АППАРАТЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ

Гидродинамическое подобие

Теория подобия позволяет представить дифференциальные уравне­ния Навье—Стокса в виде некоторой функции от критериев подобия. Эти критерии будут характеризовать силы, действующие при движении вяз­кой жидкости.

Напишем уравнение Навье—Стокса относительно только одной вер­тикальной оси г\

= Ч + І-Й) (A)

3 dz

И выполним подобное преобразование этого уравнения:

А а2 fdwz at dwz dwz dwz\

PW ■РІ-дГ-Б^ + ^-аГ + ^^Г =

At

Dwz ai dz awaт

(Б)

Получим: (В)

Сравнение полученного уравнения (В) с исходным (А) дает воз­можность при наличии подобия определить значения ряда индикаторов подобия, а именно:

Для членов, учитывающих неустановившееся движение

А\ •

Для членов, учитывающих влияние объемных сил или силы тяжести

Agal ___ м

2 * а...

Для членов, учитывающих влияние гидростатического давления

= 1

А а:.

Для членов, учитывающих влияние сил внутреннего трения

А.,

_

Аи ару

Подставив в полученные индикаторы; подобия вместо масштабных множителей соответствующие отношения физических величин

W I р р. Т. g fj.

(физические величины в числителе относятся к данной системе, а в зна­менателе к подобной), получим четыре безразмерных комплекса или критерия jg

1. Критерий гомохронности (Но), учитывающий не­установившееся состояние движения жидкости, получается из индика­тора подобия

Flz _ k _ ]

А„,а, wz

Откуда

І

— lx

WZ

~~Z=Ho _ (1—61)

Во всех системах, подобных данной, критерий гомохронности будет иметь одно и то же значение, если только в этих системах движение жидкости неустановившееся.

2. Критерий Фруда (Fr), учитывающий влияние* сил тяже­сти, получается из индикатора подобия

Gi

Agai ___ еА_____ і

А2 — W* —

W ----

«?

4 «=^4 = idem

W*

%=Fr (1-62)

W

Чтобы избежать дробных величин, гобычно Пользуются обратным выражением:

|T=Fr (1—62а)

3. Критерий Эйлера (Ей), учитывающий влияние сил гидро­статического давления, получается из^индикатора подобия

Р

Ар _ Рі ________ і

A al Р^2 ~

РіШ?

Откуда

Критерию Эйлера обычно придают несколько иной вид. Вместо величины абсолютного давления р вводят разность давлений Ар в каких - нибудь двух-точках жидкости, и критерий Эйлера принимает следующий вид:

= (1—63а)

4. Критерий Рейнольдса (Re), учитывающий влияние сил внутреннего трения в вязкой жидкости, получается из индикатора подобия

И Hi

Awata wl р

ЩІіРі

Откуда

Fx (Xj

^=Re (1-64)

Таким образом, уравнения Навье—Стокса движения вязкой жид­кости, описывающие в общей форме процесс движения жидкости, в результате подобного преобразования могут быть представлены в виде функции от критериев подобия

Ф (Но, Fr, Ей, Re)= 0 (1—65)

Полученное выражение есть первообразная функция дифферен­циальных уравнений движения и является их интегралом или решением.

Вид этой функции определяется из опыта в зависимости от кон­кретных условий протекания жидкости.

Если рассматривается установившееся движение, то из уравнения (1—65) исключается критерий гомохронности и оно принимает вид:

Ф,(/7\ Ей, Re) = 0 (1—65а)

При установившемся движении идеальной жидкости, т. е. жидкости, протекающей без трения, уравнение (1—65а) видоизменится так:

Ф2(Fr, Еи) = 0 (1—656)

Полученное уравнение есть интеграл уравнений движения Эйлера. Вид этой функции определяется уравнением Бернулли.

14. Сопротивление в трубопроводах

Общие уравнения сопротивления. По предыдущемуТ(1—30) гидро­динамический напор в сечении, где жидкость вытекает из трубопровода, выражается равенством 1

« = (А)

Потеря напора hn в трубопроводе обусловлена наличием сопротив­лений, которые должна преодолеть протекающая жидкость на своем пути. Эти сопротивления бывают двух родов:

1) сопротивление трения жидкости о стенки;

2) местные сопротивления, возникающие при изменении направле­ния движения жидкости или геометрической формы трубопровода.

При гидродинамическом напоре Н и отсутствии сопротивлений ско­рость протекания жидкости по трубопроводу выразилась бы величиной, равной скорости истечения:

Wq = Y 2gH м/сек

В реальных трубопроводах часть общего напора расходуется на преодоление сопротивлений, и действительная скорость w будет зна­чительно меньше w0.

