ПРИМЕНЕНИЕ ЖЕЛЕЗОБЕТОНА МАШИНОСТРОЕНИИ

Примеры расчета полых и сплошных цилиндров

Сопряжение полых цилиндров по торцам. Требуется рассчи­тать сопряжение архитрава и стен железобетонной цилиндриче­ской станины гидропресса. Железобетонная станина совмещена с рабочим гидравлическим цилиндром. Внутреннее давление жид­кости воспринимается стенами станины и цилиндрическим архи­травом. Необходимо найти перемещение внутренней поверхности цилиндра в зоне уплотнений и напряжения в наиболее опасных местах конструкции.

Расчет можно разделить на два этапа: сначала рассчитать конструкцию только на нагрузку, передаваемую жидкостью на 238
стены станины, а затем на нагрузку от давления жидкости на днище цилиндра, воспринимаемую архитравом, и после этого результаты сложить. Ввиду того, что оба расчета производятся по одной методике, мы ограничимся первым случаем нагружения.

Цилиндрический архитрав ста­нины имеет круглый канал для подвода жидкости к цилиндру, поэтому он может рассматриваться как полый цилиндр. Для упроще­ния расчета стены цилиндрической станины и архитрав будем рас­сматривать как полубесконечные полые цилиндры. Таким образом, требуется рассчитать сопряжение двух полых цилиндров разной толщины, один из которых нагру­жен равномерным внутренним давлением (фиг. 29).

Для приближенного расчета полых цилиндров воспользуемся формулами Фиг- 29- к расчету сопряжения

Примеры расчета полых и сплошных цилиндров

Т r J полых цилиндров разной толщины.

Д Е

Н" =

Параметры цилиндров: кв = 0,346; кн = 0,0692; г° = 6,5 м; v = 0,15. Индекс «е» означает, что величина относится к верхнему цилиндру, «н» — что величина относится к нижнему цилиндру. Подставляя в формулы (235) значения параметров верхнего и нижнего цилиндров, приведем их к виду

(-ЬЁ! + 0,7516)фв; К = л. (^ш + 0,0263е)фн;

0,265 |фв4 + (0,115+ 1,021пе + 0,376е2)уФв Е

0,00938 J ФHdl - f (0,00860 +

И" —

+ 0,03601п е + 0,01 ЗЗе2) уфн

Aez = q (—0,0239 —0,16021пе —0,0592е2) у2Ф„(т/м*)] ст» = (у (— 0,00171 — 0,00209q2 — 0,00566 lng) у2Ф„ (т/ж2);

= ^00^55 — 0,0282е + 0,0148q3 + 0,0800е1пе)у3Фв(/п/лі2); т»г = q ^3,9ЬЮ~5 — 5,63- 10"4е + 5,23- 10-у + + 2,83- 10-3е 1п е) У3ФН (т/м2).

Графики функций показаны на фиг. 30.

(236)

Входящая в расчетные формулы функция Ф содержит четыре произвольные постоянные, которые должны быть определены из условий монолитного сопряжения верхнего и нижнего цилиндров. Эти условия состоят в том, что в плоскости сопряжения элементов радиальные перемещения равны, вертикальные перемещения эле­ментов отличаются только по знаку, т. е. нет раскрытия шва. Нормальные напряжения равны, а касательные напряжения отличаются только по знаку; эти условия сопряжения могут быть выполнены только интегрально, приближенно. Для их выполне­ния линию сопряжения разбиваем на участки, и в пределах каждого участка приравниваем площади эпюр соответствующих функций. Разбивка на участки представлена на фиг. 31. При рас­чете сопряжений пятый и шестой участки цилиндров не учиты - 240

Ваются, так как в пределах этих участков эпюры напряжений меняют знаки. Площади эпюр по участкам приведены в табл. 35.

Примеры расчета полых и сплошных цилиндров

Г)

Площади эпюр по участкам сопряжения

Участки

< в

Инг в мг

О® в м

А" • 10_3 в м

1

—0,220

—0,00648

0,0324

0,930

—0,059

—2,78

2

—0,342

—0,01010

0,0520

1,400

—0,377

—5,68

3

—0,256

—0,00658

0,0365

0,853

—0,614

—5,61

4

—0,161

—0,00342

0,0220

0,360

—0,728

—5,26

7

0,0707

0,00477

—0,0141

—0,931

—0,574

—3,08

8

0,1414

0,00725

—0,0250

—1,398

—0,385

—1,985

9

0,211

0,00973

—0,0362

—1,710

—0,139

—0,692

В выражении Фн единицу нужно отбросить, так как нижний цилиндр не нагружен внутренним давлением. Параметры а и Ъ можно взять по графику на фиг. 6.

Ав = 2,30; ан = 2,14; ft, = 1,36; 6Н = 0,968.

Произвольные постоянные для нижнего цилиндра обозна­чим С3 и С4. Приравнивая напряжения и перемещения на каждом участке, получим семь систем по четыре уравнения с четырьмя неизвестными. Решая системы, найдем значения произвольных постоянных на каждом участке. Они приведены в табл. 36.

Таблица 36

Значения произвольных постоянных по участкам

Участки

1

2

3

4

7

8

9

Сі

—0,252

—0,185

—0,144

—0,136

—0,106

—0,104

—0,103

С2

—0,427

—0,383

—0,333

—0,291

—0,494

—0,439

—0,414

С3

13,4

16,7

18,9

21,2

16,4

17,8

18,6

Ct

16,2

17,5

18,9

20,1

14,3

15,9

16,7

Подставив значения произвольных постоянных в формулы (237), получим окончательные выражения разрешающей функции и ее производных. Эти выражения выписаны в табл. 37.

