АНАЛИЗ ИДЕАЛЬНОГО ЦИКЛА ПРИ НЕПРЕРЫВНОМ ДВИЖЕНИИ ПОРШНЯ
Используя расчетные результаты, представленные в гл. 2, можно без особого труда оценить влияние непрерывного движения поршня на характеристики идеальных циклов, но если учесть эти эффекты, то одновременно можно существенно обобщить анализ, приняв во внимание тот факт, что не все рабочее тело проходит через одну и ту же серию термодинамических состояний. С учетом обоих этих факторов получается классический анализ Шмидта работы двигателя Стирлинга. Анализ Шмидта правильнее было бы называть методом Шмидта. Этот вопрос рассматривается в приложении А, где дается полное описание указанного метода. Метод Шмидта можно применять для анализа характеристик как непосредственно, так и в качестве составляющей более строгого раздельного анализа; это будет объяснено ниже в этой главе. В данном случае мы рассмотрим первый вариант. Процессы, происходящие в рабочих полостях переменного объема, могут быть изотермическими или адиабатными. Однако если принять изотермическую модель, то можно получить замкнутые математические решения, т. е, решения, не требующие применения численных методов для получения окончательных результатов.
В оригинальном анализе Шмидта [15] применялись изотермическая модель и соответствующие термодинамические характеристики идеального цикла Стирлинга. Предполагалось, что происходит идеальное течение рабочего тела, т. е. без падения давления, и что процесс регенерирования также протекает идеально. Система двигателя была разделена на три части и для каждой из них применялось свое уравнение состояния, которым был и пока остается закон для идеального газа, хотя, как показано Органом [16], можно использовать и другие соотношения. Поскольку в замкнутой системе масса рабочего тела постоянна при любом положении поршня, можно вывести универсальное соотношение, связывающее все три полости. К этим полостям относятся:
1) полость расширения переменного объема Е
2) полость сжатия переменного объема С;
3) мертвый объем D.
Массы газа в этих полостях связаны следующим соотношением:
MT = ME + MC + MD, (3.15)
Где М — масса.
Мертвый объем — это полость, не охватываемая поршнями при их перемещении; он включает в себя объемы нагревателя, холодильника, регенератора, зазоров в цилиндре и соединяющих каналов. При желании сам мертвый объем можно подразделить на отдельные элементы. Однако для простоты воспользуемся соотношением (3.15). Поскольку применяется закон для идеального газа, массу газа в каждой полости можно выразить формулой
М — pV/{RT). (3.16)
Температуру газа в мертвом объеме нужно определить, и это можно сделать различными способами, как описано в приложении А. Для удобства будет применяться следующее соотношение:
Td = (Te + Tc)/2. (3.17)
В таком случае, используя отношение температур определенное в гл. 2, получаем
То^Тс^-. (3.18)
Теперь можно найти переменные объемы полостей в зависимости от рабочих объемов и угла поворота кривошипа, а мертвый объем можно выразить как часть рабочего объема расширения:
VE=VSEf{f), (3.19)
Vc = kVSEf{f-a), (3.20)
VD = XVSE• (3-21)
Подставив эти выражения совместно с выражениями (3.16) — (3.18) в равенство (3.15), можно получить соотношение для переменного давления в ходе цикла. Давление будет одинаковым во всех полостях, поскольку падение давления отсутствует. Находим
MTRTC
Р = VSE [If (0) + kf (0 - А) + 21X1 (I + I)] ■ (3-22)
Затем можно найти работу, совершаемую в полостях расширения и сжатия, применяя общее термодинамическое соотношение
Работа =jpdV. (3.23)
Этот интеграл можно легко вычислить, так как и р, и V являются функциями угла поворота кривошипа. Кроме того, поскольку система считается изотермической, справедливы равенства
We = Qe, (3.24)
Wc = Qc, (3.25)
И можно показать, что
Qc = - IQe- (3.26)
Следовательно, если задано движение поршня, можно найти перенос тепловой энергии и работу. Чтобы получить решения, необходимо применить методы численного интегрирования. Если используется приближение о чисто синусоидальном движении, то переменные объемы для двигателя модификации альфа выражаются соотношениями (2.89) и (2.90). Для двигателей другой модификации эти соотношения будут несколько видоизмененными, как показано в приложении А. Если использовать это приближение, то получаются следующие соотношения:
Изменение давления
„___ Ртах (1 о) /о
Р— 1 + 6 cos (Ф — G) • {6-Z'>
Перенос энергии
Ртах ^SE11 Sin 6 (1 — 6)1/2
Qe=We= (1+6)1,2[l + (l_62)l/2] . (3.28)
П W/ Ртах MVsBn Sin (6 - а) (1 - 6)'/2
Wr (полезная работа) =--------------- -- + 6)1/2[l + (l • (3-30)
Массовые расходы
Из уравнения сохранения массы можно найти массовые расходы в различных полостях, используя соотношение
„■. dM d<f> /о о I
Где d<f>/dt — скорость вращения вала. Массовый расход в мертвом объеме можно найти по формуле
MD = -(ME + MC)• (3.32)
Производная Мт равна нулю, так как величина Мт постоянна по времени. Поэтому массовые расходы выражаются соотношениями
• VSBPmАх (1 - 6) g {Ь [sin (Ф - 6) - sin 6] - sin Ф) О)
Ме~ 2/?3™с [1+6 cos (Ф-G)]2 '
• WSeP™* ~ 6> <6 Tsin (» - + S!" ~ еН ~ Sin (» ~ Д» ю
Мс— 2RTC[ + Ь Cos (Ф - Б)]2 • V-6*'
Где ю —угловая скорость вращения.