При фактической скорости протекания w, скоростной напор, т. е. напор, которым обусловливается скорость w, выражается величиной

H = — пск. 2 G

Представив сумму сопротивлений через отдельные составляющие

Hn = hm +hn2 +/zna + . . . + Кп

Можно гидродинамический напор по уравнению (А) выразить следую­щим образом:

Н ==~ + Hni + Hnt + Hm + • • • + HUn (1-66)

Сопротивления hni, hn2, h„3 ■•■ hu можно представить в долях от скоростного напора:

H —th — С —

11пі — 1ск - — --1 2 g

H —I h _C

'-П2 -- — -2 2g

H = t h =1 ~ "■пп ^ппск. Si 2g

Где величины Сх, С2, • • •, С„—это коэффициенты сопротивле­ния, представляющие собой доли от скоростного напора, причем в общем виде коэффициент сопротивления равен

Г — Нп« Я h

''ск.

При этих условиях общий напор может быть выражен уравнением

И - -I - Г _ - Х - Г -1— 4- Г _

2G ^ 2G> 2g ґ [2G

Или окончательно

Н = ^(\+Щм (1—66а)

Сопротивление трения движению жидкости:

/*П = С|| (1-67)

Где ^—коэффицент сопротивления трения.

На основании закона Ньютона сила внутреннего трения движу­щейся жидкости зависит от ее вязкости и скорости движения, т. е. явля­ется функцией критерия Рейнольдса.

5 А. Г. Касаткин.

Очевидно также, что сопротивление трения жидкости о стенки трубопровода будет тем больше, чем длиннее трубопровод и. чем меньше его диаметр. Следовательно, в общем виде коэффициент сопротивления трения движущейся жидкости может быть выражен уравнением

С = ?(/?*) 4 (1-68)

Где Re—критерий Рейнольдса;

I—длина трубопровода в м\ d—внутренний диаметр трубопровода в м.

Подставив значение С из уравнения (1—68) в уравнение (1—67) и заменив Нп равной величиной (где Др—потеря напора, выражен­ная в кгс/м2 и у—уд. вес жидкости в кгс/м8), получим:

Дp = y(Re)J-J! Ј - Кгс/м2 (1—69)

Функцию <?(Re) в уравнении (1—69) называют коэффициен­том трения. Обозначим ее через X, т. е.

X — ср (Re)

Тогда потеря напора на преодоление трения в трубопроводе выразится в окончательном виде уравнением:

= кгс/м2 (1—70)

Или

= кгс/м2 (1—70а)

Так как коэффициент трения X является функцией критерия Рей­нольдса, то числовое значение етого коэффициента будет зависеть преж­де всего от характера движения, и для ламинарного движения коэффи­циент трения будет иным, чем для турбулентного.

Сопротивление трения при ламинарном движении жидкости в тру­бах. При ламинарном движении значение функции X=®(/fe) легко найти теоретически, и коэффициент трения жидкости может быть выражен одной общей формулой.

Расход жидкости через трубу круглого сечения выражается равен­ством]

^сек. = МЧСЄК

Подставив это значение расхода в уравнение (1—55в), получим

4 W ~~ 128fx/

Решая последнее уравнение относительно разности давлений

А \ 32ixwl Pi — = =

И сопоставляя полученное с уравнением (1—70), выражающим потерю давления в общем виде

D 2g ~~' d2

Найдем коэффициент трения при ламинарном течении жидкости

, __ 64р.

Полученное уравнение выражает закон сопротивления трения при установившемся ламинарном течении жидкости в трубах.

Опытные данные определения потери напора строго подчиняются этому закону в пределах установившегося ламинарного движения жидко­стей, т. е. в пределах значений критерия Рейнольдса ниже критического (/&<2320).

При критическом значении числа Рейнольдса ламинарное движе­ние нарушается и возникает турбулентное движение, которое уже не под­чиняется закону, выраженному уравнением (1—72). Если по уравнению (1—71) построить график в логарифмическом масштабе (рис. 14) и на-

Нести опытные данные, то получится прямая с постоянным углом наклона, на которую и ложатся точки в пределах ламинарного режима, т. е. в тех пределах, в которых применим закон сопротивления, соответствую­щий уравнению (1—72).

Из графика видно, что при значениях 2320 характер зависи­мости X от Re резко меняется, и для турбулентного движения приведен­ный выше закон сопротивления неприменим.

Здесь следует указать на общий принцип построения графиков, отражающих связь между критериями подобия, по которому был построен и график уравнения (1—71). Такими графиками приходится часто пользоваться.