Пользуясь формулами (236) и табл. 37, можно определить напряжения и перемещения в любой точке верхнего или нижнего цилиндра. В табл. 37 обозначено g = 242

HJ)

To со

HJ)

To со

„.=

6,50

Если q = 3200 т/м2, t = з, іи-іи° т/м', то иг = ° м.

Расчет цилиндра с прямоугольной полостью. Для приближен­ного расчета станины в виде цилиндра с прямоугольной полостью У с целью определения необходимого

Диаметра из условий прочности воспользуемся формулами напря­жений на стр. 156 при п = 2. Расчет проведем с точностью до равнодействующей нормального напряжения аг на внутреннем контуре.

Схема станины и расчетная схема показаны на фиг. 32.

По первой расчетной схеме станина нагружена только двумя вертикальными линейными на­грузками по 6300 т. По второй расчетной схеме кроме этих нагру­зок приложены еще горизонталь­ные линейные нагрузки по 6300 т.

Задаемся г° = 6300 т 15 м

+ 1,252 = У 4,44 4,22 м; к = = 420 т/м.

2,11 м - Р ~ 6300 т. ■ 0,5. Длина станины равна

Складываем частное решение при п — 2 и напряженное со­стояние, соответствующее простому осесимметричному растя­жению.

Полученное напряженное состояние имеет равнодействующую по оси X, равную нулю, и равнодействующую по оси Y, равную единице; для напряжений аг на контуре при q = к

Я/2

J cos2cp sin ф с/ф

[> -

=------------------------ і -

Распределенная нагрузка т! м = 199 тім2:

Зк-2)Є2

Da„ =

Ф = qx = -1.199 = 298 /п/л2. График нагрузки показан на фиг. 33.

Примеры расчета полых и сплошных цилиндров

Фиг. 33. К определению суммарных напряжений сГф при л = 0 и я = 2.

Определяем напряжения при расчете по первой схеме. Наиболь­ший интерес представляет распределение напряжений сгф. Макси­мальные значения сгф будут на оси Y.

Dgv = З [(1 — 2/с"2 + к4) — 2 (2

— (1 2/с2 — Зк4) е"4] 298 т/м2. На внешней поверхности при q = 1

-12(1 + к2 — к"2 — /с4)-298 = —12-2,69-298 /п/л2;

3-4,94;

= - тйт-4-298 /п/л2 = -2,18-298 = 649 т/м2.

Ф 494

D = —3 [6 + (к4 + к-4) — 4 (к2 + к"2)] 2,69

На внутренней поверхности при q = к

298 т/м2

Ст" ~ 4,94

£>0ф = 3 [ 10 — (к4 + к-4) — 4 (к2 + /с"2)] 298 т/м2-, Do,, = 3-23,06-298 /п/л2; 23,06 „по „/..9, „ „ПО „ПП -/.J

-4,66-298 — —1390 т/м2.

На эти напряжения следует наложить напряженное состояние при осевой симметрии

99,5 -= 0,667-99,5 = 66,3 т/м2-,

При Q

99,5 = 1,67-99,5 = 166 тім2.

"ф - і _ . Суммарное значение сгф:

При Q = 1 0Ф = 649 + 66 = 715 т/мъ\ при q = к сгф = —1390+ 166 = — 1124 т/м2.

Вид эпюры сгф по оси Y показан на фиг. 34.

Вынужденные колебания полого цилиндра под воздействием нагрузки

Примеры расчета полых и сплошных цилиндров

700,0

0,25 t

Ш - = 0,36; 0,7э

Q (t). Предположим, 'что во время испытания образца на гидравличе­ском прессе произошло внезапное повышение давления в цилиндре. В течение 0,25 сек давление возросло на 700 т/м2, а затем упало до прежней величины. График распределения нагрузки во вре­мени показан на фиг. 35. Требуется вычислить увеличение ра­диального перемещения и напряже-

НИ я сг,

Ф-

Параметры цилиндра

К =75~ и

0,75.

1 — 2v

0,2; 6 =

1 —V

1-(Г

4-0,2- 10а 1,2-0,6

Е

\- v)(l — 2v) = 1,11-10" т/м2;

= 3,33-106 т/м2.

2\i =

(1 +v)

Модуль упругости бетона цилинд­ра Е — 4 • 10е т/м2. Константы Ляме X + 2ц = 4,44-106 т/м2, Е\

Вычисляем распределенную массу цилиндра. Объем 1 м ци­линдра V = л (r\ — rf),

1 +к2

Примеры расчета полых и сплошных цилиндров

Фиг. 34. Эпюра напряжения сгф по оси Y.

V = 3,14 (0,752 — 0,272) = 1,54 м3.

- 0,379 тн-сек2/мя.

Объемный вес железобетона 2,4 т/м3, вес цилиндра (1 * по высоте) Р = 2,4-1,54 = 3,70 т.

Масса М = — - 3,70

9,81

Распределенная масса (по внутреннему диаметру) на 1 м высоты

М ___ 0,379 ______ ^ пп. тн/сек2

TOC \o "1-3" \h \z Т ^ ~2лГ ~ 6,28-0,27 ~ м3 '

Определяем скорость распространения волн:

Й = |/Щ Y — — = 0,224 тфе/ ;

Г V Ж ЛС

. й = У40а 103 = 4450 м, сек -

Вычисляем частоты собственных колебаний цилиндра:

А а 4450 ,,

= ns - pr; = - Qjg— = 5940 Усек.

