ВЕТРОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СТАНЦИИ

ДИНАМИКА РЕГУЛИРОВАНИЯ

Вопросы динамики быстроходных ветродвигателей рассматриваются применительно к схемам прямого регу­лирования. Это позволит дать анализ движения таких систем и оценку качеств регулирования, обусловленных свойствами как регулятора,, так и регулируемого объек­та, не прибегая к сложному математическому аппа­рату.

При прямом регулировании для заданной скорости ветра развиваемая ветродвигателем мощность в любой

Момент времени зависит от числа модулей Z

Т. е. от угловой скорости вращения ветроколеса и угла установки лопастей ср. Поэтому ш и ф, представляющие собой независимые кинематические величины, рассмат­риваются как обобщенные координаты, полностью ха­рактеризующие режим работы ветродвигателя. Наличие двух независимых координат указывает на то, что вет­родвигатель при прямом регулировании представляет собой механическую систему с двумя степенями свобо­
ды и для ее исследования будет достаточно двух урав­нений:

S

(2-13)

Где ^У;, У] Jzl — суммы приведенных к оси ветроколе- і і са и оси лопасти моментов инерции всех тел, кинематически связанных с их вращением; ks — производная суммарного демпфирую­щего момента-

Демпфирование в рассматриваемых системах могут создавать силы трения в механизмах регулятора и до­полнительные аэродинамические силы, возникающие на лопастях при регулировании. В целях упрощения задачи будем учитывать демпфирование только аэродинамиче­ского происхождения, играющее важную роль в устой­чивости движения системы.

С достаточной для практических расчетов точностью можно считать, что суммарный момент инерции относи­тельно оси ветроколеса является величиной постоянной и не зависит от режима работы ветродвигателя.

Момент инерции относительно продольной оси лопа­сти складывается из момента инерции самой лопасти Ул и момента инерции центробежных и регулирующих гру­зов. Таким образом, для случая центробежного регули­рования суммарный момент инерции будет равен алге­браической сумме моментов инерции лопасти и центро­бежного груза, а для аэродинамического регулирова­ния— сумме момента инерции лопасти и приведенного момента инерции регулирующих грузов:

Который, как это видно, является функцией передаточ­ных отношений звеньев механизмов регулятора % и ф, зависящих от угла установки лопастей.

Вводя обозначения

Уравнения (2-13) записываются в следующем виде:

Rftu

Tt

І jt-ї-Л-Ь ^—M 4-М —M—M, 0 dt p ц p

Где Л4г— момент сопротивления, рассматриваемый как функция времени; k0 — производная демпфирующего момента аэроди­намических сил-

Моменты Мцр и/Ир> входящие в уравнения (2-14), вы­числяются в зависимости от типа регулятора по форму­лам (2-4), (2-5) и (2-9) (см. § 2-3). При аэродинамиче­ском регулировании -Мцр=0, а при центробежном Ма = 0.

Демпфирующий момент аэродинамических сил воз­никает только тогда, когда при вращении ветроколеса лопасть начинает двигаться вокруг своей оси. При этом изменяется действительный угол атаки и появляется до­полнительный момент, который стремится погасить ско­рость вращения лопасти относительно своей оси. Про­изводная этого момента может быть приближенно 'под­считана по формуле

R

Ь _ ро г Г«Л 2 I а

«О--- Y

Го

Где а = const берется по аэродинамической ха­рактеристике профиля сечения ло­пасти;

Л:»э = р—относительная координата оси по­ворота лопасти от ее передней кромки (рис. 1-7).

Установившееся движение системы характеризуется постоянными значениями переменных (О = со0 и f~f0.

Тогда из (2-14), поскольку для установившегося дви­жения

Da _ dy__ d2<p п

Получим следующие уравнения исходного установивше­гося режима работы ветродвигателя:

(МВ)0 = (МТ)0,

(Адо-(^ц. р)0=(ма)0-(жц)0.

Именуемые также уравнениями статики.

