АППАРАТЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ

Основы теории подобия и методы анализа размерности

Основные понятия. Технологические процессы в большинстве слу­чаев представляют собой сочетание различных физических, физико-хими - ческих и химических явлений. Пользуясь самыми обшими законами физики и химии, можно их описать дифференциальными уравнениями.

Однако дифференциальные уравнения или системы уравнений от­вечают целому классу подобных явлений, и для выделения одного KOH--
кретного необходимо ограничить дифференциальное уравнение допол­нительными условиями, называемыми условиями однозначности.

Условия однозначности включают: 1) геометрические размеры системы (аппаратуры), в которой протекает процесс; 2) физиче­ские константы веществ, находящихся в системе; 3) характеристику начального состояния (начальная температура, начальная скорость, начальная концентрация и т. д.); 4) состояние системы на ее границах.

Условия однозначности могут быть даны в форме уравнений, свя­зывающих те или иные физические величины, например, боковая поверх­ность шара может быть выражена уравнением, в котором поверхность дана через его "диаметр.

Очевидно, что условия однозначности не только выделяют данное явление из общего класса явлений, но и, дополняя дифференциальные уравнения, дают возможность получить полную характеристику явлений. Более того, дифференциальные уравнения могут|быть решены лишь при помощи условий однозначности в устанавливаемых ими пределах.

При решении дифференциального уравнения получают аналитиче­ские зависимости, которые связывают друг с другом основные величины, характеризующие данное явление. Эти зависимости и являются в боль­шинстве случаев расчетными формулами, используемыми в инженерной практике.

Однако часто дифференциальные уравнения не могут быть решены известными методами математики и во многих случаях удается дать только математическую формулировку задачи и установить условия од­нозначности.

В таких случаях необходимо проводить экспериментальное исследо­вание данного явления и находить связь между характеризующими его величинами в форме эмпирических уравнений, составленных на основе данных опыта. Такие уравнения являются частными и могут быть распространены только на конкретный случай, для которого они по­лучены.

Частные эмпирические уравнения широко используются в инженер­ной практике, однако при исследовании любого сложного явления сле­дует стремиться решать задачу в общем виде, находить такие законо­мерности и уравнения, которые позволили бы данные единичного опыта распространить на более широкий круг явлений.

Этого можно достичь, применяя для обработки данных опыта ме­тод, разработанный в учении о подобии явлений, или, как это принято называть, путем применения теории подобия при обработке данных опыта.

Эксперимент и обработка полученных опытных данных приводят к наиболее плодотворным результатам при учете основных положений теории подобия. Особенно ценные выводы удается получить при исследо­вании сложных процессов, зависящих от большого числа параметров. Так, например, в гидравлике при изучении движения жидкости по тру­бам долгое время пользовались эмпирическими формулами отдельных исследователей, и лишь при помощи теорий подобия и размерности уда­лось объединить в стройную теорию большинство имевшихся экспе­риментальных данных.

Одним из основных принципов теории подобия является выделение из класса явлений, описываемого общим законом (процессы движения жидкостей по трубам и каналам, процессы диффузии, теплопроводность я др.), группы подобных явлений.

Подобными называют такие явления, для которых отношения сходственных и характеризующих их величин постоянны.

Различают: 1) геометрическое подобие; 2) временное подобие; 3) подобие физических величин; 4) подобие начальных и граничных условий.

Геометрическое подобие предполагает, что сходствен­ные размеры данного тела и ему подобного параллельны и их отношение выражается постоянной величиной.

Пусть некоторые линейные размеры тела, например размеры гра - ней пирамиды, будут

Lv U.... К а сходственные грани подобной ей пирамиды

» 1п

Тогда геометрическое подобие требует, чтобы грани Lx и L2 и /2 • • •» Ln и 1п были параллельны, а их отношения являлись бы постоянной ве­личиной

A = = = const (1—37)

Ll 2 П

Где at—безразмерное число, называемое константой подобия или масштабным (переходным) множителем.

Если рассматриваемая система находится в движении, то все ее точки при наличии геометрического подобия должны перемещаться только по подобным траекториям сходственных точек подобной ей системы и должны проходить геометрически подобные пути.

При временном подобии сходственные точки или части геометрически подобных систем, двигаясь по геометрически подобным траекториям, проходят геометрически подобные пути в промежутки вре­мени, отношение которых является постоянной величиной

—1 =?*=... = —^ = Ох = const (1—37а)

Ч Т2 ТЛ

Где Т и т—промежутки времени в данной и подобной системах; ах—-константа подобия.

