Физическая оптика

Световые волны в вакууме

Электромагнитная природа света. Теория Максвелла. Опыты Герца. Уравне­ния Максвелла. Волновое уравнение. Плоская волна. Сферическая волна. Мо­дулированные волны и излучение реальных источников света. Спектральное разложение светового поля. Принцип суперпозиции.

Излагаются основания электромагнитной теории света. Представлены урав­нения электромагнитного поля. Дан вывод волнового уравнения из уравнений Максвелла. Рассматриваются плоская и сферическая волны как фундамен­тальные решения волнового уравнения. Обсуждается структура излучения ре­альных источников света.

Электромагнитная природа света. Теория Максвелла. Вопрос о при­роде света представляет собой одну из центральных проблем физической опти­ки. Исследования в этом направлении всегда лежали на магистральном пути развития науки. Многие крупные открытия в области физики так или иначе связаны с попытками глубже понять, что такое свет.

К концу XIX века физика располагала набором фактов, свидетельствующих в пользу электромагнитной природы света. К их числу относятся опыты Фа­радея, в которых наблюдалось влияние магнитного поля на распространение света в веществе, опыты Лебедева, в которых было измерено световое давле­ние, опыты Герца, в которых было доказано существование электромагнитных волн, эксперименты по взаимодействию света с веществом.

Одним из первых аргументов в пользу электромагнитной природы света было совпадение скорости электромагнитных волн, вычисленной Максвеллом, со скоростью света. В 1849 г. Физо измерил скорость света и получил зна­чение 315000 км/с. В 1857 г. Вебер и Кольрауш измерили электродинамиче­скую постоянную с, равную отношению электромагнитной и электростатиче­ской единиц заряда, и получили значение с = 310 800 км/с. В 1861 г. Максвелл вывел систему уравнений для электромагнитного поля, из которой вытекала возможность существования электромагнитных волн, причем скорость распро­странения волны определялась значением электродинамической постоянной. Максвелл обратил внимание на то, что найденное Вебером и Кольраушем зна­чение с весьма близко к скорости света, измеренной Физо. Это позволило ему заключить, что свет представляет собой электромагнитную волну.

Скорость света. Трудность измерения скорости света связала с ее чрез­вычайно большой величиной, которая составляет около 300000 км/с. История измерений скорости света весьма увлекательна, о ней подробно рассказано в до­полнении 1. В табл. 1.1 перечислены основные методы измерений и полученные результаты. Изобретение лазера позволило выполнить чрезвычайно точные из­мерения скорости света. По последним данным скорость света в вакууме равна

с = 299 792 458 ±1,2 м/с. (1.1)

Электродинамическая постоянная. Электродинамическая посто­янная с имеет смысл отношения электромагнитной единицы заряда к элек­тростатической. Метод измерения этой величины поясним на примере опыта

Вебера и Кольрауша. Имея в своем распоряжении конденсатор известной ем­кости, можно с помощью электрометра измерить разность потенциалов на его обкладках и найти заряд в электростатических единицах. С другой стороны, тот же самый заряд можно измерить в электромагнитных единицах, для чего следует разрядить конденсатор через катушку баллистического гальваноме­тра и измерить угол отклонения зеркальца. Приравнивая заряды, измеренные обоими способами, можно найти искомое отношение единиц заряда.

Сводка результатов измерений электродинамической постоянной предста­влена в табл. 1.2. Сопоставление этих данных с данными табл. 1.1 показывает, что электродинамическая постоянная с совпадает со скоростью света в ваку­уме.

Опыты Герца. Предсказанное Максвеллом существование электромагнит­ных волн нуждалось в экспериментальной проверке. Эту задачу решил Герц, сумевший осуществить генерацию и прием электромагнитных волн и исследо­вавший их свойства.

