ПРИНЦИПЫ ЛАЗЕРОВ

СИНХРОНИЗАЦИЯ МОД

Рассмотрим лазер, генерирующий на многих продольных модах. В обыч­ных условиях фазы этих мод имеют случайные значения, и в случае непре­рывной генерации интенсивность пучка будет изменяться во времени также случайным образом. В качестве примера на рис. 8.15 показана временная зависимость квадрата амплитуды электрического ноля А(і)выходного пуч­ка для случая N = 31 генерирующих продольных мод, которые имеют одну

И ту же амплитуду Е0, и которые равномерно разделены межмодовым рас­стоянием Ау. Из рисунка видно, что выходной пучок состоит из случайной последовательности световых импульсов. Вопреки такой случайности, по­скольку эти импульсы возникают из суммы N компонент, равномерно разде­ленных в частотном диапазоне, форма импульса на рис. 8.15 имеет следую­щие характерные для рядов Фурье особенности:

■ сигнал является периодическим, при этом период составляет хр = 1/Ау;

■ каждый световой импульс случайной формы обладает длительностью Атр9 приблизительно равной отношению 1/Аь, где АЬ = ИА — полная ши­рина линии генерации.

Таким образом, для лазеров с относительно широким контуром линии усиления (например, для лазеров на красителях, твердотельных и полупро­водниковых) величина Аь может быть сравнима с шириной линии усиления и, следовательно, можно получить на выходе короткие импульсы с длитель­ностью порядка пикосекунд и меньше.

Заметим, что поскольку время отклика обычных фотодетекторов, как правило, намного больше, чем несколько пикосекунд, они не способны раз­решить и отследить такое сложное поведение во времени многих мод с раз­личными фазами, и вместо этого отображают усредненное значение. Это зна­чение является суммой показателей степени в модах и, следовательно, про­порционально величине АТЕ%.

Предположим теперь, что генерирующие моды все еще имеют одинако­вые или сравнимые амплитуды и что в лазере каким-либо образом созданы условия, когда фазы различных мод связаны определенным соотношением. Такие лазеры называются лазерами с синхронизацией мод, а процессы, с помощью которых удается связать фазы различных мод, — синхронизацией мод [15]. В данном разделе лазеры с синхронизацией мод будут описаны до­вольно подробно.

8 6 1

ОПИСАНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ ЧАСТОТ

Вначале рассмотрим описание механизма синхронизации мод в представ­лении частотной области. В качестве первого примера рассмотрим генера­цию 2п + 1 продольных мод с одинаковыми амплитудами Е0 (рис. 8.16а). Предположим, что фазы ц>1 мод в выходном пучке синхронизированы таким образом, что между ними выполняется соотношение:

Ф( - Фг-1 = Ф> (8.6.1)

Где ф — постоянная величина. При этом полное электрическое поле Е(£) элек­тромагнитной волны в любой заданной точке выходного пучка можно запи­сать в виде +п

£(*) = Х'£0ехр{Д(0)0 +гдю)г+/ф]}, (8.6.2)

-п

Где со0 — частота центральной моды, а Дсо — межмодовое расстояние. Для простоты рассмотрим поле в той точке пространства, в которой фаза цен­тральной моды равна нулю. В соответствии с выражением (8.6.2) полное элек­трическое поле волны можно записать в следующем виде:

ЕЦ) = А(£)ехр (усо0£), (8.6.3)

A(t) = YjiEо exp[/7(A<цt + cp)].

Выражение (8.6.3) показывает, что функция E(t) может быть представ­лена в виде синусоидальной волны с несущей частотой, равной частоте цен­тральной моды со0, причем амплитуда волны A(t) зависит от времени. Если выбрать теперь новую переменную Ґ, такую, что Лсо£' = Дсоt + ср, то выраже­ние (8.6.4) принимает вид

A(t') = џ_iE0 ехр/і(Дюі').