Физическое подобие предполагает, что в рассматривае­мых подобных системах отношение физических констант двух любых сход­ственных точек или частиц, размещенных подобно в пространстве и вре­мени, есть постоянная величина

^ = = =ся = const (1 — 376)

Uy И 2 ип п V

Где U и и—физические константы в данной и подобной системах; аи—константа подобия.

Следует заметить, что физическое подобие включает не только по­добие физических констант, но и подобие совокупности значений физи­ческой величины или полей физической величины.

Подобие начальных и граничных условий предполагает, что начальное состояние и состояние на границах систем по­добны.

Как указывалось выше, рассматриваемое единичное явление только тогда будет описано полностью, когда оно рассматривается при опреде­ленных начальных и граничных условиях.

Подобие этих условий соблюдается лишь в тех случаях, когда для начальных условий и условий на границах систем выдерживаются гео­метрическое, временное и физическое подобия.

Инварианты подобия или критерии подо - б и я. Если все сходственные величины, определяющие состояние данной и подобной ей системы, измерять в относительных единицах, т. е. брать отношение сходственных величин в пределах каждой системы, то отноше­ние этих величин будет также величиной постоянной и безразмерной.

В этом случае отношения (1—35), (1—36) и (1—37) будут иметь следующий вид:

= = (1—38а)

1 3 Т2

•=<■ <>-38б)

Таким образом, отношения геометрических размеров, времени и физических констант в данной системе равны отношениям тех же ве­личин в подобной системе.

Очевидно, что при переходе от одной системы к другой, подобной, величины it, ix и iu будут сохранять свое числовое значение.

В силу этого безразмерные числа г, выражающие отношение двух однородных величин в подобной и данной системах, носят название и н - вариантов подобия и записываются в виде

/ = idem (то же самое)

Инварианты подобия, представляющие собой отношения простых однородных величин, называются в теории подобия симплексами.

Однако инварианты подобия могут быть выражены не только по­средством отношения простых однородных величин, но и посредством отношения более сложных разнородных величин.

Так, например, по закону Ньютона равнодействующая внешних сил (/), действующих на тело, равна произведению массы тела (т) на его

Ускорение ^^rj : Из этого закона для подобных систем получим

Инвариант подобия

=» idem (1—39)

Mre і Л

Такие инварианты подобия, выраженные посредством отношения разнородных величин, носят название критериев подобия.

Критерии подобия обозначают 'начальными буквами имен вы­дающихся ученых. Так, например, приведенный выше критерий, получен­ный из закона Ньютона, обозначается

= = idem (1—40) '

Mw V

Критерии подобия, так же как и инварианты подобия, являются величинами безразмерными.

Необходимо подчеркнуть то важное обстоятельство, что критерии подобия не являются абстрактными понятиями, а устанавливаются из самой физической сущности явления, описываемого тем или иным урав­нением.

Критерии подобия можно получить для любого физического явле­ния. Для этого необходимо лишь знать аналитическую зависимость
между переменными величинами рассматриваемого явления. Возмож­ность описать процесс в виде аналитической зависимости является необ­ходимой предпосылкой теории подобия.

Теоремы подобия. Теория подобия и ее практическое применение при исследовании технических процессов основаны на трех теоремах.

Первая теорема подобия устанавливает связь между константами подобия и дает выражения для критериев подобия. В об­щем виде эта теорема формулируется так: подобные междусо - бой явления имеют одинаковые критерии подо­бия.

Так как в подобных системах критерии подобия сохраняют свое постоянное значение, то очевидно, что отношение критериев одной си­стемы к критериям ей подобной системы будет всегда равно единице.

Из этого положения вытекает, что для критерия Ньютона

= 1 (I- 41)

= 1 (1-42)

M-IW-T

Согласно уравнениям (1—35)—(1—37)

H ГП\ Щ

~г"= af> — a*t ' — = а,', — = am h щ m щ w

И, следовательно, равенство (і—может быть представлено в виде связи между константами подобия или масштабными множителями

CIjCL.

С = —= I (1—43)

AMaw

Величина С называется индикатором подобия.

На основании равенства (1—43) можно так сформулировать пер­вую теорему подобия: у подобных явлений индикаторы подобия равны единице.