В экспериментах с искровым разрядом мощной индукционной катушки Гер­цу удалось получить сверхбыстрые колебания электрического тока (период ко­лебаний около 1СГ8 с). Продолжая опыты, Герц установил, что ток высокой

Таблица 1.2

К

Рис. 1.1. Схема опыта Герца. К — индукционная катушка, Р — разрядник, М — микрометр

частоты в прямолинейном отрезке проводника способен вызвать аналогичный ток в другом проводнике, удаленном от первого на некоторое расстояние. Так были открыты электромагнитные волны.

В одном из опытов Герц использовал собственные электрические колебания вибратора, состоящего из двух одинаковых металлических стержней, разделен­ных искровым промежутком (рис. 1.1). С помощью индукционной катушки обе половины вибратора заряжались до высокого напряжения. Когда разность по­тенциалов достигала пробойного значения, в разряднике проскакивала искра, замыкавшая обе половины вибратора, и в нем возникали затухающие электри­ческие колебания высокой частоты. При этом вибратор испускал в ^простран­ство электромагнитную волну. Появление волны регистрировалось по возник­новению искры в микрометре приемного вибратора.

Чтобы доказать единую сущность световых и электромагнитных волн, Герц попытался продемонстрировать отражение, преломление и поляризацию элек­тромагнитных волн. Используя параболические зеркала из цинковой жести, Герц сумел сформировать пучок электромагнитных волн, подобный оптическо­му. При помощи изготовленной из твердой смолы призмы высотой 1,5 м и весом 1,2 т он добился отклонения пучка электромагнитных волн, соответствующего преломлению световых лучей в стеклянной призме. Наконец, он смог убедиться и в поляризации электромагнитных волн при помощи проволочной сетки. Под­водя итог своим исследованиям, выполненным в 1886-1889 гг., Герц написал: “... мне представляется весьма вероятным, что описанные опыты доказывают идентичность света, тепловых лучей и электродинамического волнового дви­жения” .

Таким образом, единая сущность света и электричества была подтверждена экспериментально. Оптика могла быть теперь включена в электродинамику так же, как акустика давно уже вошла в механику.

Рис. 1.2 показывает место оптического диапазона на шкале электромагнит­ных волн. Этот диапазон простирается от 0,4 до 0,7 мкм по длине волны и от 4 х 1014 до 7,5 х 1014 Гц по частоте.

Уравнения Максвелла. Система уравнений для электромагнитного поля была выведена Максвеллом в середине XIX в. путем обобщения данных, полу­ченных в опытах с электрическими зарядами, токами и магнитами. Дальней­шие исследования показали, что уравнения Максвелла имеют очень глубокое

Рис. 1.2. Оптический диапазон на шкале электромагнитных волн

физическое содержание, далеко выходящее за рамки тех фактов и представле-j ний, на основе которых были получены уравнения. Оказалось, что эти урав­нения удовлетворяют условию релятивистской инвариантности, хорошо опи­сывают быстропеременное электромагнитное поле, включая световые волны, могут быть положены в основу теории излучения электромагнитных волн дви­жущимися зарядами и теории взаимодействия света и вещества.

В удобной для оптики гауссовой системе единиц уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме имеют вид

Здесь Ё и Н — напряженности электрического и магнитного полей, с — электродинамическая постоянная, равная скорости света в вакууме. Уравне-

ние (1.2) представляет собой математическую формулировку закона электро­магнитной индукции. Уравнение (1.3) показывает, что магнитное поле поро­ждается переменным электрическим полем. Уравнение (1.4) выражает факт отсутствия статического электрического поля в вакууме. Уравнение (1.5) по­стулирует отсутствие магнитных зарядов.

Волновое уравнение. Уравнения (1.2)—(1.5) позволяют вывести замкну­тые уравнения для полей Е и Н. Дифференцируя уравнение (1.3) по времени и меняя порядок следования временной и пространственных производных, имеем

_ 1 д2Ё

с dt2

Воспользовавшись уравнением (1.2), получим

1 д2Ё

rot rot E = -?-gp -

Применяя известное из векторного анализа соотношение для дифференциаль­ных операторов, преобразуем левую часть последнего уравнения к виду

rot rot Е = grad div Ё — ДЁ.

