ПРИНЦИПЫ ЛАЗЕРОВ

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИЗЛУЧЕНИЯ ЧЕРНОГО ТЕЛА

Рассмотрим замкнутую полость произвольной формы и предположим, что в одной из ее стенок проделано очень ма­ленькое отверстие. Энергия светового пучка, проходящего через это отверстие в полость, будет распределяться внутри

Нее, так что если размеры полости значительно больше размеров отверстия, то только очень малая, если вообще хоть какая-то, доля входящего излуче­ния будет выходить наружу. Таким образом, полость с отверстием можно рассматривать как абсолютно черное тело, поскольку любой попадающий на поверхность отверстия пучок света полностью поглощается внутри полос­ти и не выходит обратно.

Найдем характеристики излучения, испускаемого таким черным телом, когда его стенки находятся при температуре Т. Предположим для просто­ты, что полость заполнена однородной и изотропной диэлектрической сре­дой. Если стенки полости поддерживаются при постоянной температуре Т, то они будут непрерывно испускать и поглощать энергию в виде электромаг­нитного излучения. После того как скорости поглощения и испускания срав­няются, на стенках полости, так же как и в каждой точке диэлектрика, уста­новится тепловое равновесие [1]. Данную ситуацию можно описать, введя объемную плотность энергии излучения р, представляющую собой электро­магнитную энергию, заключенную в единице объема полости. Плотность энергии можно выразить через напряженности электрического E{t) и маг­нитного H(t) полей, используя соотношение:

Р = (|е£2) + (2цЯ2)’ (2>2Л)

Где константы виц представляют собой соответственно диэлектрическую и магнитную проницаемости среды внутри полости, а символ () означает ус­реднение по времени в пределах одного периода колебаний поля излучения. Далее, можно ввести спектральное распределение энергии этого излучения pv как функцию, которая зависит от частоты v. Функция pv определяется следующим образом: рVdv представляет собой плотность энергии излучения в частотном диапазоне от v до v + dv. Очевидно, что соотношение между р и pv имеет вид: *>

Р= jpvdv. (2.2.2)

Пусть /v — спектральная интенсивность покидающего полость через от­верстие в ее стенке излучения, которое обусловлено энергией электромаг­нитного поля, заключенной внутри полости. Можно показать, что /v пропор­циональна pv, а именно:

/v = (c/4n)pv, (2.2.3)

Где с — скорость света в вакууме, ал — показатель преломления среды внут­ри полости. Можно показать теперь, что /v и, следовательно pv, являются универсальными функциями, которые не зависят ни от материала стенок полости, ни от ее формы, и зависят лишь от частоты v и от температуры полости Т. Это свойство функции pv доказывается с помощью простых тер­модинамических рассуждений.

Предположим, что имеются две полости произвольной формы, стенки которых поддерживаются при одинаковой температуре Т. Чтобы убедиться в том, что температура остается постоянной, представим себе, что стенки
обеих полостей находятся в тепловом контакте с двумя термостатами при температуре Т. Предположим теперь, что при некоторой частоте V плотность энергии в первой полости больше, чем соответствующее значение во второй полости. Далее, соединим оптически обе полости, проделав в стенке каждой из них отверстия, и спроецируем с помощью некоей оптической системы одно отверстие на другое. Помимо этого, установим в оптической системе идеальный спектральный фильтр, пропускающий излучение лишь в неболь­шом частотном диапазоне вблизи частоты V. Если > р", то, в соответствии с соотношением (2.2.3), II >/", т. е. имеется поток электромагнитной энер­гии из полости 1 в полость 2. Однако наличие такого потока энергии проти­воречит второму закону термодинамики, поскольку обе полости находятся при одной и той же температуре. Следовательно, для всех частот должно выполняться равенство ру =р£-

В свое время задача о нахождении универсальной функции рУ(у, Т) вы­звала значительные затруднения у физиков. Полностью она была решена Планком, который для нахождения корректного решения ввел гипотезу о так называемых квантах света. Несомненно, теория излучения черного тела является одной из фундаментальных основ современной физики. [1] Прежде чем углубиться в ее описание, необходимо рассмотреть моды элек­тромагнитного излучения в полости черного тела. Поскольку функция ру не зависит ни от формы полости, ни от природы диэлектрической среды в ней, выберем для рассмотрения относительно простой случай полости прямоуголь­ной формы с идеально проводящими стенками, которая равномерно запол­нена диэлектриком.