АППАРАТЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ

Основные уравнения движения жидкостей

Уравнение неразрывности потока. При установившемся движении жидкости по закрытому трубопроводу и отсутствии утечки через неплотные соединения через каждое поперечное сеч ение тру­бопровода в единицу вре­мени протекает одно и то же весовое количе­ство жидкости. Это явление характеризуется так называемым уравнением неразрыв­ности или сплошности по­тока.

Для трубопроводов с развет­влениями уравнение. неразрывности

Относится соответственно к сумме отдельных разветвляющихся потоков.

Обозначим (рис. 6): Gv G2, G3—вес жидкости, протекающей в секунду соответственно через сечения /—/, 2—2 и 3—3 в кгс; її» Ї2> Тз—УД- вес жидкости в тех же сечениях в кгс/м3\ fv /2» h—поперечные сечения трубопровода в м2\ ' wv w2, w5—средние скорости протекания жидкости через указанные

Выше сечения трубопровода в м/сек. Тогда уравнение неразрывности потока может быть выражено так:

Gx = G.2 = G3

/і^іТі = 2Ї2 = /з^зїз =Iconst

Для несжимаемых (капельных) жидкостей, удельный вес которых остается неизменным по длине трубопровода, уравнение неразрывности принимает следующий вид:

Fxwi = />2 = /а = const

При неустановившемся движении жидкости, как уже указывалось выше, физические ее характеристики непрерывно изменяются во времени.

Уравнение неразрывности потока для неустановившегося движения сжимаемой жидкости может быть сформулировано следующим образом: изхменение массы жидкости, заключенной в дан­ном объеме и проходящей через каждое попере ч- ное сечение трубопровода, происходит только за счет изменения ее плотности в этом объеме.

Уравнение неразрывности потока для неустановившегося движения жидкости выражается в дифференциальной форме:

D(p^) д (ра»у) д (owz) = q

Ду

Если рассматривается установившееся движение, то р не зависит

Л

От времени Qjz=0) и уравнение (1—23а) принимает вид:

Если жидкость несжимаема, то плотность ее по длине трубопровода (в направлении осей dx, dy, dz) также не изменяется, и уравнение нераз­рывности потока будет выражаться так:

Dwy

JY

Дх 1 ду 1 Dz

Dwv Dwz

-qJj-, —изменение скорости no направлениям соответ­ствующих осей координат. Дифференциальные уравнения движения Эйлера. Выделим в иде­альной жидкости, находящейся в движении, элементарный параллеле­пипед объемом dV, с ребрами dx, dy, dz (рис. 7).

Как и при выводе дифференциаль - (p+-&-dz)dxAy ного уравнения равновесия, найдем ' проекции действующих сил на элементар­

Ный объем dV.

Z Dz Ь P Dz

Умножив левые и правые части этих уравнений соответственно на dx, dy, dz, получим:

Dw j 1 Dp ,

W „ Dx =--------------- -f-dx

X dx p dx

Dw , 1 Dp A

Dw j . 1 Dp ,

Vz&rdz=-gdz-j -^dz

Сложив уравнения, получим:

Wx^dx+w^dy+wj^dz=-gdz dz} (1-26)

Слагаемые, стоящие в скобках правой части уравнения (1—26), предста­вляют собой полный дифференциал dp:

А слагаемые левой части уравнения представляют собой полный диф­ференциал скорости, умноженный на скорость w (так как рассматри­вается установившееся движение жидкости):

Dw і і Dw , , Dw , ,

Wx-fodx + wy +wz-fodz = wdw

Произведя соответствующую замену в уравнении (1—26), получим

Wdw = —у - — G Dz

Но wdw=d и, следовательно,

Разделив обе части последнего равенства на g и произведя замену og на у, получим

Или

2(1

При установившемся движении несжимаемой однородной жидкости y=const и сумма дифференциалов в уравнении (1—26а) может быть заменена дифференциалом суммы:

Откуда следует, что

І Р І w

Т+ 2?

Полученное уравнение и есть уравнение Бернулли для идеальной жидкости, перемещающейся без трения, т. е. при отсутствии потерь напора (энергии).

Называется гидродинамическим на-

7 ' 2g

Пором. Гидродинамический напор складывается из следующих величин: г —н ивелирной высоты, называемой также геометриче­ским напором и представляющей собой высоту Ы] данной частицы жидкости относительно произвольно выбранной горизонтальной плоскости сравнения;

-статического или пьезометрического на­пора, равного давлению столба жидкости над рассматриваемый уровнем. Статический напор имеет размерность длины, так как

Р

Кг

_ Кг

-скоростного или динамического напора, ко­торый также имеет размерность длины, так как

W2 ___ Г м2

2J | сек?

Таким образом, все члены уравнения Бернулли имеют размерность длины. Зависимость между ними наглядно изображается графически (рис. 8).