Здесь Д — оператор Лапласа, который в декартовых координатах записыва­ется в виде

~ Зх2 + ду2 + dz2' (1-6)

Поскольку в рассматриваемом случае свободные заряды отсутствуют, т. е. div Е = 0, для вектора напряженности электрического поля получаем урав­нение

ДЕ-1^ = 0. (1.7)

Нетрудно убедиться, что вектор Н удовлетворяет аналогичному уравнению

1 д2Н

= (1-8)

Уравнения (1.7), (1.8) линейны по полю. Поэтому они эквивалентны сово­купности скалярных уравнений вида (1.7), (1.8), в каждое из которых входит только одна компонента напряженности электрического или магнитного поля. Действительно, запишем векторы Е и Я через декартовы компоненты

Ё = хоЕх + у0Еу + z0Ez, Н = SqHx + jfoHy + zqHz, (1-9)

где So, І/о, zQ — единичные векторы (“орты”), направленные вдоль осей х, у, z декартовой системы координат. Тогда каждая из компонент полей Еа или На (а = х, у, z) удовлетворяет скалярному уравнению

Это нетрудно проверить, умножая скалярно уравнения (1.7), (1.8) последова­тельно на х0, уо, zq. Уравнения (1.7), (1.8), (1.10) называются волновыми урав­нениями. Их решения имеют характер распространяющихся волн.

Плоская волна. Предположим, что произвольная компонента поля / (на­пример, Еа или На) зависит лишь от одной пространственной координаты и времени, т. е. / = Тогда уравнение (1.10) упростится и примет вид

*Z_I*Z = 0. (їді)

:>г‘ r‘ l)t‘ '

Найдем решение этого уравнения. Для этого представим его в виде

_iaWj9 1_9N, с dt) dz + с dt)

или

Иг°- (112)

где введены переменные £ = t—г/с, т] = t+z/c. Уравнению (1.12) удовлетворяет функция вида

/(6ч) = /і(0 + /з(»7)

или, в переменных z, t,

f(z, t) = fl(t-z/c) + f2(t + z/c), (1.13)

где /і и /2 — произвольные (дифференцируемые) функции своих аргументов.

Формула (1.13) выражает общее решение уравнения (1.11). Данное реше­ние описывает суперпозицию двух волн. Первая из них распространяется вдоль, вторая — против оси z. Скорости обеих волн одинаковы и равны с. Действительно, возмущение /і, находившееся в момент времени t в точке z, в момент времени <2 приходит в точку z-2, определяемую соотношением ti — zjс — - ^г/с. Отсюда при t2 > <1 имеем z2 > z 1 и скорость распро­

странения волнового возмущения равна v = (z2 — z{)/{t2 — h) = с.

Функции /і = fi(z, t) и /2 = /2(2, t) описывают плоские волны, так как волновое возмущение имеет одно и то же значение во всех точках бесконечной плоскости, перпендикулярной направлению распространения. Конкретный вид функций /і и /2 определяется граничными и начальными условиями задачи.

Плоская гармоническая волна. Конкретизируем теперь закон из­менения светового поля во времени и в пространстве. Рассмотрим декартову компоненту поля Ex(z, t). Пусть при z — 0

Ех (0,t) = Л cos iot, (1-14)

т. е. напряженность светового поля изменяется по гармоническому закону. То­гда в соответствии с формулой (1.13) в области z > 0 будет распространяться плоская гармоническая волна

Ex(z, t) = Acos[u>(i — г/с)] = Acos(ut — kz) = Acos[wt — y>(z)]. (1-15)

В этом выражении А — амплитуда волны, ш — круговая частота, связанная с периодом Т и частотой колебаний и = 1/Т соотношениями

ш = 2ж/Т = 2жи. (1-16)

Параметры к и Л, определяемые как

к = ш/с = 2жи/с = 2тг/Л, (1-17)

Л = сТ = c/v, (1-18)

есть соответственно волновое число и длина волны. Величина

Ф = ait — kz (1-19)

называется полной фазой волны и зависит от t и z. Фазу tp(z) = kz, связанную с изменением пути z, пройденного волной, будем называть набегом фазы или фазовым сдвигом. Геометрическое место одинаковых значений фаз называют волновым фронтом. В плоской гармонической волне это плоскость, перпенди­кулярная направлению распространения.