Это положение и дает возможность преобразовывать подобно диф­ференциальные уравнения, описывающие физические явления, и пред­ставлять их в виде функций от критериев, не прибегая к аналитическому решению. s v '

Если константы подобия найдены из условий однозначности, то образованные из них критерии носят название определ яюших критериев.

Таким образом, первая теорема подобия устанавливает, какие величины надо измерять при опытах, а именно—все те величины, кото­рые входят в критерий подобия.

На вопрос, как надо обрабатывать экспериментальные данные, отвечает вторая теорема подобия.

Вторая теорема подобия устанавливает возможность представления интеграла как функцию от критериев подобия дифферен­циального уравнения. На основании • этой теоремы любая зависи­мость между переменными, характеризуют, ими к а к о е-л ибо явление, может быть представлена
в виде зависимости между критериями подобия Кгу К2, /(3,---,КЙ или так называемого обобщенного (критериального) уравнения

F(Klt К2, К3, . . • > К„)= 0 (1—44)

Следовательно, экспериментальные данные можно представлять в виде функции от критериев подобия.

Третья теорема подобия отвечает на вопрос: какие условия необходимы и достаточны, чтобы явления были подобны. Эта теорема формулируется так: подобны те явления, ус­ловия однозна чности которых подобны, а опре­деляющие критерии, составленные из условий однозначности, численно одинаковы.

Преобразование дифференциальных уравнений методом подобия. Теория подобия дает возможность выражать дифференциальные уравне­ния в виде функциональной зависимости между критериями подобия. Практически это преобразование проводится следующим образом.

1) Формулируют подобие условий однозначности, т. е. задают константы подобия или масштабные множители.

2) Каждый из элементов дифференциального уравнения умно­жают на соответствующие константы подобия, причем последние, как постоянные величины, выносят за знак дифференциала. При этом про­изводная любого порядка будет преобразована следующим образом:

Dnu А„ D"u ^__ ^

О" "*

Такое преобразование приводит к системе уравнений, описывающих группу подобных между собой явлений.

3. Приравнивают коэффициенты, стоящие при одинаковых сла­гаемых исходных и преобразованных уравнений. Этим выполняются условия тождественности уравнений для подобных процессов и инва­риантности исходных дифференциальных уравнений. Полученные уравне­ния или индикаторы подобия связывают между собой константы подобия.

4. В полученных уравнениях константы подобия заменяют соот­ветствующими отношениями величин и выводят критерии подобия.

Для иллюстрации преобразования дифференциальных уравнений методом подобия ^рассмотрим следующий пример.

Равнодействующая сил, действующих на движущуюся жидкость, определяется законом Ньютона

С Dw /А \

F = (А)

Где f—сила;

Т—масса жидкости;

Dw

—ускорение жидкости.

Подобие условий однозначности для двух подобно движущихся жидкостей определяется заданием масштабных множителей для физиче­ских величин, входящих в уравнение (А), т. е. заданием масштабных множителей сил—afJ масс—ат, скоростей—aw и времени—а

Каждый член уравнения (А) умножают на соответствующий мас­штабный множитель:

Г D (Aww)

Aff = amm

Масштабные множители как величины постоянные выносят за знак дифференциалов и группируют их:

TOC \o "1-3" \h \z V = (Б)

Сравнивая уравнения (А) и (Б), получим

^ __ amaw ___ j

= 1 (В)

AMaw

В полученном индикаторе подобия (С) заменяют масштабные множители на соответствующие отношения физических величин:

/охо ___ FZ /р\

M0W0 Mw

Где величины /0, m0, оу0 относятся к данной системе, а т, т, до отно­сятся к системе, подобной данной.

Полученный безразмерный комплекс (Г) и есть критерий Ньютона:

= Д/е= idem (1—46)

Mw V

Основные принципы теории размерности. В ряде случаев при изу­чении сложных явлений или процессов, зависящих от большого числа различных факторов, не удается составить дифференциальных уравне­ний, описывающих эти явления или процессы, а можно лишь представить зависимость между величинами в самом общем виде, а именно в виде неопределенной функции искомой величины от величин, влияющих на нее.

Так, например, коэффициент теплоотдачи от движущейся жидко­сти к стенке аппарата, как будет показано ниже, зависит от ряда факто­ров: геометрического размера стенки (/), скорости движения жидкости (w) и от свойств жидкости: плотности (р), вязкости (fx), теплоемкости (ср), теплопроводности (к) и т. д.

