Сварные конструкции. Расчет и проектирование

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСИЛИЙ ОТ СИСТЕМЫ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ СИЛ Р И РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКИ Q

Построенной линией влияния пользуются для опреде­ления усилия в заданном сечении балки от различной ком­бинации сосредоточенных и сплошных нагрузок.

Предположим, что для сечения а балки построена линия влияния усилия R, имеющая вид, показанный на рнс. 8.8, а.

Балка загружена сосредоточенными силами Яь Pt, Як и равномерной нагрузкой q на участке I—а.

Ординаты линии влияния под силами Ри Рг и Як обо­значим соответственно t/i, yt, ук.

Пользуясь принципом независимости действия сил, находим усилие в сечении а:

Pr = РУ + Р s. V. + РыУ, = 2 ріУі’ (8-27)

Усилие от равномерной нагрузки найдем, заменив сосре­доточенную нагрузку бесконечно большим количеством
бесконечно малых сосредоточенных сил:

/?,= ^qdxy = qQ, (8.28)

где £2 — площадь Линии влияния на длине загруженного

участка. Полное усилие

+ (8.29)

выражает собой продольную силу N, поперечную силу Q, момент М и т. д. в зависимо­сти от построения линий

влияния.

Пример расчета. Построить линию влияния момента М от еди­ничной силы для 1/4 пролета балки (= 16 м (рис. 8.8,6) и опре­делить изгибающий момент в этом сечении от системы сил, изобра­женных на рис. 8.8, в.

Для построения линии влия­ния момента в сечении а следует отложить на опорах вертикаль­ные отрезки а=»4м и 1—а= 12 м и провести наклонные прямые, определяющие заштрихованный треугольник.

Находим (/,= 12-2/16=1,5 м; (,,= 12-4/16=3 м; Q = 2-8/2= 8 м*.

Расчетное усилие (изгибаю­щий момент) в сечении (рис. 8.8, в)

Л1„ = 1,5-30—3-20+10-8 =

=65 кН-.м

При расчете балок, нагруженных крановыми тележками, для определения наибольших изгибающих моментов и попе­речных сил необходимо сначала построить линии влияния /VI и Q для поперечных сечений (0,1/, 0,2/и т, д.). Далее следует определить усилие от нагруженной тележки с уче­том того, что она занимает на балке разные положения, при которых усилия в изучаемых значениях (0,1/, 0,2/ и т. д.) являются наибольшими (см. гл. 9).

стержней фермы выражают зависимость величины усилий в стержнях от положення груза, равного единице, на ферме. Таким образом, для каждого стержня (элемента) фермы строится соответствующая линия влияния.

Груз может перемещаться как по верхнему, так и по нижнему поясу фермы в соответствии с загружениями реальными силами.

По продольным брускам перемещается груз, равный единице, воспринимаемый фермой через поперечные брусья. Таким образом осуществляется передача нагрузки на ферму по узлам.

В действительности такая надстройка нередко осуществ­ляется в сооружениях. Если же она в действительности от­сутствует, то для построения линий влияния продольных усилий поясов следует допустить, что она все же имеет место.

Докажем, что при перемещении груза от узла к узлу пояса линия влияния усилия в стержнях фермы определя­ется уравнением прямой линии.

Определим усилия в каком-либо стержне, например 2'3', когда Р= 1 последовательно находится в узлах 2' и 3'.

Обозначим величину усилия рассматриваемого стержня 2’3' при положении груза в узле 2' через Ыг, а при положе­нии в узле З1 — N,.

Если груз, равный 1, находится в панели на расстоянии от узла 2' (рис. 8.9, а), то ферма испытывает нагружения:

в узле 2':

' Рг- 1^, (8.30)

в узле 3':

Ру= 1£. (8.31)

Таким образом, при перемещении груза от узла 2' до узла 3' усилие в стержне 2’3' может быть найдено

(8-32)

где Nt и Nil — величины, не зависящие, от г, d — длина панели.

Полученное уравнение представляет собой линейную функцию г.

Таким образом, усилие в элементе при перемещении груза от узла к узлу изменяется по закону прямой линии. Sfro используют при построении линий влияния элементов ферм.

Груз enpath cm S-Я C! j ft ^ШИДШШДШВПШВДППВаа—

e)

Jitl

n'rjsilM '^ІІІІШіГШІЇЇЇШТГГТТПШТттттт. I

3)

и) '‘ЧИЩПР9'------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Рис. 8.9. Построение линий влияния усилий в стержнях ферм с параллельными поясами

Рассмотрим линии влияния усилий в стержнях фермы с параллельными поясами, которая опирается на две опоры (рис. 8.9, а).

Производим последовательно разрезы Ш—Ш и 11—11 (рис. 8.9, б).

Для построения линии влияния 23 рассмотрим уравне­ние равновесия

При грузе, находящемся справа от разрезанной панели Ш—ПІ, уравнение равновесия для левой части фермы будет

A3d-23h= 0;

23 = аЦ - .

При лг=0 /1 = 1 и 23 — ^-

при х=1 /1=0 и /3=0.

Проводим правую линию влияния 23, которая верна при условии, что груз находится на участке от узла 6' до узла 3'.

При грузе, находящемся слева от разрезанной панели Ш—Ш, уравнение равновесия для правой части фермы будет

B3d—32Л = 0,

откуда

32 = Bj->

Аналогичным образом находим левую линию влияния, которая верна при грузе, находящемся на участке от узла О' до узла 2'.