Нетрудно заметить, что сумма в правой части этого выражения представ­ляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем, равным ехру(Дсо£')- Суммируя эту прогрессию, можно без особого труда вычислить величину А(?Л и, таким образом, получаем:

Sin[(2n + l)A<цf72] sin[Act>f'/2] •

-A(ы

Чтобы понять физический смысл этого выражения, на рис. 8.17 построе­на зависимость величины А2(Ь')/Е1 от времени V для 2п + 1 = 7 генерирую­щих мод, где параметр А2(*') пропорционален интенсивности пучка. Не­трудно видеть, что благодаря выполнению условия синхронизации фаз (см. выражение 8.6.1), генерирующие моды интерферируют друг с другом и об­разуют цуг равно отстоящих световых импульсов. Максимумы импульсов приходятся на те моменты времени, когда знаменатель в выражении (8.6.6) обращается в нуль. Таким образом, в новой системе отсчета времени V мак­симум появляется при V = О. Следует отметить, что числитель в этом выра­жении также обращается в нуль, и если воспользоваться приближением эта = а для малых значений параметра а, нетрудно видеть, что из формулы (8.6.6) вытекает: А2(0) = (2п + 1)2Ед. Следующий импульс появится, когда в выражении (8.6.6) знаменатель дроби вновь обратится в нуль. Это имеет ме­сто при таком значении £', при котором (Асо£'/2) = я. Поэтому два последую­щих импульса будут разделены временным интервалом

Тр = 2я/Асо = 1/Ау.

Где Ау — межмодовое расстояние. При V > 0 первый нуль функции А2(£') на рис. 8.17 появится тогда, когда числитель дроби в выражении (8.6.6) вновь обратится в нуль. Это произойдет в такой момент времени при котором выполняется условие [(2я + 1)Асо£р/2] = я. Поскольку ширина Атр, измерен­ная на полувысоте функции А2(?) (т. е. ширина каждого лазерного импуль­са), приближенно равна имеем:

Атр = 2п/(2п + 1)Асо = 1 /Аь.

Где Ауь = (2п + 1)Асо/2я — полная ширина линии генерации (см. рис. 8.16а).

Временную картину синхронизации мод на рис. 8.17 нетрудно понять, если представить компоненты поля в выражении (8.6.5) в виде векторов на комплексной плоскости. При этом 1-й компоненте соответствует комплекс­ный вектор с амплитудой Е0, вращающийся с угловой скоростью /Аса. В мо­мент времени V = 0, в соответствии с (8.6.5), все векторы будут иметь нулевые

А	Б
Л(0ір=2п/5
0

Фазы и, следовательно, одинаковое направление, которое будем считать расположенным в горизонтальной плоскости (см. рис. 8.18). В этом случае полное поле будет равно (2п + 1 )Е0. При t' > 0 вектор, соответствующий центральной моде, останется неподвижным, тогда как векторы мод с / > О, т. е. с частотой со > со0 будут вращаться в одном направлении (например, против часовой стрелки), а векторы мод с частотой со < со0 будут вращаться в противоположном направлении (по часовой стрелке). Следовательно, в не­который момент времени t’ > 0 в случае, скажем, пяти мод картина будет выглядеть как на рис. 8.18а. Если теперь к моменту времени V мода 1 по­вернулась на угол 2 л (это имеет место, когда Лео t' = 2л), то мода -1 повернет­ся (по часовой стрелке) на угол 2л, а моды 2 и -2 повернутся на угол 4л. Следовательно, все эти векторы снова совпадут с вектором центральной моды на частоте со0, и полное электрическое поле опять станет равным (2п + 1)2£0- Таким образом, временной интервал тр между двумя последующими импуль­сами должен быть таким, чтобы выполнялось равенство Асотр = 2л, что и утвер­ждает выражение (8.6.7). Заметим, что на рис. 8.17 момент времени tp9 при котором функция A(tf) обращается в нуль, соответствует случаю, когда все векторы повернуты на один и тот же угол относительно друг друга (рис. 8.186). Чтобы выполнялось это условие, мода 1 должна повернуться лишь на угол 2л/5, или, в более общем случае, (2п + 1) мод — на угол 2п/(2п + 1). Таким образом, время tp9 и тем самым длительность импульса Атр, теперь определяются выражением (8.6.8).