Уравнения (2-14) являются нелинейными дифферен­циальными уравнениями. Они содержат ряд существен­но нелинейных функций, к тому же некоторые из них за­даются в виде графиков [например, MB=f(Z, ср),М& — =f{Z, ф) и др.]. Поэтому решение уравнений (2-14) мо­жет быть получено только путем их численного интегри­рования. Однако чтобы сделать возможным аналитиче­ское решение, рассмотрим идеализированную схему. Будем считать, что отклонения системы от установивше­гося режима настолько малы, что соответствующие уча­стки характеристик отдельных элементов системы регу­лирования могут быть заменены отрезками касатель­ных к характеристикам в рассматриваемой точке. Это допущение позволит описать движение системы прибли­женными линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами и в значительной сте­пени облегчит анализ процесса регулирования. Как по­казывают исследования [Л. 5], такой метод малых коле - баний к данной задаче вполне применим и дает во мно-' гих случаях не только качественные, но и количест­венные результаты с достаточной для практики точ­ностью.

Рассмотрим случай аэродинамического регулирова­ния, когда М =0.

Предположим, что при неустановившемся режиме пе­ременные с», «р и у отличаются соответственно на малые величины (вариации) Дю, Д<р и Aw от их значений ш0, <р0 и v0, соответствующих установившемуся режиму, т. е.

(o = a)0-f Дш, cp = cp0-f Д<р, v~v0-- Ду. (2-17)

На основании этого допущения моменты, входящие в уравнение (2-14), могут быть представлены также в со­ответствующих вариациях:

М== (Ма)о + шв = мв { MB[Z (СО, V) <р] у }; Ma = (MJ0 + AMa=Ma{Ma[Z(<o, v)?]v};

Здесь скобками указан порядок функциональной зави­симости.

Разлагая указанные функции в ряд Тейлора и огра­ничиваясь в этом разложении членами первой степени относительно вариаций координат, находим:

Так как «>0, <р0, f0 характеризуют установившееся дви - ^ жение системы, их производные по времени равны нулю. Поэтому согласно (2-17)

Rfo> dAсо dkр ds(f__ d2Д<р

А~~іїл' dt л ' ~dt2~~4tt и т - д -

Подставляя - (2-18) в (2-14), вводя обозначения

И учитывая, что моменты, соответствующие установив­шемуся исходному режиму, уравновешиваются по усло­вию (2-16), получим уравнения линейного приближения в вариациях соответствующих координат:

/вДш' -[- mjAto - f - mskf -- т3hv — А/Иг; JzL<f" - f - k0b.(f' - f - - f - nsA? = n3Lv

1 Л f dM

= /л®0 sin2(9-fo)—і-р/гч», ' дм

2 V az,0

1 дМ»

2 ^ ^ uo д9

П2 = /л ^ cos 2 (9 - 9e)_ І ( ) +

О

4" Р^М^Л ~

~?R

Дмв дма дмв дма ді аф Производные ж, — , _ , rJ, входящие в эти

Выражения, находятся путем графического дифференци-

Рования заданных расчетом функций Мв (Z, <р), Ma(Z, у) рис. (1-16) и функции Mp(<f>).

Коэффициенты уравнений (2-19) трактуются дальше как постоянные. Однако не следует забывать, что это справедливо только для заданного установившегося ре­жима работы! ветродвигателя, так как каждому устано­вившемуся режиму соответствуют строго определенные параметры системы, а следовательно, и определенные значения указанных коэффициентов. Поэтому исследо­вать свойства системы необходимо для нескольких ре­жимов работы ветродвигателя, соответствующих задан­ному диапазону изменения рабочих скоростей ветра.

Для того чтобы. можно было результаты данных ис­следований распространить на все аналогичные регули­руемые системы, представим, как это делается в теории регулирования, уравнения (2-19) в безразмерной опера­торной форме. Введем обозначения относительных пе­ременных

R v.

— »„ ' 9о • Хз = (уИв)0' ^ —'

Разделив почленно уравнения (2-19) на (Мв)0, (М )в и подставив новые значения относительных переменных, получим:

(TiP.+ «»)хі + «і.*. = kiV-~f (t), 1

(Tpt--Tkp + an)x9 + anxl = k^-, J (2"20)

T __ T2___ 1 fo J ______ feoҐo h _____ отз"о.

