Теория и практика экструзии полимеров

МЕХАНИКА НЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ

Рассмотрим тонкий слой жидкости, заключенной между двумя бесконечными параллельными пластинами, одна из которых не­подвижна, а к другой приложено сдвигающее усилие /-’(рис. 1.2, а). Верхняя пластина под действием силы Сбудет сдвигаться относи - 1слыю параллельной ей неподвижной плоскости со скоростью v, постоянной до тех пор, пока сила /'неизменна. Поскольку даже пссмачивающая жидкость прилипает к ограничивающей ее стенке гак, что прекращается движение жидкости относительно стенки, жидкость у нижней пластины имеет нулевую скорость, тогда как - корость ее у верхней пластины равна v и совпадает по направле­нию с действием силы. Так как в стационарных условиях сдвигаю­щая сила передается равномерно через жидкость к нижней плос-

17

)

4 МО

Подвижная

/^/скорость^/У/

Рис. 1.2. Течение жидкости между плоскоиарахкмьиычи пластинами (а и б — см. текст)

МЕХАНИКА НЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ

4Z22

v + d V'

МЕХАНИКА НЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ

F77/^LLi////A

кости, каждый слой жидкости в пределах пространства высотой /; будет перемешаться относительно следующего слоя так, что изме­нение скорости в зависимости от расстояния между ними (гради­ент скорости) будет постоянным.

Математически отношение между напряжением сдвига и вызы­ваемым им изменением градиента скорости (поскольку dv/d/i по­стоянно и равно v/h) может быть выражено одним из следующих уравнений:

F р dv

T = M“jT» d/i

(1-6)

(1.7)

где I — напряжение сдвига; S — плошалi. поверхности пластины; р — коэффицм - ент пропорциональности (ньютоновская вязкость).

Уравнение (1.7) можно записать и в другом виде. Для этого рас­смотрим элемент жидкости высотой d/;, вырезанный из слоя жид­кости, заключенной между двумя бесконечными плоскостями (рис. 1.2, б).

В случае идеальной ньютоновской жидкости изменение дефор­мации происходит во времени. За время d/ это изменение равно расстоянию, на которое передвигается верхняя пластина |7|:

(1.8)

(1.9)

d/ = (v + dv)d/-vdv = dvd/.

Дифференциал деформации сдвига г/у равен:

dv d/

, d /

dY = -77 d/i

d/i

Деля обе части выражения (1.9) на d/, получим:

С учетом выражения (1.10) уравнение (1.7) приводится к виду:

т = ру-

(III)

Ньютоновская вязкость ц зависит только от температуры и дав - 1Сния и не зависит от скорости сдвига у.

График зависимости напряжения сдвига от скорости сдвига — гак называемая кривая течения — для ньютоновской жидкости представляет собой прямую линию с тангенсом угла наклона р. )га единственная постоянная полностью характеризует жид­кость. Все газы, жидкости и растворы с относительно низкой мо­лекулярной массой ведут себя как ньютоновские жидкости в пределах достижимой точности эксперимента. Все расплавы и растворы высокополимеров относятся к неньютоновским жидко­стям.

Уравнение (l. l I) является частным случаем применения к илоскопараллельному сдвигу общего реологического уравнения ньютоновской жидкости. Оно может быть записано в виде:

МЕХАНИКА НЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ

! it* к — коэффициент объемной вязкости; ц — коэффициент вязкости при сдвн - и1вом течении.

Компоненты Ду тензора скоростей деформации Д и 5;, единич­ного тензора 6 определяются следующим образом:

МЕХАНИКА НЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ

6/j = 0, если / * j = I, если /' =j.

МЕХАНИКА НЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ

не между х, у, z и системой индексов I, 2, 3 существуют следую щие соотношения:

X, = X, *2 = У, х} = г.

В частном случае, когда / = 2 и у = 1, уравнение (1.12) примет

или в системе индексов х, у, z:

МЕХАНИКА НЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ

вид

МЕХАНИКА НЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ

Заметим, что если бы vy было равно нулю, как при плоскопа - раллельном сдвиговом течении, то уравнение (1.13) упрости­лось бы:

Математическая формулировка задачи течения всегда приводит к системе уравнений, состоящих из реологического уравнения, уравнений неразрывности, движения, энергии и уравнения состо­яния жидкости. Решением задачи являются функции, удовлетво­ряющие этим уравнениям и определенным граничным условиям.

Для упрощения постановки задачи ньютоновского течения ниже приведены скалярные уравнения (1.12) в прямоугольных, цилиндрических и сферических координатах.

Прямоугольные координаты (х, у, z)'-

Цилиндрические координаты (г, 0, z):

T1»=+M[2(^+^)'f(v'v)]+x(v‘');

+ K(Vv);

rA( vr V 1 dvr

drl r I г Э0

TK=+p

Эу0

dz

г ЭО ]

+*ь)

Эг

Эг ’

=4r = +H *0:=*гО = +И V=T/t =+V

-ч1э, , i3v0 Ov.

(v-v) = -—(rv,)+—-ii + — v ' rdrK r> гЭе dz

Сферические координаты (г, 0, ср):

V = +Р %> = +И

2^-f(Vv)]+s(Vv);

Хй^НН»™

sinO Э

S 1, 1 Эу0

г ЭО

sin0 1 rsinO Эф

с) f V0 Л 1 dvr

г— — 1+ -

дг[ г г ЭО

1 dv. Э - + г—-

г

trt)=T0r =+й *Оф=тфв =+И

V=T«p = +>4 I э

rsinO Эф дг I Э

(V - v) = -!r—(/2vr) + ———(v0sinG) + —?—

г2 дЛ ' rsinO ЭО rsinO Эф

Решение простой задачи ньютоновского течения иллюстриру­ется примером 1.1 111.