Эти соотношения действительно очень полезны. Выходную мощность идеализированного двигателя можно рассчитать по формуле (3.30), и обычно ожидают, что грамотно сконструированный двигатель развивает мощность, равную по крайней мере трети этого «идеального» значения. Можно определить идеальную величину перенесенной энергии QE и идеальную тепловую нагрузку на холодильник Qc■ Значения массовых расходов необходимы для последующих расчетов теплообменников, поскольку они позволяют найти коэффициенты теплоотдачи и коэффициенты аэродинамического сопротивления. Расчетное значение КПД, полученное с помощью данного метода, совпадает с КПД идеального цикла Стирлинга или цикла Карно, как и предполагалось в анализе. Мгновенные значения тепловых потоков в рабочих полостях можно рассчитать, применяя уравнение энергии к течению в этих полостях, что особенно важно для регенератора, так как можно найти величину параметра и определить тепловую нагрузку на этот элемент конструкции.
Мгновенные значения потоков в горячей и холодной полостях определяются с помощью уравнения энергии для нестационарного течения в рабочих полостях [2], и окончательные уравнения являются фактически дифференциальными эквивалентами соотношений (3.28) и (3.29) соответственно. Найденные значения потоков позволяют рассчитать максимальные тепловые нагрузки. Аналогичным образом определяется тепловой поток в регенераторе. Величины тепловых потоков описываются соотношениями
_ PmaxVS^£ ~ 6> <1 + Cos Tsin <» ~ е» Ю ,оогЧ
ЧЕ1--------------------------------------------- 2 [1 +6 cos (0-е)]2 •
_ _ PmaVSEM (1 - 6) [1 + cos (0 - a)] [sin (<Ф - 0)] (О
^С/— 2[1 +6 cos (0-0)]2 т ~~'
Q^^^Uic + MEr1)-- Ртох О ~ 6> XVSB sin (0 - 6) [VfR + V (VfH + ^К)] "
(Y— 1) [1 + 6 cos (0 — б)]2
(3.37)
Члены, стоящие в квадратных скобках в числителе соотношения (3.37), выражают величины мертвого объема в отдельных теплообменниках (приложение А). Поскольку во все эти соотношения входят только основные рабочие и термодинамические параметры, а также геометрические характеристики, требуется очень немного данных, чтобы провести расчеты и быстро оценить влияние различных параметров, по крайней мере, на выходную мощность. Однако следует отметить, что результаты расчета переноса энергии не зависят от типа рабочего тела, так что при скорости вращения вала более 1000 об/мин легче получить расчетные значения мощности для водорода и гелия, а не для воздуха. Но величины массовых расходов зависят от характеристик используемого рабочего тела, и именно по этой причине они так важны для дальнейших расчетов. В анализе Шмидта предполагается, что выходная мощность двигателя Стирлинга зависит от нескольких рабочих и геометрических характеристик:
Индикаторная мощность = F (|, рср, a, X, K, N), (3.38)
Где N ■—скорость вращения вала.
На рис. 3.2 показано влияние различных параметров на индикаторную мощность. Разумеется, чтобы создать оптимальный
Рис. 3.2. Влияние определяющих параметров на мощность по Шмидту. |
Двигатель, нужно одновременно учесть влияние всех этих факторов, и, поскольку это является скорее конструкторской задачей, методы, позволяющие выполнить эту задачу, будут рассмотрены ниже.
Метод Шмидта можно обобщить, если применить адиабатную модель процесса на основе анализа псевдоцикла. При использовании этой модели рабочий объем делится не на три, а на пять частей. Считается, что процессы, происходящие в рабочих полостях переменного объема, являются адиабатными, а в теплообменниках — по-прежнему изотермическими, хотя предполагается, что стенки регенератора являются теплоизолированными, чтобы обеспечить идеальную регенерацию. Все предположения, использованные при анализе изотермических процессов, сохраняются, за исключением, разумеется, исходной модели процесса расширения и сжатия. Этот анализ известен под названием полуадиабатный, и он имеет такое же отношение к псевдоциклу, как изотермический метод Шмидта к идеальному циклу Стирлинга.
Полуаднабатный метод не приводит к замкнутым решениям, и получить необходимые результаты можно лишь с помощью итерационных численных методов. Чтобы вывести уравнения, которые можно решить, было использовано понятие «условная энтальпия». Оно означает, по существу, что рабочему телу, проходящему границу между двумя отдельными объемами, приписывается температура той полости, из которой оно вышло, т. е. температура, и, следовательно, энтальпия рабочего тела зависят от направления, в котором оно перемещается. Вывод основных уравнений и методика их решения подробно рассмотрены в работах [2, 17], в которых представлены также программы численного расчета на алгоритмическом языке Фортран. Конечно, полуадиабатный метод значительно сложнее изотермического, но, как и в случае псевдоцикла, с его помощью удается получить более правильные результаты. В справочниках для конструкторов [6, 18] и в диссертации [2] подробно обсуждаются оба метода и проводится их сравнение. В полуадиабатном методе не используется КПД цикла Карно, так что он позволяет определить реальное значение индикаторного КПД. Эти методы часто называют методами второго порядка. Они применимы к любым модификациям двигателя Стирлинга. Различие между двигателями — применение различных поршней (жидкого, свободного, твердого) —учитывается при описании переменных объемов [18, 19].