1 — (MB)0' 2 (jMp)0 ' * (Л1р)„ ' ^ (MB)0'

И ______________ n ______ OTiMo n ___________ rn2fo _ __________ nt(o0 #

2~(MP)0' (мв)„' 1г~(мв)о' аг1~ТЩ0' a ~ flt).= ™L V = <L

A22 (Mp)o' П ) (ЛІВ).' P df

Динамические постоянные Th T2 и Tk имеют раз­мерность времени, а поэтому называются соответствен­но постоянными времени двигателя, регулятора и демп­фера. Постоянная времени Тх иногда называется вре­менем разгона двигателя. Она выражает то время, в те­чение которого двигатель, находившийся в состоянии по­
коя, получит под действием постоянного момента (Л4в)а вращение с угловой скоростью оі0-

Напишем определители системы (2-20):

{ТІР'+Ткр + а„)

+ (ТІ + TJk) Р2 + (7>u + Г, а22) р + 4-(йиа22 —а21а12);

^ (^V + V+^a)

Д _ + kiV. — f(t), = А/7 + Mil — + anf (/),

Из которых Ло называется главным определителем систе­мы, а Лі и Аг — дополнительными, соответственно для координат Хі и

Согласно теореме Крамера, если главный определи­тель системы отличен от нуля, то система имеет одно определенное решение, которое можно записать в виде следующего символического равенства:

F2(x2) = A0X2 = A2. Подставляя в эти равенства значения определителей Д0, Ді и Д2, получим два независимых уравнения в коорди­натах хх и х2:

[Т22Т1р* + (Т2яа11+Т1Т1)р* + + (Tk ач + Р + (aua22 — a2lal2)]^:

= (Т KP*+Tkp-- kta22 - к2а1г) ц - ~(T22P2 + Tkp + aJf(t);

ТІ Txp% - j - (t au - f - TtTk)p2 - f - + (Tk alt + Тга22) p - f - (aua22 — a21al2)}x2 - f -

= (T1 k*P - f A — ktaai) I» + aj (t).

Как видим, оба уравнения имеют сходные левые и различные правые части. Правые части этих уравнений определяют частное решение, зависящее от «возмущаю­щих функций» jo, и f(t) и их производных, а левые, при­веденные к виду однородных уравнений с постоянными коэффициентами, позволяют исследовать свободные ко­лебания и устойчивость рассматриваемой системы.

Чтобы определить, будет ли система статической или астатической, напишем уравнения установившегося ре­жима, для чего доложим в уравнениях (2-21) все про­изводные равными нулю. Тогда

(аиа23 — a*iaiz) Х9 — (Ми — Mai) t1 "f аМ - і

Отсюда следует, что каждому постоянному значе - 'НИЮ возмущающей силы соответствуют определенные постоянные значения х, и х2, поэтому система будет ста­тической по отношению к обеим координатам независи­мо от того, рассматривается ли возмущение от измене­ния скорости ветра или внешней нагрузки на двига­тель.

Статизм системы по отношению к постоянному воз­действию на двигатель равен:

—(«п a22-a2la12)f^' j

(х) = (Мгг—^іг) I (2-23)

А по отношению к постоянному воздействию на регу­лятор:

(*»)«■ = (auaS2-a21al2) f (0> 1

(Х — <*'а"-*'а»> g I (2"24)

1 S>r (а11а22---- а31а12) ^

В практике регулирования етатизм системы по от­ношению к постоянному воздействию на регулятор ис­пользуется для его настройки на то или иное значение регулируемой величины. В данном случае система регу­лирования оказывается настолько гибкой, что представ­ляется возможным использовать для этих же целей и
етатизм системы по отношению к постоянному воздей­ствию на двигатель. ^

Подбирая соответствующим образом коэффициенты <при f{i) и р в выражениях (2-23) и (2-24), можно в ши­роких пределах менять остающуюся неравномерность скорости вращения как по нагрузке, так и по скорости ветра. .Это оказывается возможным только потому, что при такой схеме регулирования лопасти с регулирующи­ми грузами одновременно выполняют функции чувстви­тельного элемента и регулирующего органа, поэтому^ двигатель и регулятор в равной мере реагируют как на' отклонение скорости вращения, так и на отклонение ве­личины скорости ветра.

Суждение о динамической устойчивости системы можно получить путем исследования корней характери­стического уравнения, не решая систему (2-21).