Сферическая волна. Нетрудно убедиться, что уравнениям (1.10) удовле­творяют и волны вида

Ea = Ea(t, r), Ha = HQ(t, r),

в которых напряженности полей зависят только от одной пространственной переменной — модуля радиус-вектора

г = /х2 + у2 + zx.

Такие волны называют сферическими. Наряду с плоской, сферическая волна является эталонной волной, имеющей большое значение для оптики. Рассмотрим скалярное волновое уравнение

1 d2f

~ с2 ЇЙ2 = ° ^'20^

и будем искать решение вида / = f(t, г). Для сферически симметричной функ­ции / оператор Лапласа имеет вид

г дг2

Подставив (1.21) в (1.20), получим уравнение

і а2 і d2f

Г W) = iU - (1-22)

г дг2 с2 dt2

Введем вспомогательную функцию F = г/. Тогда уравнение (1.22) преобразу­ется к виду, аналогичному (1.11),

Рис. 1.3. Расходящаяся (а) и сходящаяся (б) сферические волны. Показаны положе­ния волновых фронтов в последовательные моменты времени tl < І2 < із

и, следовательно, его общее решение представляется в виде суперпозиции двух волн, бегущих во взаимно противоположных направлениях:

’•[1] F(r, t) = Fi(t - г/с) + F2(t + г/с).

Возвращаясь к искомой функции /, получим

f(r t) = Р^~г/С) + F2{t + r/c)

Выражение (1.25) описывает две сферические волны: расходящуюся от начала координат и сходящуюся к нему (рис. 1.3).

Гармоническая сферическая волна. Если на сфере радиуса тд задать гармоническое возмущение, синфазное во всех точках сферы

/(г0, t) = (Ао/го) cos[u)(t - го/с)],

то возбуждаемая таким источником расходящаяся волна при г > тд может быть представлена в виде

/(г, t) = (Ao/r) cos[u;(t - г/с)].

Здесь в отличие от плоской волны амплитуда зависит от координаты, а фазо­вый и амплитудный фронты представляют собой сферы.

Модулированные волны и излучение реальных источников света.

Реальные источники света генерируют излучение, которое, на первый взгляд, имеет мало общего с рассмотренными выше эталонными волнами. Сказанное относится в первую очередь к характеру изменения волнового возмущения в пространстве. Так, световой пучок гелий-неонового лазера — это, конечно, не плоская и не сферическая волна. Для многих лазерных и в особенности нела­зерных источников света далека от реальности и модель гармонического из­менения во времени напряженностей электрического и магнитного полей или, как принято говорить, модель монохроматической волны.1 Картина излучения
рубинового лазера — наглядный пример такой ситуации. Здесь мы имеем де­ло с короткой световой вспышкой, световым импульсом — негармоническим волновым процессом, имеющим конечную длительность.

Как описать реальные световые пучки и импульсы, каковы закономерности их распространения в пространстве? Детальный ответ на этот вопрос дает вол­новая оптика, изложению которой посвящена третья часть книги. Установле­ние закономерностей излучения света, физики интерференции и дифракции по­зволяет дать полную картину поведения реальных волновых процессов. Здесь мы предпошлем такому последовательному рассмотрению обсуждение простых моделей, основанных на наглядных физических соображениях. Это позволит дать формулировку задач, возникающих при описании световых пучков и им­пульсов. Оказывается, что в основу такого описания могут быть положены плоская и сферическая гармонические волны.

