Доклады о будущих и современных технологиях

ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ БРУСА ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ

Н. А. Виноградова, Ю. Д. Таршис

Научный руководитель - Ю. Д. Таршис, д-р техн. наук, профессор Ярославский государственный технический университет

Данный вопрос можно рассматривать как установившеюся связь меж­ду рациональным подходом древних строителей и возможностями опти­мального проектирования. В строительной практике приходилось вытесы­вать прямоугольные балки из круглых бревен, при этом ширина и высота балки могли быть сделаны производно.

Среди прямоугольных сечений, которые можно вписать в контур бревна, существует такое, для которого величина сопротивляемо­сти изгибу (то есть момент сопротивления) бу­дет наибольшей. Эта задача известна как зада­ча Парана (1666-1716), французского матема­тика, внесшего большой вклад в теории изгиба балки. Решение дается в следующей форме.

Следует разделить диаметр на три части и вос­становить перпендикуляры ЕС и АР, образо­вавшийся прямоугольник АВСБ представляет собой искомое сечение балки, в котором АВ = Н - высота, АБ = Ь - ширина. Тогда на основании известного соотношения для прямоугольного треугольника ВС2=ВБВЕ получаем, что Ь=с1/л[3.

Решим эту задачу с использованием дифференциального исчисления, т. е. как оптимальную:

. '2-Ъ2

Момент сопротивления вписанного прямоугольника относительно оси будет равен:

И/ = 6 = 6

Для отыскания максимума возьмем первую производную и приравня­ем ее к нулю:

Откуда Ь=<1/!3.

Получился тот же результат.