Обычно связь между критериями подобия выражается степенной функцией вида

У = Ьхп

Логарифмирование которой дает

Lg у = lg n lg х

Обозначая

Lgy=Y\ lg b = B; \gx = X

Можно написать

Y = B+nX

Последнее выражение есть уравнение прямой, если оси координат построить в лога­рифмическом масштабе.

Вследствие этого построение связи между критериями подобия значительно упро­щается, а график будет иметь небольшие размеры.

Сказанное выше относилось к ламинарному потоку жидкости в трубе круглого сечения.

Если ламинарное движение происходит в трубах некруглого сече­ния, то коэффициент трения выражается уравнением

(1-73)

Где А—коэффициент, числовая величина которого зависит от формы поперечного сечения трубы (табл. 4).

Таблица 4

Значения эквивалентного диаметра d3KB. и коэффициента А для труб некруглого сечения

, Сечение трубы

Квадрат со стороной а........................................

Треугольник равносторонний со сторо­ной а....

Кольцо шириной 8 .............................................

Прямоугольник со сторонами а и b (а=0,56)....

Формула (1—74) применима для числовых значений Re в преде­лах от 3-Ю3 до 1-Ю5. В области значений Re от 4-Ю3 до 6,3-106 для гладких труб применимо уравнение ВТИ:

1,01

(lg Ref[4]

В области значений ^?е>5000 можно пользоваться Филоненко:

? 0,303

~~~{\gRe— 0,9)2

Формулы (1—73)—(1—77) справедливы для изотермических усло­вий потока жидкости или газа.

В тех случаях, когда температура потока отличается от темпера­туры стенки трубы, следует найденные по этим формулам числовые зна­чения коэффициентов X умножить на величину k, равную: для ламинарного режима потока

Gr. Pr-M \o. i6

Rey

Для турбулентного режима потока

(1—78а)

Где ReM, Ргж и Єгж—критерии Рейнольдса, Прандтля и Грасгофа для данной жидкости при ее средней температуре и ReCT., Р/'ст. и Gact.—те же критерии для той же жидкости при температуре стенки трубы*.

Для случаев движения жидкости или газа внутри труб некруглого сечения коэффициент трения определяется по тем же формулам, что и для круглых труб, но в качестве линейного размера при подсчете числа Re принимается эквивалентный диаметр.

Для водяного пара практически в большинстве случаев с достаточ­ной степенью точности можно принимать Х=0,03.

Влияние шероховатости стенок труб на сопротивление. При движе­нии жидкости по трубам, не имеющим гладкой поверхности, как, напри­мер, по керамическим трубам с нешлифованной внутренней поверх­ностью, по загрязненным трубам и т. п., следует учитывать влияние шероховатости на величину X. В качестве характеристики шероховатости вводится понятие «относительной шероховатости» или «коэффициента шероховатости» п, представляющего собой отношение средней величины выступа шероховатости (или глубины впадины) г к радиусу трубы л, т. е.

П г

Зависимость коэффициента трения круглых труб от величины отно­сительной шероховатости, найденная опытным путем с применением метода подобия, представлена на рис. 15.

Установлено, что:

1. Коэффициент трения при ламинарном движении (Re<2320) практически не зависит от шероховатости труб, а только от числового значения Re и определяется по формуле (1—71).

2. Переход от ламинарного к турбулентному движению (Re>2320) сопровождается увеличением коэффициента трения. В этом случае на величину коэффициента трения влияет шероховатость; и чем больше ше­роховатость, тем больше коэффициент трения.

Однако в пределах значений критерия Рейнольдса

Сопротивление шероховатых труб не отличается от сопротивления глад­ких труб.

В этой зоне значений Re для определения следует пользоваться уравнениями (1—74)—(1—77).

При дальнейшем увеличении турбулентности начинает заметно ска­зываться и влияние шероховатости.

3. В последующем коэффициент X достигает максимального зна­чения и с изменением величины Re не меняется. Это постоянное значе­ние X зависит от Re (так, например, для «=0,066 коэффициент трения ^=const достигается при Re^ 100 000).

В этой зоне значений Re гидравлическое сопротивление пропорцио­нально квадрату скорости, и коэффициент трения для шероховатых труб может быть определен по формуле

^ = ^1,74 + 2 lg ~j~2 (1—79)

Или

Г \-0,25

(1—79а)

Значение Re, при котором коэффициент Трения становится постоян­ной величиной, может быть ориентировочна принято

Re=m-

Є

При определении коэффициента трения для шероховатых труб мож­но вместо формулы (1—79) пользоваться также формулой

/ є \0,25

X = 0,111 (-^j (1-796)

Значения є зависят от материала трубы, а также от режима про­текания в ней жидкости и могут быть приняты ориентировочно равными (в мм): для новых чугунных труб s«=0,3; для старых чугунных и керами­ческих труб є=0,86—1,0 и для новых стальных цельнотянутых труб и оцинкованных труб s=0,l—0,2 (при протекании жидкостей, вызывающих сильную коррозию, є=0,8).

Местные сопротивления. При определении потери напора необхо­димо учитывать и местные сопротивления (в сужениях, на расширении и закруглении труб, в кранах, вентилях и др.). Коэффициенты местных сопротивлений определяют опытным путем.

Ниже приведены значения коэффициентов некоторых наиболее часто встречающихся местных сопротивлений.

1. Вход в трубу. Коэффициент местного сопротивления в этом случае зависит от формы входной кромки трубы. Если края острые (рис. 16, /), то С=0,5, если же они тупые, то С=0,25. При закруглен-

Ной кромке трубы (рис. 16, II) величина С в зависимости от радиуса закругления и шероховатости стенок трубы колеблется в пределах 0,06—0,005.

2. Выход из трубы. Коэффициент местного сопротивления может быть принят С=1.

3. Внезапное расширение трубы (рис. 17, /). В этом случае коэффициент местного сопротивления зависит от отношения узкого сечения fj трубы К ее широкому сечению f* и может быть принят равным:

/х: f2 . . . 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 : 0,81 0,64 0,49 0,36 0,25 0,16 0,09 0,04 0,01 0

При расчете потери напора следует учитывать, что приведенные выше значения С отнесены к скорости в узком сечении трубы

4. Внезапное сужение трубы (рис. 17, II). Коэффициент местного сопротивления при внезапном сужении трубы зависит от отно­шения узкого сечения /2 трубы К ее широкому сечению /j. Ниже при­ведены значения С, отнесенные к скорости в узком сечении трубы:

/,:/! . . . 0,01 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

:.............................. 0,5 0,47 0,45 0,38 0,34 0,3 0,25 0,2 0,15 0,09 0

5. Колена в трубах. Коэффициенты местных сопротивлений колен зависят от угла наклона а (рис. 18) и шероховатости стенок колена (табл. 5).

6. Закругления труб (отводы). Для закругления или отвода круглого сечения (рис. 19) коэффициент местного сопротивления определяют по формуле

С = |о, 131 + 0,16 (4-)S,6]w (1"80>

Подставив в формулу(1—80) разные значения-^-при и=90°, получим

D_

R С.

Для наиболее часто применяемого (R=4d) коэффициент С «=0,13.

Рис. 20. Дроссельный клапан (а) и проходной кран (б).

Коэффициент местного сопротивления на закруглении (отводе) прямоугольного сечения определяют по формуле

С = [0,124 + 0,274

7. Дроссельный клапан. Коэффициент местного сопро­тивления зависит от угла а открытия клапана (рис. 20, а) и может быть принят равным:

А° .... 5 10 20 30 40 45 50 60 70 С 0,24 0,52 1,54 3,91 10,8 18,7 32,6 118 751

8. Проходной кран. Сопротивление в проходном кране зави­сит от угла а поворота (открытия) пробки крана (рис. 20,6). Значения коэффициента местного сопротивления принимают равными:

А° .... 5 10 С 0,05 0,29

20 30 40 45 50 60 65 1,56 5,47 17,3 31,2 52,6 206 486

Принимать следующие средние значения коэффициента местного сопротив­ления: для нормального вентиля для косого вентиля С=1,40—1,85, для прямоточного вентиля С=0,5—0,8, для задвижки, параллельной с выдвижным шпинделем, С=0,15.

В инженерной практике часто учитывают местные сопротивления, приравнивая их к потерям напора на трение [см. формулу (1—70)] в прямой трубе длиной /экв.. Эквивалентную длину определяют в виде произведения некоторого коэффициента на внутренний диаметр трубы d, выраженный в метрах. Например, для колена с углом наклона 90° и d=9+60 мм /экв. = 30 d, для тройников приб/=25+100 мм /экв.=60+90 d, ДЛЯ Крестовин ^экв.== 50 d и т. д.

Если опытные значения коэффициентов местных сопротивлений известны, то, определив расчетом величину коэффициентов сопротивле­ния, можно рассчитать гидравлическое сопротивление аппаратуры по общей формуле (1—66а).

Краткие сведения по гидравлическим расчетам некоторых распро­страненных аппаратов, например теплообменников и насадочных колонн, приведены в соответствующих главах книги.