Квазиплоские волны. На практике невозможно создать источник све­та, генерирующий поле вида (1.14). Конечная протяженность или, как принято говорить, конечная апертура источника приводит к тому, что амплитуда свето­вых колебаний изменяется в плоскости, перпендикулярной направлению рас­пространения света, — возникает пространственно модулированная волна. В пространственно модулированной световой волне значения амплитуды и фазы зависят от координаты, т. е. имеет место ситуация, принципиально отличаю­щаяся от таковой для плоской волны. Тем не менее, имеются случаи, когда плоскую волну можно рассматривать не только как математическую абстрак­цию. Физические соображения подсказывают, что если апертура источника све­та равна d, то волновой процесс будет обладать свойствами плоской волны не только для d —> оо, но и для конечных, но достаточно больших апертур.

Какой смысл в данном случае следует вкладывать в слова “большая апер­тура" (оптики говорят также “широкая апертура”)? Величину d следует срав­нить, очевидно, с некоторым характерным пространственным масштабом про­цесса. Для световой волны в качестве такого масштаба выступает длина вол­ны (1.18). В видимом диапазоне А ~ 10-4 см, апертура типичного лазерного пучка d ~ 0,1 см. Следовательно, d/А и 103 1.

С помощью оптических резонаторов лазеров, различных коллимирующих устройств удается создавать широкоапертурные пучки, амплитуда и фаза в которых медленно (на масштабе длины световой волны) меняются в плоско­сти, перпендикулярной направлению распространения света. В таких случаях волновые фронты на значительных расстояниях мало отличаются от плоско­стей. Следовательно, мы имеем дело с волнами близкими к плоским, т. е. с квазиплоскими волнами. В случае гармонической квазиплоской волны поле на выходной апертуре источника можно записать в виде

Ех (t, х, у, 0) = А{х, у) cos ut.

Здесь волновой фронт плоский, а амплитуда волны медленно меняется в плос­кости х, у с характерным масштабом изменения d. Можно ожидать, что если d » А, то существует область не слишком малых расстояний z (во всяком слу­чае z » A, z > d), для которых волна, возбуждаемая источником вида (1.28), остается квазиплоской:

Ex(t, x,y, z) = А{х, у) coa(u>t - kz).

Критерий применимости модели (1.29) удается установить, лишь обращаясь к решению волнового уравнения (1.10) с граничным условием (1.28). Обсужде-

2Д = Ы2/2. Выражение (1.34) можно переписать как

AK(r, z) = Aexp(-i(p), где А и tp — вещественные амплитуда и фаза волны:

(1.37)

(1.38)

Согласно (1.37), (1.38) распределение амплитуды и фазы в поперечном сечении пучка определяется только одним параметром — отношением пути z, пройден­ного волной, к характерной длине гд, определяемой формулой (1.35) и назы­ваемой дифракционной длиной светового пучка. При z гя выражение для светового поля упрощается и приобретает вид

Ex(t, r,z) = А0 exp(-r2/d2) cos(u)t - kz), т. e. мы действительно имеем волну вида (1.29).

Чем больше величина 2Д, т. е. чем больше отношение d/X, тем больше рас­стояние г, на котором сохраняется плоский фазовый фронт. Например, для излучения гелий-неонового лазера с длиной волны А = 0,63 мкм и радиусом пучка d — 0,1 см дифракционная длина 2Д = псР/Х = 5 м. Расширяя пучок до d = 1 см, получим 2Д = 500 м. Таким образом, результаты расчета подтвер­ждают предварительные качественные соображения.

Замечательное свойство гауссова пучка состоит в том, что он сохраняет свою форму и при 2 > 2Д. В соответствии с (1.37) при этом изменяется лишь ширина пучка. В этой области, однако, пучок приобретает свойства сфериче­ской волны. Из (1.37), (1.38) следует, что при z 2Д амплитуда волны убывает пропорционально пройденному расстоянию:

A(r, z) ~ Aqz^/z ~ 1/2, (1-40)

а фазовый фронт становится сферическим:

<fi(r, z) ~ г2/<Р. (1-41)

Указанные свойства гауссова пучка иллюстрирует рис. 1.4, на котором пока­заны изменение поперечного размера и искривление волнового фронта пучка при его распространении в свободном пространстве.