Пример 1.1.

В этом примере рассматривается установившееся ламинарное осесимметрическое течение несжимаемой ньютоновской жидко­сти через длинную трубу круглого сечения радиусом R. Темпера­тура стенки трубы Tw поддерживается постоянной. Задача состоит в отыскании распределения скорости и температуры в попереч­ных сечениях трубы, настолько удаленных от входа, что ни темпе­ратура. ни скорость не зависят от продольной координаты Z - Для простоты предполагается, что вязкость р постоянна.

МЕХАНИКА НЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ

В этой задаче все производные температуры, скорости и ком­понентов девиатора напряжений по переменным 0, г и / равны нулю, компоненты скорости v0 и v, равны нулю, и, вследствие того, что жидкость несжимаема, (Vv) = 0. Уравнения движения и энергии (см. с. 14—16) принимают следующий вид:

(1.14)

(115)

МЕХАНИКА НЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ

дР pdf dv. — = г— :

Эг г дг дг

/

Вводя в эти уравнения выражения для (см. выше) и q„ (см. табл. 1.1), получим:

(1.16)

МЕХАНИКА НЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ

Граничные условия этой задачи:

(1) v,(/?) = 0; (3) vj(0)=0,

(2) Г(/?) = ГИ; (4) 7"'(0) = 0,

Вследствие того, что левая часть уравнения (1.16) не зависит от г, его можно непосредственно проинтегрировать. В результате по­лучим:

Из третьего граничного условия следует, что постоянная интег­рирования С| равна нулю.

Распределение скорости, полученное при интегрировании уравнения (1.18), представляется выражением

гг дР г

г = 4^1Г ” (1-19)

которое при определении С2 из первого граничного условия и последующей подстановке в уравнение принимает вид:

tf_dP 4ц Эг

v. = —

(1.20)

'Знак «минус» указывает на то, что жидкость течет в направле­нии уменьшения давления.

Распределение температуры можно получить подстановкой ра­венства (1.18) в выражение (1.17) и интегрированием последнего. После первого интегрирования получим:

2 _3

Л dP

дТ А_1 О Г Г Г" [ Ly

(1.21)

Эг 4цк dz I 4 г

причем из четвертого граничного условия следует, что постоянная интегрирования С3 равна нулю. Интегрирование уравнения (1.21) дает выражение

Т — Л (9РУг* Г

4р*|ч dz ) 16 4’

которое при определении Q из третьего граничного условия при­мет вид:

(1.22)

т_т_шМР%(г*'

К

64 ц/; I dz

Скорость жидкости на оси трубы v. |г=,0 = v0 выводится из урав­нения (1.20):

R:dP

5Г»

4ц dz

а температура жидкости на оси трубы, рассчитанная по уравнению

11. 22), определяется выражением:

Г R*A(dP^ _4*Ур 64ц*| dz I 4*

ньютоновского течения через длин­

Tw F’hc. 1.3. Распределение безразмер-

МЕХАНИКА НЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ

y ных скоростей и температур для

И IILUtmitfinrL'nrn Н1>П1< 1 iluu.

МЕХАНИКА НЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ

() s Если, например, скорость жидкости на оси трубы равна 0,1 м/с, вязкость жидкости о. б равна 104 пз (1()? И с/м2), а

коэффициент теплопроводно­сти — 10 3 калДсм • с • град) <М (0,419 Вт/(м ■ град)], то тем­

пература жидкости на оси () 2 трубы будет на 6 °С выше,

ную трубу

чем у стенки грубы.

Разделив выражения (1.20)

и (1.21) соответственно на v<j

о 0.2 0,4 о. б 0,8 r/R и 7q — Tw, приведем их к без-

SHAPE * MERGEFORMAT

МЕХАНИКА НЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ

размерному виду:

МЕХАНИКА НЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ

На рис. 1.3 показана зависимость этих безразмерных перемен­ных от безразмерной координаты r/R.

Теория и практика экструзии полимеров

Постачальник ПВХ, ПУ, промислових та гідравлічних рукавів

Компанія «Укр-Флекс» є провідним постачальником промислових рукавів та шлангів на українському ринку. Завдяки високій якості продукції, широкому асортименту та надійному обслуговуванню, ми забезпечуємо потреби різних галузей промисловості і гарантуємо задоволення …

Причины перейти на инженерные пластики

За последние десятилетия появилось множество полимерных материалов. Физические, механические свойства ряда из них настолько хороши, что они активно используются как альтернатива металлу. Особым спросом пользуются так называемые инженерные пластики. Полипропилен, …

СИСТЕМЫ ОХЛАЖДЕНИЯ РУКАВНЫХ ПЛЕНОК

Системы охлаждения экструзионных агрегатов для производ­ства рукавных пленок должны обеспечивать: — заданную интенсивность охлаждения с целыо получения ка­чественного изделия при заданной производительности экструдера; — заданную структуру пленки; — равномерность охлаждения …

Как с нами связаться:

Украина:
г.Александрия
тел./факс +38 05235  77193 Бухгалтерия

+38 050 457 13 30 — Рашид - продажи новинок
e-mail: msd@msd.com.ua
Схема проезда к производственному офису:
Схема проезда к МСД

Партнеры МСД

Контакты для заказов оборудования:

Внимание! На этом сайте большинство материалов - техническая литература в помощь предпринимателю. Так же большинство производственного оборудования сегодня не актуально. Уточнить можно по почте: Эл. почта: msd@msd.com.ua

+38 050 512 1194 Александр
- телефон для консультаций и заказов спец.оборудования, дробилок, уловителей, дражираторов, гереторных насосов и инженерных решений.