ПРИНЦИПЫ ЛАЗЕРОВ

НАПРАВЛЕННОСТЬ

Это свойство является простым следствием того, что активную среду по­мещают в резонатор. Например, в случае плоскопараллельного резонатора, изображенного на рис. 1.3, только волны, распространяющиеся в направле­нии, перпендикулярном к плоскостям зеркал (или очень близком к нему), будут оставаться в резонаторе. Для более глубокого понимания свойств на­правленности лазерного излучения (или, в общем случае, произвольной элек­тромагнитной волны) удобно отдельно рассмотреть случаи волн с полной и частичной пространственной когерентностью.

Рассмотрим вначале волну с полной пространственной когерентностью. Даже в этом случае пучок с конечной апертурой будет неизбежно расходить­ся вследствие дифракции. Эту ситуацию можно представить себе с помощью рис. 1.7, на котором изображена волна с однородным поперечным распреде­лением интенсивности и плоским волновым фронтом, падающая на экран 5 с круговым отверстием диаметром I). Согласно принципу Гюйгенса волно­вой фронт пучка в некоторой плоскости Р за экраном можно представить как результат суперпозиции элементарных волн (вэйвлетов), испущенных из каждой точки отверстия. Видно, что из-за конечности диаметра отверстия В пучок должен иметь конечную расходимость. Для того чтобы определить

Величину угла дифракции Qd, рассмотрим вначале более простой случай, по­казанный на рис. 1.76, где отверстие представляет собой щель, с шириной D в плоскости рисунка и бесконечной длиной в направлении, перпендикуляр­ном к этой плоскости. Предположим также, что щель равномерно освещена. Из рисунка нетрудно заметить, что интерференция элементарных волн, ис­пущенных из точек в плоскости щели, приводит к нулевой интенсивности в направлении, определяемом таким углом 0, для которого выполняется усло­вие kl = л. Здесь к — это постоянная распространения волны в пространстве, связанная с длиной волны излучения X соотношением к = 2тс/Х, &1 — длина отрезка ВС. Действительно, в этом случае вклады в волну в направлении 0 от вэйвлетов, испущенных из точек А и В, будут противоположны по фазе и, таким образом, будут гасить друг друга. То же самое будет происходить с вэйвлетами, испущенными из точек АЛ и Вх на рисунке, и т. д. Поскольку

I = (D/2)sin0 = (D/2)0, то, полагая, что угол дифракции пучка 0^ равен уг­лу 0, из соотношения kl = n сразу получаем, что dd = X/D.

В более сложных случаях величину угла 0^ можно рассчитать из теории дифракции, если заданы форма отверстия и поперечное распределение ин­тенсивности волны. Обычно получают соотношение

0d = PVD, (1.4.1)

Где множитель Р — это числовой коэффициент порядка единицы, точное зна­чение которого зависит от формы отверстия и вида распределения интенсив­ности излучения в его плоскости. Действительно, было показано, что в рас­смотренном выше случае бесконечной щели р = 1. В качестве других приме­ров уместно упомянуть, что, как будет видно из последующих глав, Р = 1,22 в случае равномерно освещенного кругового отверстия, тогда как Р = 2/я для пучка неограниченного поперечного размера с гауссовым поперечным рас­пределением интенсивности. Пучок, угол расходимости которого может быть выражен соотношением (1.4.1), в котором р= 1, называют дифракционно­ограниченным.

Если пучок имеет только частичную пространственную когерентность, то его расходимость будет больше минимальной величины, обусловленной дифракцией. Действительно, для любой точки Р' волнового фронта принцип Гюйгенса (рис. 1.7) может быть применен только к точкам, лежащим в пре­делах площади когерентности Sc вблизи Р'. Таким образом, размеры облас­ти когерентности играют роль ограничивающего отверстия для когерентной суперпозиции элементарных волн. В соответствии с соотношением (1.4.1) угол расходимости пучка можно при этом записать в виде

0 = Pty[SJ1'2, (1.4.2)

Где, как и прежде, р — числовой коэффициент порядка единицы, точное значение которого зависит от того, каким образом определяются как угол расходимости 0, так и площадь когерентности Sc.

