ТЕПЛОТЕХНИКА

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛООБМЕНА

Аналитическое исследование процессов теплообмена связано с изу­чением пространственно-временного распределения температуры

T = F(X, у, Z, т).

В общем случае теплообмен определяется не только тепловыми, но и гидродинамическими явлениями, поэтому математическое описание процесса включает систему дифференциальных уравнений, в которые входят уравнение энергии, уравнение движения и уравнение сплош­ности.

Аналитические методы позволяют вскрыть физические особенности и общие принципиальные закономерности процессов теплообмена.

Дифференциальное уравнение энергии. Дифференциальное уравнение энергии выводится на основе первого закона термодинамики. Для единицы объема потока рабочего тела в условиях теплообмена он может быть записан в следующем виде:

Qdx + Ldx = Pdu + (2.13)

Где Q — количество теплоты, подведенное к единице объема потока в единицу времени, Дж/(м3-с); L — работа, совершаемая внешними силами над единицей объема в единицу времени, Дж/(м3-с); р — плотность, кг/м3; и — внутренняя энергия среды, Дж/кг; w — скорость движения среды, м/с.

Как было показано в первой главе, внутренняя энергия связана с энтальпией соотношением H = и + Pv. Тогда

Du = Dh - D(ро) = Dh - = Dh -+ P~2PdP. (2.14)

В процессе теплообмена работой L внешних сил можно пренебречь. Определим Q. Для этого с помощью контрольной поверхности выделим в теле произвольный объем V и тепловое воздействие части тела за пределами этого объема заменим некоторым распре­делением вектора Q по поверхности F объема.

Уравнение теплового баланса этого объема, отнесенное к единице времени, можно записать

QdV+ $qdF = qvdV, (2.15)

V F V

Где Q0 — мощность внутренних источников теплоты, Вт/м3.

В соответствии с теоремой Гаусса — Остроградского между потоком вектора через поверхность ґ, ограничивающую объем V, и диверген­цией вектора существует связь

J qdF = fdiv<?dK

F V

Подставим это выражение в уравнение (2.15) QdV+ JdivgdK= Jg„dK

V V V

Откуда

Q — Qv~ div Q. (2.16)

Подставим найденное выражение Q (2.16) и Du (2.14) в уравнение первого закона термодинамики (2.13):

D (—

,. Dh dp р Dp I 2 ,

Qv - div q = P —----- j - 4- — + p y, 2.17)

DT Dx p dx dx

Где

Ox dy oz

Считая в соответствии с законом Фурье

, 8T Dt Dt

Получим при постоянной теплопроводности

82t D2T дН

Дх2 ду2 Dz

D2T D2T D2T Где V2T = -—— 4- —5- + — оператор Лапласа. Дх2 Ду2 DzM

Уравнение (2.17) с учетом полученного выражения divg будет:

+ але)

Dt dx р Dt dx

В условиях теплообмена при умеренных скоростях теплоносителя кинетической энергией и изменением давления можно пренебречь. Тогда, считая плотность среды постоянной, получим дифференциальное урав­нение энергии в следующем виде:

Dh

C]V + ^T = P—. (2.19)

Подставим Dh = тогда получим уравнение энергии в виде

Qv + XV2T = рс„ или ~ = V2f + —, (2.20)

' dx dx рср

Где а = Х/рСр — коэффициент температуропроводности, м2/с.

Величина а, так же как X, ср и р, является физической константой вещества и характеризует скорость изменения температуры. Например, как видно из уравнения (2.20), при отсутствии внутренних источников теплоты Qv = 0, скорость изменения температуры зависит только от коэффициента температуропроводности. Выравнивание температур в теле будет достигаться тем быстрее, чем выше значение а.

Полная производная температуры по времени равна

AL - 1L lLdx lL(lL J! Li! L - 1L ^L Лі. Лі

Dx Дх дх Dx Dy Dx Dz Dx Dx X Dx Y Dy Z Dz'

(2.21)

Dt „

Частная производная — называется локальной производной темпе-

Dt Dt Dt Ратуры, а величина wv 1-wv——I - vv„ — конвективной производ-

' Dx Dy ' Dz

Ной. Так как производная связана с движущейся средой (субстан­цией), ее называют субстанциональной производной и обозначают Dt_ Dx '

Уравнение, энергии (2.20) при этом будет

(2.22)

Для твердого тела wx = wy = wz = 0 и конвективной составляющей субстанциональной производной можно пренебречь, тогда при ср = с Уравнение (2.22) принимает вид:

(2.23)

При отсутствии внутренних источников теплоты уравнение (2.23) упрощается и принимает вид

(2.24)

Уравнения (2.23) и (2.24) называются дифференциальными уравне­ниями теплопроводности.

Уравнение движения. В гидродинамике для вывода основного урав­нения движения жидкости используется второй закон механики Ньютона: масса х ускорение = сумме сил, действующих на тело.

Выделим из потока жидкости элементарный объем dF = d. xdydz. Масса его равна PdV, где р — плотность жидкости.

