ПРИНЦИПЫ ЛАЗЕРОВ

ОДНОРОДНОЕ УШИРЕНИЕ

Первый из рассматриваемых механизмов однородного уширения линий связан со столкновениями и называется столкновительным уширением. В га­зах он реализуется при столкновениях атома с другими атомами, ионами, сво­бодными электронами и т. д., либо со стенками сосуда. В твердых телах он обусловлен взаимодействием атома с фононами решетки. В результате столк­новения волновые функции у1 и |/2 для двух уровней атома (см. (2.3.1)) ис­пытывают случайный скачок фазы. Это означает, что фаза осциллирующего дипольного момента ь08С (см. (2.3.6)) также претерпевает случайный сдвиг относительно фазы падающей электромагнитной волны. Таким образом, эти столкновения прерывают процесс когерентного взаимодействия излучения

Рис. 2.9 Изменение во времени напряженности электрического поля электромагнитной волны ЕЦ), воспринимаемое атомом, испытывающим столкновения. (Реально за время между столкновениями т может произойти 107 или более колебаний.)

С атомом. Поскольку именно относительная фаза имеет значение при этом взаимодействии, то теоретическое описание ситуации не изменится, если предположить, что сдвиг при каждом столкновении испытывает фаза на­пряженности электрического поля, а не фаза дипольного момента х08С. В ре­зультате, напряженность электрического поля не может более считаться си­нусоидально изменяющейся во времени величиной, а будет иметь вид, пред­ставленный на рис. 2.9, где каждый скачкообразный сдвиг фазы связан со столкновением. Понятно, что при таких условиях атом уже не воспринима­ет электромагнитную волну как монохроматическую. В этом случае, запи­сав объемную плотность энергии излучения в узком спектральном интерва­ле от у' до у' 4- (IV в виде йр = Ру^у', можно подставить эту величину в соотно­шение, справедливое для монохроматического излучения, т. е. в (2.4.7), что приводит к выражению:

** "■ ................................. (2.5.1)

ІН-2112 Р^(у'-у0)<*у'.

3 п2г0к2

Полная вероятность перехода получается путем интегрирования соотноше­ния (2.5.1) по всему спектру частот излучения, что дает:

SHAPE \* MERGEFORMAT

2п2

Щ9=-

12 3 п2г0к2

Теперь можно записать ру, в виде:

+00

ІЦ21І2 |рУ'8(у'-у0)^у'.

Ру’=Р£(у'-у), (2.5.3)

Где р — плотность энергии волны в единице объема (см. соотношение (2.4.6)), а функция #(у' - у) описывает спектральную зависимость величины ру.. По­скольку, очевидно, р = |ру'<2у', то интегрирование обеих частей выражения

(2.5.3) показывает, что функция #(у' - у) должна удовлетворять условию нор­мировки +00

Ту'-у)с£у' = 1.

Подставляя (2.5.3) в соотношение (2.5.2) и используя хорошо известные ма­тематические свойства 8-функции, получим:

(2.5.5)

Как и предсказывалось в разделе 2.4.1, видно, что величину 1У12 действитель­но можно получить путем замены 8(у - у0) в соотношении (2.4.7) на £(у - у0). Отметим, что согласно (2.5.4) справедливо также равенство

+00

|я(у-у0)сгу = 1. (2.5.6)

-оо

Теперь остается рассчитать нормированную функцию спектральной плотности энергии падающего излучения £(у' - у). Эта функция зависит от длительности интервала времени х между двумя последовательными столк­новениями (рис. 2.9), которая, очевидно, отличается от столкновения к столкновению. Предположим, что распределение величин х можно описать плотностью вероятности

Л-[ехр(-т/те)]/те. (2.5.7)

При этом рх(1 х является вероятностью того, что длительность интервала вре­мени между столкновениями находится в диапазоне от х до х 4- йх. Отметим, что параметр хс в (2.5.7) имеет физический смысл среднего интервала време­ни между двумя последовательными столкновениями, (х). Действительно, легко видеть, что

(т) = |тртйх = 1

На данном этапе математическая задача, которую требуется решить, четко определена. Необходимо рассчитать нормированную спектральную плотность энергии электромагнитной волны, изображенной на рис. 2.9, для которой длительность интервала времени х между столкновениями имеет статисти­ческое распределение^, задаваемое соотношением (2.5.7). Сославшись, в плане математических деталей, на Приложение Б, просто приведем здесь окончательный результат. Искомая нормированная спектральная функция определяется соотношением

Лг1(у,_у),г (2.5.9)

В соответствии с (2.5.5) форму контура линии перехода можно получить из

(2.5.9) путем замены у' на у0. При этом имеем:

^(У “Уо) = 2Тс [Г+ 4я*т|1(у - у0)2] ’ (2.5.10)

