ПРИНЦИПЫ ЛАЗЕРОВ

СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ВРЕМЕННОЙ КОГЕРЕНТНОСТЬЮ И МОНОХРОМАТИЧНОСТЬЮ

Из рассуждения, проведенного в предыдущих разделах, становится оче­видным, что для стационарного пучка понятие временной когерентности тес­но связано с монохроматичностью. Например, чем более монохроматической является волна, тем больше ее временная когерентность, т. е. время коге­рентности тсо, которое обратно пропорционально ширине полосы AvL генери­руемого излучения.

В начале рассуждения следует отметить, что спектр электромагнитной волны, измеренный с помощью спектрометра, пропорционален спектру мощ­ности W(г, со) поля (или сигнала) Е(г, £). Поскольку спектральная функция W равна Фурье-образу автокорреляционной функции Г(1), любая из этих вели­чин может быть найдена, если известна другая. Для того чтобы получить точное соотношение, связывающее величины тсо и vL, необходимо переопре­делить эти величины соответствующим образом. Откуда тсо определяется как среднеквадратическое отклонение ат функции |Г(1)(т)|2, так что

£^(т-<т»2 |Г(т)|2 dx / 1*1 V(x)2dx

Где среднее значение (т) определяется соотношением

<т> = [ |т I Г(т) I2 <*]/[ | Г(т) I2 dxj.

В сокращенной записи это выражение можно записать в виде:

(ат)2 = ([х-<т>]2>. (11.3.25)

Поскольку |Г(-т)| = |Г(т)|, имеем (т) = 0, и выражение (11.3.25) принимает вид:

(ах)2 = (т2>. (11.3.26)

Такое определение времени когерентности умозрительно является более простым (хотя иногда и более трудным для вычислений), чем то, которое было дано выше, т. е. через измерение полуширины на полувысоте кри­вой |Г(т)|, см. рис. 11.1. Действительно, если бы кривая |Г(т)| на этом рисунке имела осциллирующий характер (по переменной т), то время когерентно­сти тсо нельзя было бы вычислить однозначно.

Аналогичным образом определим ширину лазерной линии Ауь как сред­неквадратичное отклонение функции ТГ2(у). Таким образом,

(Ду£)2 = (су)2 = ([V - (у)]2), (11.3.27)

Где (у) — средняя частота спектра, определяемая выражением

<v) = [ JvVF2dv]/[ jV2dv].

Поскольку функции и Г связаны преобразованием Фурье, можно пока­зать, что суу и сут (в соответствии с определением, которое было только что дано), удовлетворяют условию:

СУТСУУ ^ (1/4п). (11.3.28)

Это условие аналогично соотношению неопределенностей Гейзенберга, и его можно доказать, используя тот же метод, что и при выводе указанного соотношения [2]. Знак равенства в условии (11.3.28) имеет место в том слу­чае, когда функции |Г(1)(т)| и, следовательно, Ж(у) являются гауссовыми. Та­ким образом, рассматриваемый случай, очевидно, представляет собой кван­товый аналог волнового пакета с минимальной неопределенностью [2].

Пример 11.2. Время когерентности и ширина линии для синусоидаль­ной волны со случайными скачками фазы. Предположим, что поведение поля во времени в заданной точке описывается синусоидальной волной с постоянной амплитудой и с фазой, которая резко меняется случайным об­разом (см. рис. 2.9).

Пример расчета корреляционной функции Г(1>(т) приводится в прило­жении Б и имеет вид Г(1)(т) - ехр {-(|т|/тс)}, где тс — среднее время между двумя последовательными изменениями фазы. Согласно выражению (11.3.26) получаем:

Jt2 ехр [-(2т / тс )]dz ^ Jjc2 exp [-x]dx

Jexp [-(2т / тс )]dz jexp [~x]d х

Где х = 2т/тс. Таким образом, имеем ат = тс /у/2. Спектр мощности Щу - у0) этого сигнала описывается функцией Лоренца (см. опять приложение Б), так что согласно выражению (11.3.27) можно записать:

Где х = 2я(у - у0)тс. Это означает, что оба интеграла в правой части послед­него выражения равны значению (я/4) [11], так что ау = (1/2ятс). Из пре­дыдущих вычислений можно убедиться, что произведение атау равно зна­чению 1/(2%/2я), а это в у/2 раз больше, чем минимальное значение 1/4я, которое имеет место для гауссова спектра.