S

1

2

3

4

5

6

7

"s

1,50

5,30

9,81

14,7

19,6

24,6

29,4

<Ј>s

8,92

31,5

48,3

87,4

116,5

146

175

(Все величины разделены на 1000.) Значения ns приняты по табл. 22 и графикам на фиг. 12 и фиг. 13 для к = 0,36.

Низшая частота собственных колебаний цилиндра 8920 гц. Разложим нагрузку q (t) в ряд по ars\

П

S

Изменение нагрузки во времени носит плавный характер, поэтому в разложении можно ограничиться двумя членами ряда. Разложение показано на фиг. 35:

Q (t) = —183 (2 sin Ш + sin 8nt) тім2;

При t = V16

Q(t) = 700 тім2,

При t = V4 -

<7(0 = 0.

Вычислим перемещение внутренней поверхности цилиндра. Для этого необходимо определить ^ при S = 1 И S = 2. % = 1,50; «а = 5,30 £к (кл5) = — бх4;

*в = - у 1Л Го Ю - J0 («,)];

--- - J - U1 (K'h) Yl (ns) — Y j (Ktls) J! (/i5) j.

Значения функций Бесселя берем по таблицам в работе [15] А (0,36-1,5) = 0,260; (0,36-1,5) = —1,38; (1,5) = —0,412 У0 (1,5) = 0,382; /0 (1,5) = 0,512; J1 (1,5) = 0,558; (0,36-5,3) 0,581; Yx (0,36-5,3) = —0,559; 1^(5,3) = 0,044 У0 (5,3) = —0,337; /0 (5,3) = —0,076; (5,3) = —0,346; = - J - [0,260-0,382 + 1,38-0,512] = 1,28;

= 1-0,260-0,412 + 1,38-0,558] = 1,04;

Ха = 0,581 -0,337 — 0,559-0,076] = —0,374;

= ~Г [°.581 -0,044 —0,559-0,346] = —0,280;

1,5-1,28 — 0,75-1,04 = 1,14; = _ 1,5-0,374 + 0,75-0,28 = —0,351;

<7^1 = —366-1,14 = —417 т/м2; = 183-0,357 = 65,3 т/м2;

2

МО

£(1

2(1—v8) Л®

ZTffi- (417 sin Ш — 65,3 sin ШУ>

2(1-у_ 2-0,96.0,13-0,75 _ fi? п_6. £(1_д») ~ 4- 10е-0,87 - U. U40/-1U,

417 sin 4nt = х; 65,3 sin 8nt — у. Вычисляем радиальное перемещение

T

0,05

0,10

0,15

0,20

Sin 4л/

0,587

0,951

0,951

0,590

Sin 8 itf

0,951

0,590

0,363

—0,953

X

245,0

388,0

388,0

246,0

У j -62,1

—38,6

—23,8

62,4

■* + г/ | 183

347

364

308

Ant

0,628

1,256

1,885

2,51

1,256

2,512

2,77

5,02

"г (0

0,0085

0,0162

0,0170

0,0144

Величины иг в таблице даны в мм. График иг (t) показан на фиг. 36. Максимальное перемещение составляет величину 0,017 мм. От статической нагрузки это перемещение составило бы 0,020 мм.

Напряжение аг на внутренней поверхности цилиндра меняется по закону, показанному на фиг. 35.

Примеры расчета полых и сплошных цилиндров

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 t Фиг. 36. График иг (0-

Вычислим максимальную величину напряжения <тф на внутрен­ней поверхности цилиндра. Его можно вычислить по формуле (161), но эта приближенная формула в данном случае должна дать результат, близкий к статиче­скому расчету по формуле Ляме, так как нагрузка q (t) действует довольно длительное время. При использовании формулы (161) возьмем макси­мальное значение ur (t) по графику на фиг. 36 и вычислим

0,2-0,I 0,36

2-0,13 +

1,10 0,87

700,0-

885,0 т/м2.

700,0

■(2 — 0,75-0,13)

0,87

Напряжение стф от статической нагрузки 700,0 т/м2 составило

Бы 910,0 т/м2.

Примеры расчета полых и сплошных цилиндров

Фиг. 37. Схема нагружения цилиндрического ЛЄНИЄМ 0Т °бМ0ТКИ ПР? ДВа' архитрава: рительно напряженной ВЫ -

I - квадратная парабола; 2 - Р = 52 200 СОКОПрОЧНОЙ ПРОВОЛОКОЙ.

3 ~ 'max ~ 5320 ЭТО нагружение ПО боко -

Вой поверхности вызывает равномерное сжатие во всех точках цилиндра и оно может быть учтено элементарным расчетом. Параметры цилиндра:

Расчет сплошного ци­линдра. Рассмотрим рас­чет железобетонного ци­линдрического архитрава пресса. Цилиндрический архитрав нагружен по торцам осесимметричной нагрузкой (фиг. 37). Бо­ковая поверхность цилинд­рического архитрава на­гружена равномерным дав-

Г° = 7,0л; h = 3,5 м\ I - ~ = 0,500;

V = 0,15; Е = 4-Ю6 т/м*.

Расчет начинаем с разбивки нагрузки по торцам на сплошную равномерно распределенную и самоуравновешенную по каждому торцу. По верхнему торцу цилиндр нагружен реактивным давле­нием анкеров вертикальной арматуры, воспринимающей усилие штампования гидравлического пресса. По нижнему торцу цилиндр нагружен контактным давлением, передаваемым через подштам - повый блок. Закон распределения этого давления принят по квад­ратной параболе.

Суммарное усилие, воспринимаемое цилиндрическим архи­травом, равно 52 200 т.