Суперпозиция сферических волн. Случайно модулирован­ная волна. Наблюдателю, находящемуся на достаточно большом удалении от источника света, последний кажется светящейся точкой. Естественно ожи­дать, что в этом случае характеристики светового поля в точке наблюдения будут близки к свойствам сферической волны. Типичным примером здесь явля­ется приходящее к Земле излучение звезд.

Результаты, приведенные выше, позволяют проследить процесс формиро­вания сферической волны для конкретной модели излучения, а именно для гауссова пучка. В силу соотношений (1.40), (1.41) наблюдателю, рассматрива­ющему выходное зеркало гелий-неонового лазера с расстояния z > 2Д, лазер представляется источником сферической волны.

Элементарными оптическими излучателями являются отдельные атомы и молекулы. Характерный атомный размер составляет 10-8 см, поэтому излуче­ние отдельных атомов и молекул можно рассматривать как сферические волны уже на микроскопических масштабах.

Обычно наблюдают излучение большого числа N элементарных излучате­лей. Так, в кубическом сантиметре газа при нормальных условиях iV ~ 1019, а в конденсированной среде N ~ 1022. Поэтому излучение обычных источников света есть суперпозиция большого числа сферических волн:

N

Ex(t, x,y, z) = ^(4j»/r*)cos[w(f-rj/c)], (1-42)

»=i

где

п = [(х - Хі)2 + (у - Уі)2 + (z - Zi)2]1/2, (1.43)

Хі, yi, Zi — координаты г-го излучателя (атома или молекулы). Качественное представление о волновом поле ансамбля излучателей дает рис. 1.5, на котором показана эволюция в пространстве суперпозиции сферических волн. Вблизи от излучателей поле имеет сложную структуру пространственно модулированной волны. По мере удаления от источника света сферические фронты отдельных

г/гд =0,5 г/гд = 2

Рис. 1.4. Распространение гауссова светового пучка. Контур пучка в продольном се­чении (сплошные кривые) и волновые фронты (пунктир) (а); поперечный профиль интенсивности излучения (6)

волн совпадают на все больших площадях. Наконец, при z —» оо суперпози­ция многих сферических волн хорошо аппроксимируется одной сферической волной.

Как описать количественно свойства сложного волнового поля, представля­ющего собой суперпозицию множества сферических волн? Это один из главных вопросов физики излучения света, которой посвящена ч. II. Здесь же отметим только, что поскольку поведение большой совокупности атомов или молекул подчиняется статистическим законам, статистический характер носит и по-

ведение суммарного светового поля. Так в оптике возникает представление о случайно модулированной световой волне — волне, амплитуда и фаза которой изменяются нерегулярным, случайным образом.

Квазигармонические волны. Как уже говорилось, на опыте мы обычно имеем дело с конечным по длительности световым импульсом, а не с идеальной гармонической волной. Реальные световые источники излучают вол­ны, модулированные не только в пространстве, но и во времени. Принимая во внимание только временную модуляцию поля, рассматривая расстояния z гд

и точки, не слишком удаленные от оси светового пучка (х, у <£ d), вместо (1.28) можно написать

Ex(t, х, у,0) = f(t) = A(t) cosuit. (1-44)

В соответствии с (1.13) в области z > 0 источник вида (1.44) возбудит плоскую

амплитудно модулировинную волну

Ex(t, z) = A(t - z/c) cos[w(i - z/c)], (1-45)

являющуюся решением одномерного волнового уравнения (1.11). В более об­

щем случае во времени изменяется не только амплитуда, но и фаза колебаний источника

Ex(t,0) = f(t) = .A(t) cos[w* - y>(i)]. (1-46)

Тогда в пространстве возбуждается волна, имеющая временную амплитудную и фазовую модуляцию.