Дифференциальное уравнение для данного случая не может быть составлено, и чисто математический метод позволяет лишь написать об­щую зависимость коэффициента теплоотдачи от перечисленных выше факторов в виде

А = F (/, до, р, р., ср, X. . .)

Для отыскания вида этой функциональной зависимости может быть применена теория размерности, причем не только для отыскания вида функции, но и установления пределов, в которых возможны закономер­ные обобщения.

Основной в теории размерности является тс-т е о р е м а, согласно которой: общая функциональная зависимость, свя­зывающая между собой п величин при т основ­ных единицах, может быть представлена в виде зависимости между {п—т) безразмерными отноше­ниями этих величин, а при наличии подоби я— в виде связи между (п—т) критериями подобия.

Если, например, какое-либо явление описывается общей функцио­нальной зависимостью между пятью физическими величинами

/(а, р, т, х, 11)= О

И если все эти величины (а, р, у, т, [л) выражаются посредством трех основных единиц (L, Т, М), т. е. если

П = Ъ и т = 3

То на основании и-теоремы число безразмерных отношений равно (п—т) = 5 — 3=2 и указанная общая функциональная зависимость может быть выражена двумя безразмерными отношениями в виде функции

'®К. тсв) = 0

Где ^ и 7г2—соответствующие безразмерные отношения.

Применение 7г-теоремы в общем виде можно показать на следующем примере.

Зависимость между четырьмя величинами (п=4), характеризую­щими какое-либо явление или процесс, выражается в общем виде урав­нением

F_(а, р, т, т) = 0 (1—47)

Если искомой величиной является а, то уравнение (1—47) принимает

Вид

A = fi(P. 7. "О (1—47а)

Если, далее, все величины, входящие в уравнение (1—47а), выражены в одной системе единиц, например в системе СГС, то числовое значение ве­личины а на основании теории размерности может быть выражено в виде произведения определяющих ее величин в некоторых степенях:

А = $хіУіг 1—48)

Принимая ічисло основных единиц измерения величин а, (3, у, - с равным пг— 3 (единица длины L, единица времени Т и единица мас­сы М), напишем формулы размерности для каждой величины уравнения (1-48):

/

[a] = [LaTbMc\ [PI = [LdT<Mf] lT] = [ZXT*M] [т] = [LnTPMr]

Полученные соотношения подставим в уравнение (1—48)

[LaTbMc] = [LdTeMf]x [LsTkMl]y [LnTPMr]z (1—49)

Раскрывая Скобки в правой части уравнения (1—49) и группируя одно-, родные члены, получим

\LaTbMc] = Ldx+Dy+NzJ<Tx+Ky +Pzj\^Fx+Lij+Rz (J—50)

Сравнивая показатели степеней при одинаковых основных едини­цах левой и правой частей уравнения (1—50), получим: для единиц длины

А = dx + gy 4- nz (1—51)

Для единиц времени

B = ex + ky+pz (1—51а)

Для единиц массы

C=fx + ly + rz (1—516)

При решении полученной системы трех уравнений с тремя неизвест­ными получают значения показателей степеней.

Допустим, что при решении этих уравнений получим х=А, у=В и z=C. Тогда уравнение (1—48) после замены х, у и z на их значения примет вид:

А = рлтвтс (1—52)

Полученное уравнение легко приводится к безразмерному виду пу­тем деления левой части уравнения на правую:

І (,-53)

Если рассматриваемое явление выделить из целого класса явлений, описываемых одним и тем же уравнением, путем задания условий одно­значности, то уравнение (1—53) будет описывать единичное явление

(1-53а)

И при наличии подобия всякое другое подобное явление опишется урав­нением

Т./ійпЛ-0 С-536)

Следовательно, безразмерный комплекс—А ав с будет являться

■ «/ . Р Y ^

Критерием подобия.

Следует заметить, что если разность п—m равна нулю, т. е. п—т, то анализ размерности невозможен и в окончательный результат должны войти иные комбинации величин, либо это показывает, что исходное уравнение не содержит всех характеризующих явление величин.

Анализом явлений при помощи теории размерности невозможно определить условия однозначности. Последние могут быть установлены только путем вывода дифференциальных уравнений, характеризующих рассматриваемое явление. В этом заключается ограниченность метода.