Интенсивность сплошной равномерно распределенной на­грузки

^ = 5я720° = 339 т/м2-

Интенсивность нагрузки в зоне реактивного давления анкеров

52 200 - n 2

Я= я (7,02 -4,0») т/м -

Интенсивность самоуравновешенной нагрузки в зоне реак­тивного давления анкеров

503 — 339 = 164 тім2.

По нижнему торцу максимальная ордината параболы эпюры контактного давления определена из условия, чтобы объем эпюры был равен суммарному усилию. Максимальная ордината

<7шах = 5320 тім2.

Максимальная интенсивность самоуравновешенной нагрузки в зоне контактного давления:

Яг та* = 5320 — 339 = 4981 тім2.

Уравнение параболы эпюры контактного давления Я (Q) = (5320 — 41 700q2) тім2.

Эпюра самоуравновешенной по каждому торцу нагрузки пока­зана на фиг. 38, б, а распределенной — на фиг. 38, а.

Расчет на равномерно распределенную нагрузку ведем по эле­ментарным формулам.

Радиальное перемещение

339-0,15.7,00 „ „оп иг — Яі 6 = jTjQj Q = 0,089е ММ.

Осевое вертикальное перемещение

Г<> 339-7,00£ лепо* Uz = — Яі Е = 4TWT - = — °'593 Е ММ.

Все напряжения, кроме аг, равны нулю.

'°г = — Яі = - 339 тім2.

Расчет на самоуравновешенную нагрузку по торцам ведем по формулам (216) с использованием первого однородного решения. Граничные условия по торцам цилиндра удовлетворяем для на­пряжений а2 с точностью до момента и для напряжений хгг с точ­ностью до равнодействующей.

Примеры расчета полых и сплошных цилиндров

■■ 4981 т/м1.

^ 1

Шшшшшштттш

І

Tmmmm

А)

Фиг. 38. Разбивка нагрузки на торцах архитрава на равномерно распре­деленную и само уравновешенную по поверхности каждого торца:

/ и 2 — qi = 339 m/ju2; 3 — q2 = 164 т/мг: 4

Вычисляем момент от нагрузки по верхнему торцу: при 0 < q < 0,572; £ = I

J Q2dQ

ГЬ 1

0,572

0 5722./-®

339 ' 0 = г®-21,15 тім?-,

При 0,572 < q < 1 і

Q4Q =

164 3

3„

/■О<72

(1 —0,5723) Го

■ го-44,44 тім2.

0,572

Суммарный момент — 44,44 + 21,15 = —23,29г;* т/м2. Момент от нагрузки по нижнему торцу £ = —/:

0,357 0,357 1

MiZj. + M%Z2 = 80,68 m/м2 7\Z3 + T2Z4 = 0

- 532 j q4Q + 41700 J Q^Q + 339 j Q2CIQ

= —80,69 + 48,36 + 113 = 80,68г® т/м2.

Граничные условия на торцах цилиндра запишутся следующим образом:

MtZt + M2Z2 = - 23,29 т/м2 _ п „п

2 4 2 (238)

С - -0,500.

Величины Ml, М2, Ті, Т2 для первого однородного решения были определены ранее (см. табл. 34). Четыре произвольные постоянные, входящие в функции Zt, можно определить, восполь­зовавшись формулами (218) или из табл. 32 для единичных момен-

TOC \o "1-3" \h \z -719 2595 '1406 2379

2233 -4495 - 2608 і 014

А) 6) В) г)

Фиг 39. Графики функций:

А — Zi т/мг; б — Z, т/мг; в — Zs т/м'; г — Zt т/м'.

Тов. Не представляет затруднений определить их непосредственно из системы (238), так как она распадается, как было указано выше, на две системы по два уравнения с двумя неизвестными. Значе­ния произвольных постоянных:

Су = 174,9 т/м2; С2 = — 1892 т/м2;

С3 = 838,7 тім2-, С4 = 612,5 т/м2.

Примеры расчета полых и сплошных цилиндров

1955

.«гтптЛТГТТГгггт^

-1460

Фнг. 40. Эпюры напря­жений а г на торцах цилиндрического архитрава:

А - I = 0,5; 6-І =-0.5.

Зная произвольные постоянные, запишем окончательные выражения функций Z

Zy = 174,9у — 18926 + 838,7% + 612,5р;

Z2 = 174,9ц + 1892Я + 838,76 — 612,5у; Z3 = 174,9Я— 1892 ц + 838,7у + 612,56; Z4 = 174,96 + 1892у + 838,7р — 612.5Я.

Примеры расчета полых и сплошных цилиндров

Значения функций у, 6, X, р и функций Z(- для различных £ приводятся в табл. 38— 40 (значения функций даны через 0,5 м). Графики функций Z; показаны на фиг. 39. Имея значения функций Ri (табл. 30) и Zt (табл. 39 и 40), по формулам (216) вычисляем.252

Таблица 38

Значения гиперболо-тригоиометрических функций у, б, К, (і при различных £

С

0,5000

0,4286

0,5771

0,2857

0,2173

0,1489

0,0714

0

У

1,1074

0,7749

0,5155

0,3181

0,1738

0,0756

0,0187

0

Б

2,3463

1,1571

0,3623

0,7664

0,5719

0,3795

0,1891

0^

К

1,2770

0,9540

0,6990

0,4981

0,3388

0,2096

0,0999

0

И*

1,5520

1,4245

1,3050

1,2002 j 1,1146

1,0516

1,0130

Г

Значения функций Z,- при £ = 0 - з - 0,5

Примеры расчета полых и сплошных цилиндров

Цилиндрического архитрава: а — 1,07 мм', б —1,98; в — 0,28; г—0,52 мм; 1 — нагрузка.