При перемещении груза от 2' до 3' линия влияния изме­няется по закону прямой, изображенной на рис. 8.9, б, являющейся продолжением левой линии влияния.

Можно значительно упростить технику построения линии влияния усилия в стержне 23, если учесть следующее.

При нахождении единичной силы в точке 3' безразлично рассматривают ли равновесие левой отрезанной части фер­мы и выражают 23 через величину реакции А или правой части фермы и определяют 32 через реакцию В. В обоих случаях в уравнение равновесия не входит член, зависящий от единичной силы. Эго означает, что ордината левой ли­нии влияния (груз слева от разрезанной панели), опреде­ляемой нз соотношения B3d'h, равна ординате правой ли­нии влияния (груз находится справа от разрезанной пане­ли), вычисляемой по A3dlh, т. е. правая и левая линии влия - нип пересекаются под моментной точкой. Это важное свой­ство линий влияния, облегчающее их построение. В самом деле, проводим правую линию 23=A3d/h, которая верна, пока груз находится на участке между узлами 3' м 6'. Левая линия влияния, определяемая через реакцию В, имеет ординату, равную нулю на опоре А, и пересекается с правой линией под точкой 3'. Эга прямая верна на участке между узлами 0' и 2’. Между узлами 2' и 3' линия влияния выражается линейной функцией, т. е. прямой, представ­ляющей собой продолжение левой линии влияния.

Аналогичным образом пишем условия равновесия 2М,= =0 и строим линию влияния 2'.3' (рис. 8.9, в).

Для определения усилия в раскосе 23' рассекаем ферму (рис. 8.9, г).

При грузе, находящемся справа от разрезанной панели, уравнение равновесия для левой части фермы запишется так:

/1 + 23'sin а = 0;

При х=0 23'=—І/sin а; лрн х=1 23’=0.

Проводим правую линию влияния 23’, которая верна при грузе, находящемся на участке от узла 6' до узла 3' (рнс. 8.9, а).

При грузе, расположенном слева от разрезанной панели, уравнение равновесия для правой части фермы запишется

так:

В — 3'2sina = 0;

При х=0 3'2=0; при дг—/ 3'2—1/sin ct.

Левая линия влияния верна при грузе, находящемся на участке O'2'.

При перемещении груза на участке 2'3' линия влияния 2'3' определяется пунктирной прямой.

Линию влияния усилия 23' можно построить более про­стым способом, если учесть, что левая и правая прямые пересекаются под моментной точкой.

Находим сначала правую прямую, которая строится по уравнению 23'=Afsin a.

Известно, что левая прямая имеет ординату на левой опоре, равную нулю, и должна пересечь правую под мо - ыентноЙ точкой. Моментная точка при определении уси­лия в раскосе находится на пересечении направлений параллельных поясов, т. е. в бесконечности. Эго указы­вает, что левая и правая линии влияния раскоса 231 парал­лельны между собой.

Линия влияния 1'2' строится нз рассмотрения условия равновесия узла 2"

2*=о

откуда следует, что 2'1'=2'3'.

Линия влияния O'V строится с учетом условия равнове­сия узла О'

2*=о,

откуда следует, что 0' 1'=0.

Для построения линии влияния 12 проводится разрез

11— II и пишутся условия равновесия £.МХ'=0.

Очертание линии влияния 12 показано на рис. 8.9, д. Из условия равновесия £Х=0 в узле 1 следует, что ли­ния влияния 10 равна линии влияния 12.

Для построения линии влияния Ґ2 следует использо­вать условие равновесия 2К=0 (рис. 8.9, е).

При грузе, находящемся справа от разрезанной панели 11—11,

А — Ґ2 sin а = 0.

При х—0 /'2=A/sin о; при х=11'2=0.

проводим правую линию влияния 1'2, которая верна при грузе, находящемся на участке от узла 6' до узла 2' (рнс. 8.9, е).

При грузе, находящемся слева от разрезанной панели 11—11,

В+ 21' sin а = 0,

21' — — fl/sincc.

При лг=0 2/'=0; при х—1 21' = І/sin а.

Проводим левую линию влияния на участке 0'1'. При перемещении груза от 1' до 2' линия влияния определяется уравнением прямой, изображенной на рис. 8.9, е пунктир­ной линией.

Аналогичным путем строим линию влияния усилия в стержне 01' (рис. 8.9, ж).

Построим линию влияния усилия в стойке 11'. Из усло­вия равновесия сил, приложенных в узле 1, £ К=0 вытекает, что усилие 11'—0.

Ординаты линии влияния стойки 33' также равны нулю.

При построении линии влияния усилия в стержне 22 следует рассмотреть условия равновесия 2К=0в узле 2'.

Если груз находится вне второй и третьей панелях, то усилие 22=0.

Если груз находится в узле 2', то условие 2 Y=0 пишется таким образом: —2'2—1=0, при атом 2'2=—1 (рис. 8.9, и).

При перемещении груза на участках 1'2 и 23' линия влияния имеет очертание треугольника (рно. 8.9, ж).

Линия влияния усилия в опорной стойке 00' находится из условия равновесия £К=0 в узле (У (рнс. 8.9, з).

При отсутствии груза на первой панели (У0=0.

При нахождении груза в узле O’ уравнение равновесия запишется так:

-1-0'0 = 0,

откуда

0'0 = — 1.

При перемещении груза от узла 0 до узла / линия влия­ния усилия в стержне 00' определяется уравнением прямой, изображенной на рнс. 8.9, д пунктирной линией.