Изменения функций A(t) и <p(t) могут быть достаточно быстрыми. Так, со­временные лазеры способны генерировать световые импульсы длительностью т ~ 10-12-10-14 с. Тем не менее в подавляющем большинстве случаев соответ­ствующие изменения амплитуды и фазы остаются медленными в масштабе пе­риода световых колебаний Т = 2тг/и>. В видимом диапазоне Т ~ 10-14-10-15 с, и даже для пикосекундных импульсов (1 пс = 10“12 с) выполняется неравен­ство т » Т. Свойства таких медленно модулированных во времени волн близки к свойствам гармонической волны. Поэтому их принято называть квазигармо - ническими.

Прямой подстановкой можно проверить, что (1.45) удовлетворяет волново­му уравнению (1.10). Вид решения (1.45) показывает, что форма временнбй модуляции плоской волны остается неизменной при ее распространении в сво­бодном пространстве. Этим поведение волн, модулированных во времени, прин­ципиально отличается от поведения пространственно модулированных волн. Вместе с тем в материальной среде, как мы убедимся в ч. IV, форма и дли­тельность светового импульса могут существенно изменяться.

Говоря о временнбй модуляции световых волн, коснемся и такого вопроса: с какой степенью точности можно приблизиться на практике к идеальной мо­нохроматической волне? На первый взгляд может показаться, что речь идет о технической проблеме. Действительно, казалось бы повышение стабильности параметров одночастотного лазера непрерывного действия может привести к генерации оптических колебаний, сколь угодно близких к гармоническим. На самом же деле имеется принципиальный предел монохроматичности, опреде­ляемый квантовыми флуктуациями в излучающих атомах и молекулах. Эти флуктуации оказываются причиной неустранимых амплитудной и фазовой мо­дуляций волны. Надо сказать, что связанная с квантовыми флуктуациями не - монохроматичность излучения относительно невелика. Отклонение частоты от средней не превышает 102 Гц. С ними, однако, приходится считаться в кванто­вых стандартах частоты и времени, прецизионных оптических экспериментах. Обращаясь же к принципиальной стороне дела, можно резюмировать, что иде­альная монохроматическая волна есть такая же абстракция, как и идеальная плоская волна. Идеальная монохроматическая волна неосуществима.

Спектральное разложение светового поля. Итак, во многих случаях свойства излучения реальных оптических источников близки к свойствам плос­кой или сферической гармонических волн. Этим, однако, роль эталонных волн не исчерпывается. Произвольное волновое возмущение можно представить в виде суперпозиции эталонных волн или, иначе говоря, разложить его в спектр, выполнить спектральное разложение.

Особое значение в оптике имеет разложение волновых пучков и импуль­сов по плоским гармоническим волнам. Дело в том, что такое разложение оказывается не только удобной математической операцией, оно фактически осуществляется в реальном оптическом эксперименте. Один из классических экспериментов такого рода — знаменитый опыт Ньютона, в котором наблю­далось разложение в спектр света с помощью стеклянной призмы (рис. 1.6). Заключение Ньютона о том, что “солнечный свет состоит из лучей различ­ной преломляемости”, нетрудно перевести на математический язык спектраль­
ных разложений. Оно означает, что поле плоской немонохроматической волны Ех (i, z) можно представить в виде суперпозиции плоских монохроматических волн.

Действительно, произвольную функцию /(£), описывающую заданное при z = 0 световое возмущение, можно представить в виде интеграла Фурье (см. дополнение 4):

(1.47)

т. е. разложить в спектр по гармоническим колебаниям или, как мы будем говорить, в частотный спектр

fu = /М cos[otf - ¥>(w)].