Таблица 39

Zi

—719,0

—651,8

—524,9

—352,4

—145,3

+88,76

344,9

612,5

2595

2051

1585

1180

819,0

484,4

159,1

—174,9

Zs

—1406

—1502

—1569

—1621

—1672

—1730

—1802

—1892

Zi

2379

1874

1473

1169

956,0

830,2

790,5

838,6

Значения функций Z, при £ = —0,5-^0

С

—0,500

—0,4286

—0,3571

—0,2857

—0,2143

—0,1489

—0,0714

Zi

2233

2126

1943

1711

1450

1173

892,8

Z2

—4495

—3490

—2673

—1990

—1422

—941,0

—536,3

—2608

—2586

—2503

—2386

—2253

—2121

—1999

4014

3447

2665

2047

1571

1220

917,9

Перемещения и напряжения цилиндрического архитрава от само­уравновешенной нагрузки по торцам. Эпюры напряжений ог при I = ±1 показаны на фиг. 40. График перемещений точек поверхностей архитрава изображен на фиг. 41.

Расчет сопряжения сплошных цилиндров по торцам. В качестве при­мера рассмотрим сопряже­ние железобетонной под- штамповой плиты с желе­зобетонным цилиндриче­ским архитравом гидро­пресса. Для упрощения будем полагать, что трение в зоне контакта отсутст­вует. Условия сопряжения при этом будут:

А) напряжения аг в зо­не контакта равны;

Б) формы поверхностей нижнего и верхнего ци­линдров в зоне контакта совпадают.

Расчет ведем в первом приближении, т. е. с точностью до пер­вых членов последовательностей моментов. Параметры цилиндри­ческого архитрава:

Г° = 7 м; h = 3,5 м; v = 0,15; Ей = 4-106 т/м2.

Параметры железобетонной подштамповой плиты: г° = 2,65 м; h = 0,6 м\ v = 0,15; Е& = = 4-106 т/м2.

Схема нагружения конструкций показана на фиг. 42.

Примеры расчета полых и сплошных цилиндров

Фнг. 42. Схема нагружения цилиндрического

Архитрава и подштамповой плиты: / - q = 503 т/м'-. 2 - 2Л„ = 1,2 м\ 3 -?тах= = 8300 т/м'.

На верхнем торце цилиндрического архитрава при £ = 0,5 приложена равномерно распределенная по кольцу нагрузка 254
интенсивностью 503 т/м2. Эта нагрузка создается реактивным давлением анкеров продольной арматуры станины цилиндриче­ского пресса.

На нижнем торце подштамповой плиты приложена нагрузка от воздействия подштампового металлического блока. Закон распределения этой нагрузки принят по квадратной параболе. Максимальная интенсивность нагрузки 8300 т/м2. Нагрузка распределена по кругу радиусом 2 м. Суммарное усилие, равное объему эпюры нагрузки, составляет 52 200 тн. Этой же величине равен объем эпюры нагрузки, распределенной по верхнему торцу цшшндрическогб архитрава.

Сначала рассчитаем цилиндрический архитрав и подштампо- вую плиту на действие единичного момента, приложенного к од­ному из торцов. Расчет ведем по формулам (226) при п = 1, т. е. с использованием первого однородного решения для сплошного цилиндра.

Граничные условия на торцах цилиндрического архитрава имеют вид:

І і

I = 0,5 го J azQ2dq = a; r\ J xrzQdq = 0;

О о

І і £ = -0,5 о q4q = 0; Го§ т qdq = 0.

О о

Подставив в граничные условия формулы (226), перепишем их в виде

М& + M2Z2 = 4; 7\Z3 + T2Z4 = 0;

Ro

MJZJ + M2Z2 = 0; 7\Z3 + 7\,Z4 = 0. Здесь обозначено:

Mt-~ jR9Q2dQ; M2=jfiloQ2dQ;

О 0

1 1

Ti = ffinQde; T2 — ^R12QdQ.

Функции Zt - при С = —0,5 отмечены чертой сверху. Значения функций Ri даны в табл. 30. Интегралы (240) можно найти числен­ным методом, заменив их суммами.

Мі = 0,04086; М2 = 0,002345; 7\ = 0,1055; Т2 = 0,06232.

Для первого однородного решения

А = 2,645; 6 = 1,377.

Вычислив значения гиперболо-тригонометрических функ­ций (227) при £ = ±0,5, получим для определения четырех

255

Произвольных постоянных Ct систему из четырех линейных уравнений. Если сложить, а затем вычесть попарно первое и третье, а затем второе и четвертое уравнения, то система распа­дается на две системы по два уравнения с двумя неизвестными:

2 (0.04890С! + 0,06081С4) = ;

Го

2 (0.2186С! + 0.06245Q = 0;

2 (0,05201С, + 0,05533С2) =

Го

(241)

2 (0,09470С2 + 0,2136С3) = 0.

Отсюда получим

RlC\ = — 3,049а, гоС2 = 18,20а; ГоС3 = —8,067а; ГоС4 = 10,67а.

Зная произвольные постоянные, определим Z(- при £ == ±0,5: rlZ\ = 27,19а; rlZ2 = — 50,46а

RoZ3 = 29,50а; rlZi ■= — 50,26а з з, (242)

RlZ\ = — 1,086а; roZ2= 17,38а, , £ = —0 ,5.

R\Zs = 8,637а; r03Z4 = - 14,98а J

Расчет цилиндрического архитрава на единичный момент, приложенный к нижнему торцу, при I = —0,5 можно не произ­водить, так как величины функций Zt при этом по абсолютной величине не изменяются.