'Предположим, что внешние возмущения отсутствуют, т. е. р = 0 и f(t)= 0. Тогда уравнения (2-21) при­мут вид:

(ps + a^ + asp + ajx^o; ) (Р3 + ахР* + atp + а,) *2 =0,)

Где

Ttyn + ТіТь Т ка. ц + 7а2,

ТТХ ' ТТУ

Решение уравнений (2-25) будем искать в виде хх — еи и х2~е. Подставляя эти значения и их производные в уравнения (2-25) и сокращая почленно на еиф0, по­лучим одно общее для данной системы характеристиче­ское уравнение:

Я'-fa^-f а2Я + а3 = 0. (2-26)

Таким образом, независимо от того, относительно какой из переменных в системе регулирования состав­ляется дифференциальное уравнение, устойчивость дви­жения во всех случаях будет определяться типом корней одного характеристического уравнения.

При вещественных корнях характеристического уравнения общие решения уравнений (2-2б) получают­ся в виде:

Х^с/'+с^+с^-, 1

Где Ср С21 С3 и С3' — произвольные постоянные,

Определяемые начальными условиями;

Я15 Я2, Я3 —корни характеристическо­го уравнения.

Отсюда следует, что при положительных значениях вещественных корней процесс регулирования будет ха­рактеризоваться увеличением во времени переменных Х и Х2 и, наоборот, при отрицательных значениях — уменьшением. В первом случае процесс будет аперио­дически расходящийся, а во втором — апериодически сходящийся.

Рассмотрим случай, когда в числе корней, кроме одного вещественного (отрицательного)—Яі, имеются комплексные сопряженные корни:

Я3 = да ■— qi.

Преобразуем уравнения (2-27), введя в них значения Я2 и Я3:

Xl = C, e~Kt - f С2<?' + Cse{w~ql)* ----- = C. e^ + e®' (Cae? ii + Cse~f, ii); x2=c; e~Kt+c; ' - f c; e(w-"i) <= ==c; e~u--ewt (с; /"Чс.;

Применяя формулы Эйлера

E"7^ = cos qt - f - і sin gtf, = COS qt — і sin qt

JJJ

И вводя обозначения

(С2 + С3) = Д (Ca-C3)i = B, (C2' + <) = 4, (С2' — С3') І — Bj,

Получим уравнения:

Jc, = Се~хг + ewt (A cos qt - j - В sin qt), = f ewt(A1 cos sin^)-

Как видим, в этом случае процесс регулирования^ будет характеризоваться, сложением движения вида Се~и" и ewt {A cos qt-- В sin qt). Последнее выражение представ­ляет собой случай гармонического движения, при кото­ром амплитуда меняется во времени в зависимости от множителя еш. Если w > 0, амплитуда непрерывно уве­личивается, поэтому движение в обеих координатах будет носить расходящийся характер. Если ®<0, амплитуда непрерывно убывает, и, следовательно, движение в обеих координатах будет сходящимся.

Приведенный анализ показывает, что движение, опи­сываемое любой линейной системой, будет устойчивым только в том случае, если вещественные корни и веще­ственные части комплексных корней характеристиче­ского уравнения будут отрицательные. В теории регу­лирования применяются специальные критерии, позво­ляющие решать вопрос об устойчивости движения ли­нейной системы непосредственно по значению коэффи­циентов характеристического уравнения.

В соответствии с критерием Гурвица для устойчиво­сти системы третьего порядка необходимо и достаточно: 1) чтобы все коэффициенты характеристического уравнения вида (2-26) были положительными, т. е.

^>0, а2>0, а3>0; 2) чтобы выполнялось следующее неравенство:

0.

В каждой регулируемой машине имеются такие па­раметры, значения которых можно выбирать в опреде­ленных пределах, не нарушая условий устойчивости си­стемы. В данном случае к таким параметрам относятся: моменты инерции ветроколеса Ув, лопастей Ул, вели­чина производной демпфирующего момента аэродина­мических сил k0 и др. Для того чтобы в процессе про­ектирования можно было правильно выбирать значе­ния этих параметров, небходимо знать границы обла­стей устойчивости для нескольких режимов работы вет­родвигателя в заданном диапазоне изменения рабочих скоростей ветра.

Если условие (2-29) выполняется, то граница устой­чивости может быть найдена из равенства:

Ata2 — а3 = 0, (2-31)

Где av а2 и а3 — коэффициенты характеристического уравнения рассматриваемой системы.