Прежде чем продолжить дальнейшее рассмотрение явления синхрониза­ции мод, имеет смысл подчеркнуть некоторые особые свойства лазеров с син­хронизацией мод. Было установлено, что при условии синхронизации мод (8.6.1) выходной пучок представляет собой цуг синхронизованных по фазе импульсов, причем длительность каждого импульса Атр примерно равна об­ратной ширине линии генерации AvL. Этот результат нетрудно понять, если вспомнить, что поведение во времени каждого импульса представляет собой фурье-образ его частотного спектра. Отсюда видно, что поскольку ширина линии генерации AvL может быть порядка ширины линии усиления Av0, то можно ожидать, что синхронизация мод в твердотельных или полупровод­никовых лазерах позволит генерировать очень короткие импульсы (до не­скольких пикосекунд). В лазерах на красителях или в перестраиваемых твер­дотельных лазерах ширина линии усиления в сотни раз превышает эту вели­чину, что дает возможность получать в таких лазерах (и уже действительно были получены) значительно более короткие импульсы (например, ~25 фс для лазера на красителе родамин 6G и ~7 фс для лазера на титан-сапфире). С другой стороны, в газовых лазерах ширина линии усиления намного уже (до нескольких гигагерц), и поэтому генерируются относительно длинные импульсы (до -100 пс). Следует также отметить, что максимальная мощность в импульсе пропорциональна величине (2п +1)2 Е%, тогда как для мод, обла­дающих случайными фазами, средняя мощность является просто суммой мощностей различных мод и, следовательно, пропорциональна величине (2п + 1)Щ. Таким образом, для одного и того же числа генерирующих мод с амплитудой Е0 отношение пиковой импульсной мощности в случае синхро­
низации мод к средней мощности без синхронизации мод равно числу гене­рируемых мод, которое для твердотельных и жидкостных лазеров может быть довольно большим (103 - г-104). В результате нетрудно видеть, что син­хронизация мод полезна для получения импульсов не только с очень корот­кой длительностью, но также и с высокой пиковой мощностью.

До сих пор описание процесса синхронизации мод ограничивалось рас­смотрением нереального случая спектра мод, имеющих одинаковые амплиту­ды (рис. 8.16а). В общем случае модовый спектр имеет, как правило, колоко­лообразную форму. В качестве примера рассмотрим случай, когда модовый спектр имеет гауссово распределение (рис. 8.166). Таким образом, амплиту­ду Ег для 1-й моды можно записать в виде:

(8.6.9)

Где Асох — спектральная ширина линии, измеренная на половине высоты. Если теперь снова предположить, что фазы синхронизированы в соответст­вии с выражением (8.6.1) и что фаза центральной моды равна нулю, то по­ле E(t) можно снова записать в виде формулы (8.6.3), причем амплитуда A(t) в системе отсчета времени f дается выражением

+00

(8.6.10)

—00

Если данную сумму аппроксимировать интегралом, т. е. записать

A(t) = JEt exp j(lAa)t)dl>

То оказывается, что амплитуда поля А{Ь) пропорциональна фурье-образу ве­личины спектральной амплитуды Ег. При этом находим, что величина А2(£), т. е. интенсивность импульса, является гауссовой функцией, которую мож­но записать в виде

(8.6.11)

Где величина

(8.6.12)

Представляет собой ширину импульса, определяемую на половине высоты.

Рассмотренные два примера позволяют сделать вывод о том, что при вы­полнении условия синхронизации мод (выражение (8.6.1)) амплитуда поля оказывается пропорциональной фурье-образу спектральной амплитуды. В этом случае длительность импульса Атр связана с шириной спектральной интенсивности Ауь соотношением Атр = Р/Ау£, где Р — числовой множитель (порядка единицы), который зависит от конкретного вида распределения спектральной интенсивности. Такой импульс называется импульсом, дли­тельность которого является спектрально ограниченной.

При условиях синхронизации, не совпадающих с выражением (8.6.1), дли­тельность выходного импульса может существенно отличаться от обратной