Функции Zx и Z2 ведут себя при перемене направления коор­динатной оси как четные функции, т. е. остаются без изменения. Функции Z3 и Z4 ведут себя в этом случае как нечетные функции и меняют знак на обратный. В этом легко убедиться, рассмотрев формулы (227).

По аналогии с (242) запишем значения функций Z,- при £ — = ±0,5 при нагружении единичным моментом а нижнего торца цилиндрического архитрава.

RoZ, = - 1,086а; r%Z2 = 17,38а |

RtZ3 = —8,637а; rtZ* = 14,98а j Е ~ ' '

RoZ, = 27,19а; rlZ2 = — 50,46а 1

RoZ3 = - 29,5а; roZ4 = 50,26а j £ ~~

Теперь проделаем такой же расчет для подштамповой плиты.

Граничные условия на торцах плиты запишутся анало­гично уравнению (238) с той лишь разницей, что гиперболо-три - гонометрические функции вычисляются при

Запишем в окончательном виде системы уравнений для опреде­ления произвольных постоянных С{.

2 (0,01062^ + 0,004563С4) = 4 5

Гоп

2 (0,07607с! + 0,04114С4) - 0; 2 (0,02386Са + 0,01626С3) = ~;

Ron

2 (0,1068С2 + 0,09088С3) = 0.

Находим произвольные постоянные

RlnCy = - 6,779а; г3опС2 = 105,2а;

Г2„С3 = — 123,6а; г30пС4 = 12,53а.

Определим функции Zi при £ = ±0,226:

( r3onZx = 28,99а; r3onZ2 -= — 123,2а; £ = 0,226 , ,

R30nZ3 = 100,2а; r3onZ4 = — 168,7а;

( rlnZi = —3,350л; r3onZ2 — 103,0а;

» I

Г

. ____ о 226'

(244)

(245)

Ь ' | r3onZ3^- 89,95а; r30nZt = - 151,3а.

Аналогичным способом найдем значения функций Z,- при действии единичного момента на нижнем торце подштамповой плиты.

Примеры расчета полых и сплошных цилиндров

R\nZ і = — 3,350а; r30nZ2 r3onZ3 = 89,95а; r30„Z, = 28,99а; rlz2 r^Z3 - 100,2а;. r3onZ4 = 168,7а

£ - 0,226;

(246)

£ = —0,226.

Имея значения функций Zt от нагружения единичным момен­том, нетрудно вычислить значения функций Z(- от воздействия на цилиндрический архитрав и плиту фактически приложенной нагрузки.

Для этого разобьем нагрузку на каждом торце цилиндриче­ского архитрава и подштамповой плиты на сплошную, равномерно

17 Сборник 1835 257

Распределенную и на самоуравновешенную нагрузку по каждому торцу. Расчет на сплошную равномерно распределенную нагрузку производится по элементарным формулам; напряжения и переме­щения от воздействия этой нагрузки можно будет учесть отдельно. Расчет на самоуравновешенную нагрузку по каждому торцу

Выполним, используя готовые данные расчета цилиндра на единичный момент. Разбивка нагрузки на торцах цилинд­рического архитрава и подштамповой плиты показана на фиг. 43, а и б.

Находим численные значения момен­тов нагрузки. На верхнем торце цилинд­рического архитрава при - £ = 0,5

Мч = — 23,22ло т/м2.

На нижнем торце при £ = —0,5

339

Шш

Примеры расчета полых и сплошных цилиндров

2360

2360 5940

2360

Фиг. 43. Разбивка нагрузки:

А —иа торцах цилиндрического архитрава; б — на подштампо­вой плите.

Mq = 70,20ло т/м2.

Мс

(24?)

(248)

На нижнем торце подштамповой плиты при I = —0,226

308,6ло„ т/м2.

Подставив моменты от нагрузки вместо величины а в формулы (242), (243), (245), (246), получим значения функций Zt цилиндрического архит­рава и подштамповой плиты при воз­действии внешней нагрузки.

Для цилиндрического архитрава:

С

Гх

Z2

24

0,5

—704,4

2385

— 1288

2213

—0,5

1934

—3944

—2270

3874

Для подштамповой плиты:

S

Zi

Z2

Z4

0,226

— 1034

31770

—27750

46700

—0,226

8945

—38020 j —30910

52040

Кроме внешней нагрузки, в зоне сопряжения приложен неиз­вестный момент а, поэтому окончательные величины функций Zt
Получим, прибавив к значениям Z,- по табл. (247) и (248) вели­чины функций Z, от действия единичного момента а. Воздействие единичного момента в зоне сопряжения учитывают формулы (243) для цилиндрического архитрава и формулы (245) для подштам­повой плиты. Запишем окончательные значения функций Z,.

Для цилиндрического архитрава:

£

Z,

Zz

Z,

24

0,5

—704,4 — 1.086 - Д - 3 г0

2335 + 17,33 - Д - '0

- 1238 — 8.637 - Д - '0

2213 + 14,98 -^- 'О

— 0,5

1934 + 27,19 -^- '0

— 3944 — 50,46 — '0

— 2270 — 29,50

'0

3874 + 50,26

Г'о

(249)

І |

Za

1

Z,

0.226

— 1034 + 28 ,С9

31770 — 123,2 —

- 27750 + 100,2

'0

46700— 168,7

'0

-0,226

8945 — 3,350 -^- —38020 + 103,0 1—30910 + 89.95 —- 52040 — 151.3 -^- ,.3 | ..з | л 'о | г0 1 г0 1 г0

Для подштамповой плиты:

(250)

Величину а определим из условий сопряжения, приравняв в сопряжении моменты производных от функций иг.