Выберем произвольно систему координат с горизонтальной пло­скостью сравнения и определим давления и скорости для нескольких частиц идеальной жидкости, движущихся по траектории, изображенной на рисунке пунктиром. Для этого отложим от соответствующего положе­ния каждой частицы отрезки соответственно ее геометрическому, стати­ческому и скоростному напорам.

Соединив концы указанных отрезков, получим линии геометриче­ского, статического и гидродинамического напоров, причем последняя линия будет лежать в горизонтальной плоскости. Это соответствует урав­нению (1—27), по которому гидродинамический напор для частиц идеаль­ной жидкости, движущихся по данной траектории, является величиной постоянной.

Уравнение Бернулли для невязкой жидкости, перемещающейся без трения, формулируется следующим образом: для любого сече­ния трубопровода, при установившемся дв иж е - нии идеальной жидкости, сумма скоростного и статического напоров и нивелирной высоты есть величина постоянная.

Уравнение Бернулли выражает частный случай закона сохра­нения энергии. Любой напор в трубопроводе можно рассматри­вать как энергию жидкости, отнесенную либо к 1 кгс, либо к 1 м3 жидкости.

Действительно

Т. е. давление или напор, выраженные в кгс/м2, пред­ставляют собой энергиюв кгс-м на 1 ж3 жидкости, а давле­ние или напор, выраженные в м столба жидкости, представляют собой энергию в кгс-м на 1 кгс жидкости.

Поэтому в энергетической форме уравнение Бернулли для жидко­сти, перемешающейся без трения, может быть сформулировано следую­щим образом: для любого сечения трубопровода при установившемся движении невязкой жидко­сти сумма потенциальной ^z-Ь у j и кинетической

(^-j энергии жидкости, движущейся по трубопро­воду, остается величиной постоянной.

При изменении сечения трубопровода и соответственно скорости движения жидкости происходит превращение энергии: при сужении тру­бопровода часть потенциальной энергии может перейти в кинетическую и, наоборот, при расширении трубопровода часть кинетической энергии может перейти в потенциальную причем общее количество энергии остается неизменным.

Таким образом, уравнение Бернулли является математической фор­мулировкой закона сохранения энергии для невязкой жидкости при установившемся состоянии ее движения.

В технике приходится иметь дело не с идеальными, а с реальными жидкостями, т. е. такими, при движении которых возникают силы тре­ния, обусловливаемые вязкостью жидкости, характером ее движения, трением о стенки трубы и т д. На преодоление возникающего сопроти­вления должна расходоваться некоторая часть энергии, и общее количе­
ство энергии по длине трубопровода будет непрерывно уменьшаться за счет перехода потенциальной энергии в энергию, затрачиваемую на тре­ние (энергию потерянную).

В этом случае сумма членов уравнения (1—27) будет величиной по­стоянной только при учете потери энергии, т. е.

Ї+ ~ + г + ^п — const

Где hn—потеря энергии или потеря напора в м.

Уравнение (1—28) может быть сформулировано так: для лю­бого сечения трубопровода, в котором протека­ет реальная жидкость, при установившемся дви­жении, сумма напоров скоростного /гск., стати­ческого Лег., нивелирного z ипотерянного hn есть величина постоянная.

В случае протекания жидкости по горизонтальному трубопроводу, при установившемся движении, нивелирные высоты для всех сечений трубопровода будут одни и те же; следовательно, величина z из уравне­ния Бернулли может быть в этом случае исключена, и уравнение примет следующий вид:

Ч ^ т ^ п

Для любого сечения горизонтального тру­бопровода, при установившемся движении жид­кости, общий напор равен сумме скоростного, статического и потерянного напоров.

Применение уравнения Бернулли для реальных жидкостей можно иллюстрировать на примере движения жидкости по наклонному трубо­проводу переменного сечения (рис. 9 и табл. 3). При установившемся движении жидкости общий гидродинамический напор И остается неизменным. Ско­ростной напор изменяется в зависимости от изменения сечения трубопровода—с уве­личением сечения трубопро­вода скорость протекания жидкости уменьшается и соответственно уменьшается скоростной напор. Статиче­ский напор имеет максималь­ное значение в начале тру­бопровода (сечение О) и по­степенно уменьшается вслед­ствие увеличения потери на­пора. В отверстии, через ко­торое происходит истечение жидкости, т. е. на конце трубопровода (сечение 3), статический напор равен нулю и ебніий гидродинамический напор равен сумме скоростного и потерянного напоров, т. е.

(1-30)

Таблица 3

Значения нивелирной высоты, статического напора, скоростного напора и потерянного напора в разных сечениях трубопровода (рис. 9)

Верхний уровень жидкости в сосуде Сечение 0

Сечение 1 ............................................

Сечение 2 ............................................

Сечение 3 ............................................