Теперь можно показать, что поскольку волны, испущенные из каждой области когерентности, некоррелированы, т. е. некогерентны, друг с дру­гом, на достаточно больших расстояниях (в так называемой дальней зоне)

Рис. 1.8

Поперечные профили пучков излучения от двух пространственно­некогерентных источников с диаметром поперечного сечения Dc на большом расстоянии L от источников

Необходимо суммировать не напряженности, а интенсивности полей. Для того чтобы обсудить это обстоятельство, обратимся к простой ситуации, изобра­женной на рис. 1.8, в которой предполагается, что волна представляет собой два когерентных пучка от соседствующих источников, с диаметром попереч­ного сечения Dc каждый, причем эти пучки абсолютно не когерентны друг с другом. Для большей определенности положим Dc = 100 мкм и X = 1 мкм. В со­ответствии с соотношением (1.4.1) имеем 0d = 10“2 рад, так что на расстоянии, например, L = 100 м диаметр поперечного сечения пучка, исходящего из пер­вой области когерентности, будет равен D = DC + 2ddL = 2QdL = 2 м. В той же плоскости диаметр поперечного сечения пучка, исходящего из второй облас­ти когерентности, будет также равен D, при этом сечения будут сдвинуты на пренебрежимо малую величину, равную Dc. Мгновенное значение интенсив­ности электромагнитного поля в произвольной точке Р рассматриваемой плоскости может быть представлено как /(Р)а[(Ех(^) 4- E2(t)]2, где Et(t) и E2(t) — напряженности электрических полей, наведенных в точке Р двумя областями когерентности. Полагая, что амплитуды полей постоянны во вре­мени, перепишем это выражение в виде

I(P) = C[Ј10sin (cot 4- фх) 4- Ј20sin (cot 4- ф2)]2,

Где С — некоторая константа, Е10 и Е20 — амплитуды напряженности элек­трических полей, а фх = фх(£) и ф2 = ф2(0 — соответствующие фазы (см., на­пример, рис. 1.6). Интенсивность, измеряемая любым реальным детектором, будет определяться величиной (/(Р)), которая представляет собой усреднен­ную за несколько периодов колебаний интенсивность 1(Р). Тогда получаем, что эта средняя величина равна

(I(P)) = С[Е?0 (sin2 (cot + ф1)) + Јf0(sin2(cof+ф2)> +

+2Ј10Ј20(sin(cot + фх )sin(cot + ф2))] =

= C[(Ef0 /2) + (Е20 /2) + Е10Е20 (сов(ф2 - фх))].

Заметим, что два фазовых члена, фх(^) и ф2(£), могут быть представлены соот­ветственно в виде фх(£) = vjfx(t) 4- kLx и ф2(£) = j/2(t) 4- kb2, где v*/x и |/2 — фазы напряженностей в рассматриваемых областях когерентности, аЬги Ь2 — рас­
стояния от этих областей до точки Р. Поскольку, однако, напряженности электрического поля в двух областях когерентности некоррелированы, то фазы и vj/2(t) также некоррелированы. Таким образом, разность фаз, Фг(0 ~ будет величиной, случайно изменяющейся во времени, так что среднее значение (cos (ф2 - фх)), стоящее в полученном выражении, будет рав­но нулю. При этом получаем:

<7(Р)> = С[(Я?0 /2) + (Я|0 /2)], т. </(Р)> = 1г + /2,

Где =С(Е120/2)и/2 =С(Е|0/ 2)— соответственно интенсивности электромаг­нитных волн, пришедших в точку Р из двух областей когерентности.

Согласно приведенному рассмотрению, в любой точке необходимо сум­мировать интенсивности излучений, полученных из двух областей когерент­ности. Отсюда следует, что на больших расстояниях суммарный пучок будет иметь такие же поперечные размеры, что и пучок, приходящий из одной зоны когерентности.

Таким образом, имеем: D = 20dL = 2fi(k/Dc)L. Следовательно, угол расхо­димости пучка составляет 0 = Z)/2L = (3(k/Dc), т. е. равен величине (1.4.2), если считать диаметр Dc равным квадратному корню из площади когерент­ности Sc.

В заключение общего описания свойств направленности электромагнит­ных волн следует указать, что при обеспечении определенных условий рабо­ты лазера выходящий из него пучок можно сделать полностью пространст­венно когерентным и, следовательно, дифракционно-ограниченным.