Ввиду того, что расчет производится с точностью до первого момента, в зоне сопряжения приравниваются средние значения производных вертикального перемещения uz

TOC \o "1-3" \h \z 0,3 79 1

Гоц J uzed<ie == Л0н J u'ZHclQH. (251)

О 0

Подставив в уравнение (251) выражение иг по формулам (226), перепишем его в виде

Г, щ № [Ді (0,379) - jRi (0)] + Z? \R2 (0,379) - R2 (0)]} =

= r„n [Zn3 [/Ml) - Ri (0)] + Z? [R2 (1) ~~ R2 (0)]}. (252)

Значения Rt и R2 возьмем из табл. 30. Значения функций Z< подставим для цилиндрического архитрава из (249) при £ =—0,5, для подштамповой плиты из (250) при £ = 0,226. В результате получим линейное уравнение для определения неизвестного мо­мента а в сопряжении. Решив его, получим а = 4810 тм. При рас­чете цилиндрического архитрава к моменту от контактных напря­жений в сопряжении следует прибавить момент от внешней на­грузки М„ = 70,2го т/м2.

17* ■ 259

Суммарный момент при £ = —0,5

(w1 +70'2) г°3 = 84'2г°3 т/м°~-

Цилиндрический архитрав рассчитывается при следующих граничных условиях:

І

£ = 0,5 rl jazQ2dQ — 23,29ло т/м2;

О

І

Го I ТrzQdQ = 0;

О

1 1 .

£ = — 0,5 rl\ozQdo 84,2го m/л*2; ft orfo - 0.

0 о

Граничные условия для подштамповой плиты будут

1 і

£ = 0,226 r3on J аЛ = 259г03 т/м2; г02 (' xodq = 0,

О о

І і

£ = - 0,226 , rl J оА - 308, б/-3 т/м2; r\ f то dQ - 0.

О о

Для определения произвольных постоянных, входящих в функ­ции Zit воспользуемся выполненным уже расчетом цилиндриче­ского архитрава и подштамповой плиты на единичный момент а. Произвольные постоянные при действии на цилиндрический архи­трав единичного момента на верхнем торце (£ = 0,5) определены ранее. При действии единичного момента на нижнем торце (С = = —0,5) произвольные постоянные С2 и С3 меняют знаки на обратные. Подставив в выражения (241) вместо величины а сна­чала — Го-23,29 т/м2, затем го -84,2 т/м2 и сложив результаты с уче­том сделанного выше замечания относительно знаков, получим окончательные значения произвольных постоянных для цилиндри­ческого архитрава:

Ct = — 186 т/м2, С2 = — 1955 т/м2, С8 =-- 867 т/мг; С4 -_- 650 т/м2.

При вычислении произвольных постоянных для подштампо­вой плиты воспользуемся выражениями (244):

С1 = — 3860 т/м2; С2 5260 т/м2;

С3 --= 6180 т/м2; С4 - 7120 т/м2

Имея произвольные постоянные, по формулам (227) найдем значения функций Zt при любом как для цилиндрического архи - 260 трава, так и для подштамповой плиты. Значения функций Z,- приведены в табл. 41 и 42. Графики функций показаны на фиг. 44.

Таблица 41

Значения функций Z, цилиндрического архитрава (т/м2)

-0,5

0,4

0,3

0,226

0,1

0

—0,1

—0,226

-0,3

-0,4

—0,5

—715

—592

—381

— 170,5

264

648

1050

1560

1829

2126

2307

Z2

2648

1895

' 1285

898,5

292,6

— 185,1

-719,6

— 1569

-2193

—3257

—4654

Z„

— 1429

— 1569

— 1652

— 1708

— 1824

1952

—2114

—2358

-2494

—2645

—2693

Z<

2422

1731

1248

1010

817,9 .

865,6

1100

1705

2238

3221

4572

Таблица 42

Значения функций Z,- подштамповой плиты (т/м2)

Є

0,226

0 | —0,226

Zi

6183 j 7049

8 231

Z2

524

—3812

— 11 870

—2309

—5770

—8 061

Z4

3905

6780 | 13 640

Дальнейший расчет производим по формулам (226) при п = 1. Формулы (226) будут теперь содержать все известные функции, и определить перемещение и напряжение в любой точке цилиндри­ческого архитрава или подштамповой плиты не представляет затруднений. Ниже приводятся таблицы величин напряжений и перемещений в различных точках цилиндрического архитрава и подштамповой плиты. Эпюры показаны на фиг. 45 и 46.

Интересно отметить, что подштамповая железобетонная плита очень мало снижает момент, действующий на цилиндрический ар­хитрав. Если приложить нагрузку без подштамповой плиты прямо к цилиндрическому архитраву, то момент от нее будет Mq = — 87,2ло т/м2 вместо 84,2г® т/м2 по проделанному расчету. Раз­ница составляет всего 3,6%. Следовательно, при данных соотно­шениях размеров цилиндрического архитрава и подштамповой плиты сначала можно рассчитать цилиндрический архитрав на внешнюю нагрузку, исходя из предположения, что жесткость подштамповой плиты равна нулю, а затем рассчитать подштампо - вую плиту. При расчете подштамповой плиты граничные условия

Г

Примеры расчета полых и сплошных цилиндров

Я о

На торцах будут смешанные. По нижнему торцу будет задан момент от внешней нагрузки, по верхнему торцу — перемеще­ния иг, при которых форма поверхности подштамповой плиты в зоне сопряжения! будет совпадать с формой поверхности цилин­дрического архитрава.