Каждый из коэффициентов, входящих в это равен­ство, связан с параметрами системы определенным об­разом. В рассматриваемом случае эта связь оказы­вается настолько сложной, что изменение какого-либо одного параметра приводит к изменению сразу несколь­ких коэффициентов.

Напишем выражение для определения границы устойчивости в раскрытом виде. Подставляя в (2-31) значения коэффициентов at, а2, а3 из (2-25) с учетом (2-20), получим:

ГГ№ + JzmJ(Ув"2 + Kmi) — (mtnt~ тгПі) = 0. (2-32)

В 3 z

Из всех параметров, входящих в это выражение, наи­больший интерес представляют kb и Ул, который является составной частью момента инерции Jz. Поэтому иссле­дуем область устойчивости на координатной плоскости двух параметров k0 и Ул-

Решая выражение (2-32) относительно k0, получим квадратное уравнение

A% + Bko+C = 0,

8—2412
Где

/в/| JzJZ JB J ]в Jz

Напомним, что как в данном случае, так и всюду в дальнейшем равенство, по которому определяется граница устойчивости, имеет смысл только в том слу­чае, если выполняются все условия, определяющие устойчивость рассматриваемой системы. Поэтому, изме­няя в определенных пределах значения тех или иных параметров системы, нужно строго следить за тем, что­бы критерии устойчивости выполнялись полностью.

Для устойчивости рассматриваемой системы трех­член (2-33) должен иметь положительный знак.

При изменении величины Ул будут изменяться ко­эффициенты уравнения (2-33) и, следовательно, каж­дому значению Ул будут соответствовать два корня. Для определения границ устойчивости представляют интерес только вещественные корни, так как наличие мнимых корней укажет на то, что устойчивость системы от данного параметра не зависит. Определив для раз­личных значений Ул корни уравнения (2-33), можно по­строить кривую Ул=/(|&0), которая будет являться гра­ницей устойчивости на координатной плоскости дан­ных параметров. Для построения границ устойчивости надо брать только положительные значения корней, так так отрицательные значения физического смысла не имеют. При наличии двух положительных корней будут иметь место две границы, между которыми располо­жится соответственно область устойчивости или не­устойчивости.

В качестве примера на рис. 2-18 и 2-19 показаны об­ласти устойчивости системы аэродинамического регули­рования, подсчитанные по параметрам ветродвигателя 1D-18 для расчетного режима при отсутствии компен­сации центробежных сил лопастей и при их полной ком­пенсации. Как следует из этих диаграмм, при отсут­ствии компенсации применение аэродинамического ре­гулирования ограничено для данного размера ветро­двигателя определенным значением момента инерции лопасти Ул. Однако введение компенсации позволяет
изменять величину момента инерции лопасти, не сни­жая При этом устойчивости системы.

Выше указывалось, что для заданного режима ра­боты ветродвигателя k0 зависит только от расположе­ния оси поворота лопасти относительно ее передней кромки х0.

Как показывают расчеты, расположение границы устойчивости на координатной плоскости параметров /л

И k0 в значительной степени зависит от х^. С изменением хо меняется не только граница устойчивости, но и само значе­ние коэффициента ko, которое может быть получено при дан­ном х0.

Расчеты показывают, что при прямом регулирова­нии без учета влияния трения систему всегда можно сделать устойчивой только за счет аэродинамического демпфирования. Однако по мере увеличения х0 область устойчивости постепенно уменьшается и, если не учи­тывать трения, система может стать абсолютно не­устойчивой.

При прямом центробежном регулировании момент аэродинамических сил Ма, поворачивающий лопасти .относительно своих осей, стремятся свести к нулю.

Уменьшение этого момента осуществляется за счет уве­личения х0, что, как мы видим, связано со снижением динамической устойчивости. Поэтому системы центро­бежного 'прямого регулирования, как правило, являются системами, динамически неустойчивыми. Устойчивость практически получается за счет наличия трения в ме­ханизмах регулятора [J1. 4]. В ряде случаев, чтобы сде­лать систему центробежного прямого регулирования динамически устойчивой без учета сухого трения, допу­скают M^fc 0, что связано с соответствующим увеличе­нием мощности и размеров центробежного регулятора.