрощения записи опустим индекс “к” у комплексной спектральной ам­плитуды, тогда интегралы Фурье приобретают вид

ОО 00

№ = ^ J /и = I me-^dt. t (Д4.28)

Косинус-преобразование Фурье. Пусть /(£) — четная функция времени, т. е.

/(-О = (Д4.29)

Тогда, в силу формул (Д4.28),

ОО

/(w) = J /(t)[coswt - isinu;t]d£ =

“ОО

ОО оо

= J f(t) cos bjtdt — 2 J f(t) coswtdt. (Д4.30)

—оо 0

Отсюда следует, что спектральная амплитуда f(w) — действительная и четная функция частоты, т. е.

/и = /(-«). (Д4.31)

Используя (Д4.28) и (Д4.31), получим следующее выражение для функции f(t):

оо

/W ~ J /(w)[coswt 4- і sin wt]dw =

—ОО

ОО 00

= ^ J /(u>) cos uddw = f (ш) cos utdu). (Д4.32)

—оо 0

Итак, если /(і) — четная функция времени, то ее спектральная амплитуда является действительной и четной функцией частоты, а преобразование Фурье может быть записано в виде интеграла от действительной функции по поло­жительным частотам:

оо оо

№ = j /И cosLotdu), f(u>) = 2 J f(t) cos wtdt. (Д4.33)

о 0

Интегралы (Д4.33) называются формулами косинус-преобразования Фурье. Примеры. Рассмотрим в качестве примера прямоугольный импульс

««-{?’ !!!>!:

Подставляя (Д4.34) в (Д4.33), получим

f(u>) = 2/0т sinc(wr), (Д4.35)

где введена функция “sine”, определяемая формулой

• / smi. ___.

smc(x) =---------------------------------------------------------- . (Д4.36)

х

Прямоугольный импульс и его спектр показаны на рис. Д4.4.

Для импульса гауссовой формы ^

f(t) = /о exp (-і2/7-2) (Д4.37)

в соответствии с (Д4.28) имеем i — J.

f(uj) = у/ж/0техр(-ш2т2/4:). (Д4.38)

Для импульса экспоненциального вида

/(f) = /о exp(-|f|/r) (Д4.39)

фурье-спектр равен

Л"> = ТW да-4°)

Графики функций (Д4.37)-(Д4.40) изображены на рис. Д4.5 и Д4.6.

Связь между длительностью импульса и шириной спектра. Обра­

тим внимание на то, что во всех рассмотренных примерах ширина спектра Аш обратно пропорциональна длительности импульса At, т. е.

Alo ~ I/At. (Д4.41)

Указанная закономерность имеет общий характер и выражает одно из основ­ных свойств преобразования Фурье. Нетрудно обосновать это соотношение, ис­ходя из формулы (Д4.33) для спектральной амплитуды. На рис. Д4.7 изобра­жены график функции /(f) (сплошная кривая) и график функции coswf (пунк­тир). Согласно формуле (Д4.33),

ОО

f(w = 0) = 2 J f(t)dt, о

т. е. спектральная амплитуда на нулевой частоте есть постоянная величина, определяемая площадью импульса. Если частота ш увеличивается, то, как вид­но из (Д4.33), спектральная амплитуда f(u>) уменьшается. Убывание /(<д) про­исходит медленно до тех пор пока период функции coswf, равный 2n/uj, значи­тельно превышает длительность импульса At, т. е. в области частот, определя­емой неравенством

Т = 2ж/ш > Af.

Если же

Т <С Af,

то, как видно из рис. Д4.7, спектральная амплитуда стремится к нулю. Итак,

Рис. Д4.4. Прямоугольный импульс и его спектр

Рис. Д4.5. Гауссов импульс и его спектр

Рис. Д4.6. Экспоненциальный импульс и его спектр

/(u>) « /(ш = 0), если и) С 27г/Д£,

/(ш) « 0, если w > 2ir/At.

Область наиболее быстрого спада функции /(о>) приходится, очевидно, на ча­стоту

Дш = 27г/Д£,

которую можно принять за меру ширины распределения /(ы). Добавим, что формула (Д4.42) из приближенной превращается в точную, если использовать интегральные определения длительности импульса и ширины спектра:

ОО ОО

Д*= J f{t)dt/f(t = 0), Аш = J /(w)dw//(w = 0). (Д4.43)

— ОО —00

В этом случае соотношение (Д4.42) есть прямое следствие формул (Д4.28), причем оно справедливо независимо от конкретного вида функции f(t).

Спектр гармонического колебания. Модель гармонических колебаний и волн широко применяется в оптике, поэтому представляет интерес вычисление спектра монохроматического колебания

f(t) = fo cos w0i. (Д4.44)

Используя выражение (Д4.28) для /(w), а так же формулу Эйлера

cos w01 = і [exp (iui0t) + exp (-iwoi)], (Д4.45)

нетрудно получить для спектральной плотности гармонического колебания (Д4.44) следующее представление

/(w) = 7t/0[<5(w - w0) + <5(w + wo)], (Д4.46)

где введено обозначение (

оо

^ / ешЛ. СД4.47)

—ОО

Формула (Д4.47) является одним из возможных определений обобщенной функ­ции, называемой дельта-функцией Дирака. Появление обобщенной функции связано, очевидно, с тем, что функция (Д4.44) не удовлетворяет условию (Д4.7). Ввиду важности дельта-функции обсудим коротко ее основные свой­ства.