Напряжения о2 цилиндрического архитрава (в т/м2):

О \

0,5

0,4

0,3

0,226

0,1

0

0,1

-0,226

-0,3

-0,4

-0,5

0 j —389

-317'

-339

—406

—593

—769

—945

— 1079

— 1193

— 1180

— 1052

0,2

—300

—259

—298

—373

-557

-730

—S05

— 1099

— 1173

-1196

— 1088

0,4

-127

-145

-217

—295

—500 | —614

-771

—С64

— 1059

-1153

— 1185

0,6

-50

— 123

— 195

—249

—380

—429

-517

—643

-742

—840

—969

0,8

—332

—352

—343

—321

—262

—207

— 151

—90

70

—70

— 117

1,0

— 1068

—897

—708

—554

—265

-75

245

606

823

1060

— 1416

Перемещения иг подштамповой плиты (в мм):

Е

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,226 —0,226

0,630 2,201

0,554 1,933

0,348 1,214

0,084 0,295

—0,127 —0,445

—0,165 —0,576

Перемещения иг цилиндрического архитрава (в мм):

\\ е

Ь \

0

0,2

0,3

0,379 | 0,6

1

0,8

1,0

0,5 —0,5

1,032 1,947

0,906 1,710

0,758 1,430

0,610 1152

0,138 0,261

—0,208 —0,393

—0,270 —0,509

Для сравнения приведем расчет сопряжения цилиндрического архитрава со стальной подштамповой плитой, имеющей те же размеры, что и железобетонная.

Параметры стальной подштамповой плиты

V = 0,30; Ес = 20-106 т/м2. Схема нагружения остается прежней.

Действительная часть и коэффициент при мнимой части корня первого однородного решения для стального цилиндра будут:

А = 2,722; 6= 1,362.

Соответственно изменяются значения гйперболо-тригономе - трических функций:

У = 0,1984; б = 0,6240; К = 3621; ц = 1,139.

Приведем окончательные значения функций Z; для стальной подштамповой плиты.

Г ъ

Z,

Zt

0,226

130 Н 25,36 — 'о

27040— 110,2

Г0

—21400 +79,1 4- 'о

40800—

-150,8 4

—0,226

7826 - f 0,42 4- 'о

—34010 + 87,63 4 '0

-24410+ 69,36 Д-

ГЗ г0

46540—

—132.2 4; 'о

(253)

Величину а определим из уравнения (252), правую часть кото­рого умножим на соотношение модулей упругости и коэффициентов Пуассона для бетона и стали, равное

К

0,226.

1,15-20-Юв

(l+vc)Ј6 1,30-4.108

(1 + V6 )Ес

Решив уравнение, получим а = 2798.

Подставив найденное значение а в (249) и (253), вычислим окончательные значения функций ZЈ для цилиндрического архи­трава и стальной подштамповой плиты.

Примеры расчета полых и сплошных цилиндров

Фиг. 47. Вертикальные перемещения железобетонного цилиндрического архитрава и стальной подштамповой плиты в зоне сопряжения.

Цилиндрический архитрав:

S | г,

^3

7

0,5

—713,2

2527

—1358

—2335

—0,5

2156

—4356

—2510

4284

Стальная плита:

С

Z4

0,226

3941

10480

—9510

18140

—0,226

7889

—20840

— 13990

26670

Имея значения функций Zh нетрудно вычислить напряжения и перемещения железобетонного архитрава и стальной подштам - 264
повой плиты в зоне сопряжения от самоуравновешенной на­грузки.

Эпюры вертикальных перемещений цилиндрического архи­трава и стальной подштамповой плиты в зоне сопряжения пока­заны на фиг. 47.

ПРИМЕНЕНИЕ ЖЕЛЕЗОБЕТОНА МАШИНОСТРОЕНИИ

Сравнение результатов экспериментов с расчетами

Для оценки степени соответствия принятой схемы расчета клети ее действительной работе при обжатии и при эксплуатацион­ных нагрузках, необходимо сравнить результаты испытаний с рас­четами. Ниже приводятся такие сравнения по деформациям и …

Выносливость арматурных сталей

Сталь, из которой изготовляется арматура, так же как и бе­тон, обладает свойствами усталости при воздействии многократно повторяющейся нагрузки. С увеличением числа циклов повторе­ния нагрузки максимальное напряжение, необходимое для раз­рушения образца, …

Статика оболочки средней толщины

Рейсснер Э. показывает, что для предложенной им теории, учитывающей члены порядка h/R по сравнению с единицей, к шести уравнениям равновесия тонких оболочек [2] необходимо добавить седьмое уравнение, являющееся вторым недифферен­циальным …

Как с нами связаться:

Украина:
г.Александрия
тел. +38 05235 7 41 13 Завод
тел./факс +38 05235  77193 Бухгалтерия
+38 067 561 22 71 — гл. менеджер (продажи всего оборудования)
+38 067 2650755 - продажа всего оборудования
+38 050 457 13 30 — Рашид - продажи всего оборудования
e-mail: msd@inbox.ru
msd@msd.com.ua
Скайп: msd-alexandriya

Схема проезда к производственному офису:
Схема проезда к МСД

Представительство МСД в Киеве: 044 228 67 86
Дистрибьютор в Турции
и странам Закавказья
линий по производству ПСВ,
термоблоков и легких бетонов
ооо "Компания Интер Кор" Тбилиси
+995 32 230 87 83
Теймураз Микадзе
+90 536 322 1424 Турция
info@intercor.co
+995(570) 10 87 83

Оперативная связь

Укажите свой телефон или адрес эл. почты — наш менеджер перезвонит Вам в удобное для Вас время.