Что и является требуемым окончательным результатом. Таким образом, по­лучаем функцию лоренцевой формы (см. рис. 2.6), в общем виде описывае­мой соотношением (2.4.8), в котором значение в максимуме равно теперь 2хс, а параметр Ау0 является столкновительной шириной линии, равной

Ау0 = 1 /пхс. (2.5.11)

Пример 2.2. Столкновительное уширение линии в Не-Ие лазере. В ка­честве первого примера столкновительного уширения рассмотрим переход атома или иона в газе при давлении р. Оценка тс дается в этом случае вели­чиной тс = где I — средняя длина свободного пробега атома в газе, а

— его средняя тепловая скорость Учитывая, что = (3кТ/М)1/2, где

М — масса атома, и выбирая I равной величине, определяемой моделью

Твердых сфер, получаем:

Где а — радиус атома, ар — давление газа. Для газа атомов Ne при комнат­ной температуре и давлении р = 0,5 Topp (типичном давлении для He-Ne ла­зера), используя (2.5.12), в котором а = 0,1 нм и гс = 0,5мкс, находим из (2.5.11), что Av0 = 0,64 МГц. Отметим, что величина тс обратно пропор­циональна, и, следовательно, величина Av0 прямо пропорциональна дав­лению р. В качестве эмпирического правила можно принять, что по по­рядку величины для любого атома столкновения дают вклад в уширение линии перехода, примерно равный (Av0/p) = 1 МГц/Topp и сравнимый с тем, что получился для атомов Ne. Отметим также, что число периодов электромагнитной волны, укладывающихся на интервале времени между столкновениями тс, равно m = vxc. Для волны, частота которой попадает в середину видимого диапазона, имеем v = 5 • 1014 Гц, так что указанное чис­ло периодов равно 5 • 108. Это подчеркивает тот факт, что рис. 2.9 сделан не в масштабе, поскольку реальное число колебаний за время т во много раз больше, чем изображено на рисунке.

Пример 2.3. Ширина линии в кристаллах рубина и Nd:YAG. В качест­ве другого примера столкновительного уширения рассмотрим переход при­месного иона в ионном кристалле. В этом случае происходят столкновения фононов решетки с ионом. Поскольку число фононов в данной колеба­тельной моде решетки сильно зависит от температуры, то можно ожи­дать, что ширина линии перехода будет иметь значительную температур­ную зависимость. В качестве примера на рис. 2.10 приведена зависимость ширины линии от температуры как в кристалле Nd:YAG, так и в кри­сталле рубина. Ширина линии здесь выражена в волновых числах (см-1) — единицах, которые используются спектроскопистами гораздо чаще, чем обычные единицы частоты.[10] Видно, что при 300 К ширина линии лазер­ного перехода равна Av0 = 4 см-1 = 120 ГГц — для кристалла Nd:YAG и Av0 =11 см1 = 330 ГГц — для кристалла рубина.

Второй механизм однородного уширения линий связан с явлением спон­танного излучения. Поскольку такое излучение характеризуется только

Свойствами данного перехода, то соответствующее уширение называют ес­тественным, или собственным. В случае естественного уширения проще всего рассматривать его проявления на примере спектра испускания излуче­ния. Отметим, что, как указывалось в разделе 2.3.2, спонтанное излучение — это чисто квантовое явление, т. е. его можно корректно описать только при квантовании как вещества, так и излучения. Отсюда следует, что корректное описание спектрального контура испускаемого излучения также требует кван - тово-электродинамического подхода. Ограничимся поэтому приведением ко­нечного результата, который оказывается очень простым, и обсуждением его с использованием некоторых простых соображений. Квантово-электродинами - ческая теория спонтанного излучения [10] показывает, что спектральная функ­ция £(у - у0) снова представляет собой лоренцев контур, вид которого может быть получен из соотношения (2.5.10) путем замены параметра тс на 2х8р9 где

Х8р — излучательное время жизни. Так, в частности, естественная ширина линии перехода (ЕА¥НМ) равна

Ау0 = 1/2пх8р. (2.5.13)

Для того чтобы убедиться в правильности этого результата, отметим, что поскольку мощность, излучаемая атомом, спадает со временем как ехр(^/х8р), то можно пред­положить, что напряженность соответст­вующего электрического поля изменяется согласно соотношению Е^) = ехр(^/2х8р) cos(o0t. Получаемая тогда зависимость от времени мощности излучения (которая про­порциональна (Е2(£)))> а именно ехр(-£/т8р), будет корректно отражать закон ее спада­ния. Теперь нетрудно рассчитать спектраль­ное распределение, отвечающее такой вре­менной зависимости напряженности поля Е(£), и убедиться, что контур линии явля­ется лоренцевым, а его ширина определя­ется соотношением (2.5.13).