Дельта-функция и ее свойства. Из (Д4.47) следует, что интегральное представление для дельта-функции можно записать также в виде

ОО

6(ш) = ~ J cosutdt. s (Д4.48)

о

Из формулы (Д4.48) следует, что дельта-функция имеет вид бесконечно узкого и бесконечно высокого “выброса” в нуле (рис. Д4.8). При этом интеграл от дельта-функции есть конечная величина:

ОО

J 6(ш)<Ь = 1. (Д4.49)

— ОО _ ....

Из (Д4.28) следует соотношение

ОО

f{t)=h JJ fWeMt~в)d^de, (Д4.50)

— ОО

называемое формулой Фурье. Учитывая (Д4.47), можно переписать (Д4.50) в виде

оо. .

I №6{t-e)d6 = f{t). (Д4.51)

— 00

Последняя формула выражает основное свойство дельта-функции, которое можно назвать “свойством стробирования”. В частном случае, когда /(£) = 1, из (Д4.51) следует (Д4.49). Отметим еще несколько свойств дельта-функции, вытекающих из ее определения, и часто используемых в расчетах:

Ч-t) = S(t), (Д4.52)

оо

J S(at)dt = 1/|ог|,

—00

00

J 5(t)dt - 1/2.

о

Дельтаобразный импульс. Еще одной полезной моделью в оптике явля­ется процесс с постоянным спектром:

№

/(«)

fo

О со

Рис. Д4.9. Гармоническое колебание (а) и дельтаобразный импульс (б): временное и спектральное представления

/(ш) = /о = const. (Д4.55)

Подстановка (Д4.55) в (Д4.28) приводит к следующему выражению для f(t):

т = Ш). (Д4.56)

Такой процесс мы будем называть дельтаобразным импульсом или процес­сом с белым спектром. Временные и спектральные картины гармонического колебания и дельтаобразного импульса показаны на рис. Д4.9. Отметим, что хотя оба эти предельные случая, строго говоря, нереализуемы физически, они весьма полезны как теоретические модели и наглядные образцы процессов с предельно узким и предельно широким спектрами.

Резюмируя, подчеркнем еще раз важный результат теории спектральных разложений: чем короче импульс, тем шире его частотный спектр. Примени­тельно к оптике это означает, что чем плотнее сконцентрирована энергия све­тового поля во времени, тем шире она распределена по спектру. В частности, предельно короткие импульсы света, длительность которых соизмерима с пе­риодом световых колебаний, обладают частотным спектром, ширина которого соизмерима с несущей частотой световой волны.

Полная и неполная спектральная информация. Спектральная плот­ность. В общем случае спектральная амплитуда /(w), определяемая формулой (Д4.28), является комплексной функцией частоты:

(Д4.57)

Модуль комплексной спектральной амплитуды представляет собой действи­тельную амплитуду гармоники с частотой со в спектре f(t), а аргумент <р(и>) — действительную фазу этого колебания. Таким образом, комплексность спек­тральной амплитуды связана с тем, что разные гармоники, образующие в со­вокупности процесс f(t), имеют, вообще говоря, различные фазы. Часто такая полная спектральная информация об оптическом процессе бывает не нужна. Более того, в оптике ее трудно экспериментально получить. Поэтому на прак­тике обычно используют более грубую спектральную характеристику процес­сов — спектральную плотность. По определению спектральной плотностью называется величина, равная квадрату модуля комплексной спектральной ам­плитуды:

SH = |/И|2. (Д4.58)

В этом выражении информация о фазах гармонических колебаний, составляю­щих процесс f(t), утрачена. Тем не менее, для оптики спектральная плотность является важной характеристикой процессов, поскольку именно она обычно измеряется в экспериментах. Согласно формуле (5.23), энергия гармоническо­го осциллятора определяется амплитудой и частотой колебаний. Это позволяет выявить физический смысл спектральной плотности светового поля. Он состо­ит в том, что спектральная плотность характеризует распределение энергии света по спектру. Именно эта характеристика света наблюдается и может быть экспериментально измерена в опытах типа опыта Ньютона (рис. 1.6).

Равенство Парсеваля. Докажем одну важную формулу, относящуюся к спектральной плотности, и позволяющую глубже понять ее физический смысл. В теории спектральных разложений эта формула носит название “равенство Парсеваля”. Она имеет вид

оо оо

I /a(t)A = JL J S(uo)cLo. (Д4.59)

— ОО —ОО

Для доказательства воспользуемся интегралами Фурье (Д4.28). Получим

ОО ОО ОО

I f2(t)dt = j dtf(t)± J f(uj)eiutdw =

TOC o "1-5" h z — OO —OO —OO

OO OO OO

= -L I cbof(u) j dtf(t)e± j dw/M/» =

—OO —OO —OO

OO OO

= h I l/M|2^=^ j s{u,)du.

— OO —OO

Напомним, что звездочка обозначает комплексное сопряжение.

Итак, равенство Парсеваля доказано. Применительно к оптике это соотно­шение имеет простой физический смысл. Если под процессом f(t) понимать напряженность электрического поля световой волны в некоторой фиксирован­ной точке пространства, то величина

00 ОО ОО ОО

j f(t)dt = J E*(t)dt = Ц; J 7ЮЛ = ^ J P(t)dt =

—oo —oo —oo —OO '

оказывается пропорциональной энергии светового импульса, прошедшей через площадку единичной площади в окрестности данной точки. С другой стороны, согласно равенству Парсеваля, та же самая величина (энергия) равна инте­гралу по всем частотам от спектральной плотности поля S(u). Это означает, что спектральная плотность описывает распределение энергии светового им­пульса по частотам. В этом состоит физический смысл данной характеристики излучения.