Амплитуды квадратурных спектральных компонент а(и>) и Ь(и>) или спектраль­ные амплитуда f(ui) и фаза y(w), определяющие частотный спектр функции f(t), вычисляются с помощью обратного преобразования Фурье

(1.49)

Каждая гармоническая компонента заданного при z = 0 возмущения f(t) воз­буждает монохроматическую световую волну

Еш(і, z) = f{w) cos[ti>£ — kz — ¥>(<*>)].

Функция вида (1.50) удовлетворяет волновому уравнению. Удовлетворяет ему и полное поле, являющееся суперпозицией волн (1.50):

(1.51)

Формула (1.51) наряду с (1.45) дает еще один способ описания немонохрома­тической плоской волны — в виде суперпозиции плоских монохроматических волн. Принято говорить, что выражение (1.45) описывает немонохроматиче­скую волну во временнбм представлении, а (1.51) — в спектральном предста­влении.

Спектральные разложения естественным образом обобщаются и на волно­вые пучки — пространственно модулированные волны. Волновой пучок тоже можно представить в виде суперпозиции плоских волн, но теперь речь идет о разложении по волнам, распространяющимся в различных направлениях. Раз­личные спектральные компоненты в таком разложении характеризуются угла­ми между направлением распространения волны и координатным осями. По­этому принято говорить об угловом спектре пространственно модулированной волны. Замечательно, что разложение в угловой спектр физически происходит в очень простых по постановке опытах. Так, форма углового спектра светового пучка определяется распределением освещенности на экране, расположенном на достаточно большом удалении от источника света (при z 3> гД), либо в фокальной плоскости линзы. В таких опытах свободное пространство и линза выполняют такую же операцию фурье-разложения по отношению к угловому спектру, что призма по отношению к частотному. Подробное обсуждение этих вопросов мы отложим до ч. III; их анализ потребует более детальных предста­влений о физике распространения пространственно модулированных волн.

Принцип суперпозиции. Согласно этому принципу световые волны раз­ных частот и разных направлений распространяются в вакууме независимо друг от друга. Можно указать простые эксперименты, наглядно иллюстриру­ющие принцип суперпозиции. Так, через одно и то же отверстие в экране два наблюдателя могут видеть разные объекты; при этом наблюдаемые ими кар­тины, вообще говоря, никак не связаны между собой.

Математически принцип суперпозиции является следствием линейности волнового уравнения, описывающего распространение световых волн в ваку­уме. В самом деле, если поля Ei, Е2,... являются решениями волнового урав­нения, то его решением оказывается и сумма полей

п

В этом можно убедиться, подставляя, например, в уравнение (1.10) плоские волны вида

ЕХп — cos(wnt knz), kfi — шп/с.

При этом волновое уравнение распадается на независимые уравнения для от­дельных волн.

Почти тривиальный в электромагнитной теории, принцип суперпозиции со­здавал проблемы для сторонников корпускулярной теории света. Казалось бы, что корпускулы, принадлежащие разным световым пучкам, должны как-то взаимодействовать, рассеиваться друг на друге. Даже основателю волновой теории Гюйгенсу принцип суперпозиции отнюдь не представлялся самоочевид­ным. В “Трактате о свете” Гюйгенс писал: “Удивительнейшее свойство света состоит в том, что лучи, идущие из разных и даже противоположных напра­влений, проходят один сквозь другой нисколько не препятствуя обоюдным дей­ствиям” . Ниже мы убедимся, что сомнения Гюйгенса имеют под собой серьез­ные основания. Современная лазерная оптика дает много примеров сильных нарушений принципа суперпозиции дня световых волн, распространяющихся в материальной среде. Квантовая электродинамика предсказывает (правда, при очень больших даже по современным меркам интенсивностях света) нарушения принципа суперпозиции и в вакууме. В очень мощных световых полях долж­но наблюдаться рассеяние света на свете в вакууме.[2] Таким образом, принцип суперпозиции в оптике отнюдь не является универсальным. Мы будем считать его справедливым для волн в вакууме. Вопрос о пределах применимости прин­ципа суперпозиции в материальной среде обсуждается в ч. IV.