В общем случае на элемент DV действуют следующие силы: сила тяжести, сила давления (обусловленная распределением давления вокруг элемента DV) и сила трения (обусловленная вязкостью жидкости). Найдем проекции этих сил на ось л* (рис. 2.3): сила тяжести

(2.25)

Равнодействующая сил давления

(2.26)

Равнодействующая сил трения

(2.27)

Выразим S по закону трения Нью­тона 5 = (.L Dwjdy И принимая р. — динамическую вязкость, Н • с/м2, посто­янной, получим

®.d (2.28)

Теперь подставим найденные силы в формулу второго закона механи­ки Ньютона, сократим на DV и полу­чим выражение

В неизотермических условиях необходимо ввести поправку на подъем­ные силы, возникающие вследствие разности плотностей горячих и холодных частей жидкости. Выразим зависимость плотности жидкости от температуры через коэффициент объемного расширения 0 = = (Ро — p)/[Po (t — *о)]> и считая J3 постоянным, получим равнодействую­щую сил тяжести в следующем виде:

РОх = Ро [1 - Р (t - To)] дх = роДх - Pop (t - To) дх, (2.30)

Где T, T0 — температуры, соответствующие плотностям р и р0.

Для многих задач конвективного теплообмена можно с достаточ­ной степенью точности ограничиться только подъемной составляющей: считая р расчетным значением плотности и обозначив T — T0 — получим ее выражение: рР%ух.

С учетом этих поправок уравнение движения примет вид

®WX Dp д2и.

+ С-3"

Найдем полную производную:

Dwx = Dwx | Dwx dx ] Dwx dy [ Dvt^ dz Dx дх дх дх ду дх Dz дх'

Или

Dwx Dwx Dwx Dwx Dwx

~DГ = + + (Z33)

Для трехмерного движения равнодействующая сил вязкого трения определяется выражением:

B2yf* ■ D*W* ■ D2Wx .

"а/ + = й <2-34>

Где V2Wx — оператор Лапласа.

В развернутом виде дифференциальное уравнение движения в проекции на ось х получает вид

Dwx dwx dwx dwx _ . 1 Dp

+ -^--w, + u', + —IWjs = Gx$At-------------------- / + W4, 2.35

Dx dx dy y dz p йх

Где v = fi/p — кинематическая вязкость, м2/с.

Аналогично могут быть получены уравнения проекций равнодей­ствующих сил на оси у и г.

В векторной форме дифференциальное уравнение движения имеет вид

Dw п А 1 _

-— = At--------------- Vp + v V2tf.

Dx p

Система уравнений (2.22) и (2.35) не замкнута, так как содержит три неизвестных w и р. Уравнением, необходимым для замыкания системы, является уравнение сплошности.

Уравнение сплошности. Выделим в потоке жидкости (рис. 2.4) элементарный объем DV = Dxdydz. В направлении х за время dx втекает масса dМх = (pvvx)dydzdx. Из противоположной грани вытекает

Pw.+ ii^ldx Dx

Лишек массы, вытекающей из элемен­тарного объема по оси х, будет:

Дх

Аналогично, по оси у

DMv = dFdx;

By

По оси Z

Рис. 2.4. К выводу урав­нения сплошности

DMs + ds - dMz = ll^LdKdx.

Dz

Суммируя, получим избыток массы

D(png d(pwy) Д (pwz)

"Г--- г------ 1"

Dx Dy Dz

Который может быть выражен изменением плотности

DМ = - ~DVdx. дх

Приравнивая (2.36) и (2.37), получаем уравнение сплошности или уравнение сохранения массы в виде

Dp д(рн'х) | Д (Pwy) д (Pwg) = 0

Dx Dx ду Dz

Считая для несжимаемой жидкости р = const и др/<3т = 0, получаем в окончательном виде

Dwx Dwv --------- L.

Дх ду

Или в векторной форме: div w = 0.

Приведенная система дифференциальных уравнений (2.22), (2.35) и (2.39) описывает целый класс явлений теплообмена и имеет бес­численное число решений. Чтобы выделить конкретное явление из множества явлений, описываемых уравнениями (2.22), (2.35), (2.39), необходимо дополнительно задать условия однозначности, которые включают в себя:

Геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела; Физические условия, характеризующие физические свойства среды или системы;

Начальные условия, характеризующие особенности протекания не­стационарных процессов в определенный обычно начальный момент времени;

Граничные условия, характеризующие условия протекания процесса на границах тела или системы. Подробнее о задании граничных условий указано в § 2.4.

Решение системы дифференциальных уравнений теплообмена сред­ствами математического анализа связано с большими, иногда не­преодолимыми трудностями. Аналитические решения удается получить лишь для некоторых частных случаев при условии введения упро­щающих предпосылок. Поэтому такие задачи решаются либо числен­ными методами с использованием вычислительной техники, либо для исследования теплообмена используются экспериментальные методы. Численные и экспериментальные результаты представляют собой ре­шения отдельных частных задач, обобщение которых ограничено. При изменении каждого из аргументов требуется новое решение или но­вый эксперимент. Преодолеть эти трудности позволяет теория подобия.